··
幂函数
__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________
)
)已知幂函数 y＝ (m2－ 5m－
A．1
B ．－ 1
C．6 答案： B
D．－ 1 或 6
3
·· 类型三 函数值大小的比较
例 3： 比较下列各组数的大小
解析： (1) 考察幂函数 y＝ x1.5 ，在区间 [0 ，＋∞ ) 上是单调增函数，
∵ a＋ 1>a，∴ ( a＋ 1) 1.5 >a1.5 .
2 3
<(
1 5)
2 3
<(
1 2)
1 3
C
．
(
1 5)
2 3
<(
1 2)
1 3
<(
1 2
2
)3
答案 : D
练习 2： 比较下列三个值的大小
1
1
1
1.1 2， 1.42 ，1.13 ；
1
1
1
答案： 1.42 >1.4 2>1.4 2
B
．
1 (2)
2 3
<(
1 2)
1 3
<(
1 5
2
)3
D
．
1 (5)
2
(2) 考察幂函数 y＝??- 3 ，在区间 [0 ，＋∞ ) 上是单调减函数．
2
2
∵ 2＋ a2≥2，∴ (2 + ??2 ) - 3≤ 2- 3.
答案 : (1) (
a＋1) 1.5 >a1.5 . （ 2） (2
+
??2)
-
2 3
≤
2-
2
3.
练习 1： 下列关系中正确的是 ( )
A
．
1 (2)
D． 3
解析： 显然，根据幂函数定义可知，只有
y
＝
1 x 2＝
x
－2
是幂函数．
答案： B 练习 1： 有下列函数：
①
y＝
3 x 2；②
y＝
x2＋
1；③
y＝－
1 ；④
1 y＝ ；⑤
2
y＝??3 ；⑥
y
＝
2x
.
x
x
2
·· 其中，是幂函数的有 ________( 只填序号 ) ．
答案： ④⑤ 练习 2： 函数 y＝ ( k2－k－ 5)x2 是幂函数，则实数 k 的值是 ( )
过定点 (1,1) ；在 (0, +￥ ) 上是减函数；在第一象限内，图象向上及向右都与坐标轴无限趋近
.
三、如图 a,b,c,d , e, f 的大小关系为： abcde f
类型一 幂函数的定义
例 1： 在函数
y＝
1 x 2，
y＝
2x
2，
y
＝
x
2＋
x，
y＝
3x
中，幂函数的个数为
(
)
A． 0
B． 1
C． 2
)
2
答案： C
4、设函数
y＝
ax－
2－
1 2(
a>0
，且
a≠ 1)的图象恒过定点
A，若点 A 在幂函数 y＝ xα的图象上，则该
幂函数的单调递减区间是 ( )
A ． (－∞， 0)
B ．(0，＋∞ )
C． (－∞， 0)， (0，＋∞ )
D． (－∞，＋∞ )
答案： C
5、若函数 f(x)＝ (2m＋ 3)xm2－ 3 是幂函数，则 m 的值为 ________．
答案： n<q<m<p.
练习 1： (2014 ～ 2015 学年度江西鹰潭一中高一上学期月考 )已知幂函数 f(x)＝ kxα 的图象过点
12， 2 ，则 k－ α＝ (
)
1 A．2
B．1
3 C．2
D．2
答案： C
练习 2： (2014 ～ 2015 学年度安徽宿州市十三校高一上学期期中测试
5)x2m＋1 在 (0，＋∞ )上单调递减，则实数 m＝(
2 3
<(
1 2
2
)3
<(
1 2
1
)3
1、如图曲线是幂函数
y＝ xn 在第一象限内的图象，
已知 n 取±2，±1四个值， 相应于曲线 2
C1 、C2、
C3、C4 的 n 依次为 ( )
A
．－
2，－
1，1， 22
2
C．－ 12，－ 2,2，12
答案： B
B ．2， 1，－ 1，－ 2 22
D．
2，
12，－
答案 : -1
6、 (2014 ～ 2015 学年度浙江舟山中学高一上学期期中测试 )已知幂函数 y＝ f(x)的图象过点 (2,8)，
则 f(x)＝ ______________.
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
1
y =??2， y =??-1 这五个常用幂函数的图象 .
二、幂函数性质：
1、所有的幂函数在 0, 都有定义，并且图像都通过点 1,1 ；
2、如果 a 0 ，则幂函数的图像经过原点，并且在区间
0,
上为增函数；如果 a 0，则幂
函数的图像不经过原点，并且在区间
0, 上为增函数
3、幂函数的图像及其奇偶性：
1、通过实例，了解幂函数的概念；结合函数
1
y = x ， y =??2， y =??3 ， y =??2 ，的图像，了解
它们的变化情况 .
2、通过对幂函数的研究，加深对函数概念的理解
.
一、定义：
一般地，我们把形如
y
a
xa
R 的函数叫做幂函数，其中
a 为常数。
特别提醒： 幂函数的基本形式是
y = ????，其中 x是自变量， a 是常数 . 要求掌握 y = x ， y =??2， y =??3 ，
令a
q （ p 、 q 互质）
p
q
y xp （ p 、q互
质）
p 、 q 是奇数
a0
0a1
a1
1
··
p 是奇数、 q 是偶数
p 是偶数、 q 是奇数
yx
y
O
x
y x0
y
O
x
特别提醒：
（ 1）当 a > 0 时，图象过定点 (0,0),(1,1) ；在 (0, +￥ ) 上是增函数 . （ 2）当 a < 0 时，图象
A ． k＝3
B ．k＝－ 2
C． k＝ 3 或 k＝－ 2
D． k≠ 3 且 k≠－ 2
答案 : C
类型二 幂函数的图象和性质 例 2： 幂函数 y＝ xm， y＝xn， y＝ xp， y＝ xq 的图象如图，则将 m、 n、p、 q 的大小关系用“ <”连
接起来结果是 ________．
解析： 过原点的指数 α>0，不过原点的 α<0， ∴ n<0， 当 x>1 时，在直线 y＝ x 上方的 α>1，下方的 α <1， ∴ p>1,0< m<1,0< q<1； x>1 时，指数越大，图象越高，∴ m>q， 综上所述 n<q<m<p.
2，－
1 2
2、下列命题中正确的是 ( )
A ．幂函数的图象不经过点 (－ 1,1)
B ．幂函数的图象都经过点 (0,0)和点 (1,1)
4
·· C．若幂函数 f(x) ＝xa 是奇函数，则 f(x)是定义域上的增函数
D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限
答案： D
3、函数 y＝ |x|1的图象大致为 (