§3.3 幂函数
一、基础过关
1．幂函数y ＝f(x)的图象过点(4，1
2
)，那么f(8)的值为
( )
A ．2 6
B ．64 C.2
4
D.164 2．函数y ＝x 1
2
－1的图象关于x 轴对称的图象大致是
( )
3．下列是y ＝x 2
3
的图象的是 ( )
4．图中曲线是幂函数y ＝x n 在第一
象限的图象，已知n 取±2，±1
2
四个
值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的n 依次为 ( )
A ．－2，－12，12，2
B ．2，12，－12，－2
C ．－12，－2,2，12
D ．2，12，－2，－1
2
5．给出以下结论：
①当α＝0时，函数y ＝x α的图象是一条直线； ②幂函数的图象都经过(0,0)，(1,1)两点； ③若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则y ＝x α在定义域内y 随x 的增大而增大；
④幂函数的图象不可能在第四象限，但可能在第二象限． 则正确结论的序号为________．
6．函数y ＝x 12
＋x －
1的定义域是________．
7．写出下列函数的定义域，并指出它们的奇偶性：
(1)y ＝x 2＋x －
2； (2)y ＝x 12＋x －12； (3)f(x)＝x 12＋3(－x)14.
8．已知函数f(x)＝(m 2＋2m)·xm 2
＋m －1，m 为何值时，函数f(x)是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)二次函数；(4)幂函数． 二、能力提升
9．设a ＝(35)25，b ＝(25)35，c ＝(25)2
5
，则a ，b ，c 的大小关系是( )
A ．a>c>b
B ．a>b>c
C ．c>a>b
D ．b>c>a
10．函数f(x)＝x α，x ∈(－1,0)∪(0,1)，若不等式f(x)>|x|成立，则在α∈{－2，－1,0,1,2}的条件下，α可以取值的个数是( )
A ．0
B ．2
C ．3
D ．4
11．若(a ＋1)－12<(3－2a)－1
2
，则a 的取值范围是________．
12．已知幂函数f(x)的图象过点(2，2)，幂函数g(x)的图象过点(2，1
4
)．
(1)求f(x)，g(x)的解析式； (2)当x 为何值时，①f(x)>g(x)；②f(x)＝g(x)；③f(x)<g(x)． 三、探究与拓展
13．已知幂函数f(x)＝x m －
3(m ∈N ＋)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a ＋1)－m 3<(3－2a)－
m 3
的a 的取值范围．
答案
1．C 2．B 3．B 4．B 5．④ 6．(0，＋∞)
7．解： (1)y ＝x 2＋x －
2＝x 2＋1x
2，∴此函数的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f(－x)＝(－x)2＋1－
2＝x 2＋1
x 2＝f(x)， ∴此函数为偶函数．
(2)y ＝x 12＋x －12＝x ＋1
x
， ∴此函数的定义域为(0，＋∞)
∵此函数的定义域不关于原点对称， ∴此函数为非奇非偶函数．
(3)f(x)＝x 12＋3(－x)1
4 ＝x ＋34－x ， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
x≥0－x≥0，∴x ＝0，
∴此函数的定义域为{0}， ∴此函数既是奇函数又是偶函数．
8．解： (1)若f(x)为正比例函数， 则⎩
⎪⎨⎪
⎧
m 2＋m －1＝1，m 2＋2m≠0⇒m ＝1.
(2)若f(x)为反比例函数， 则⎩⎪⎨⎪⎧
m 2
＋m －1＝－1，
m 2＋2m≠0⇒m ＝－1.
(3)若f(x)为二次函数，则 ⎩
⎪⎨⎪⎧
m 2＋m －1＝2，m 2＋2m≠0⇒m ＝－1±13
2.
(4)若f(x)为幂函数，则m 2＋2m ＝1， ∴m ＝－1±2.
9．A 10．B 11．(23，3
2)
12．解： (1)设f(x)＝x α
，∵其图象过点(2，2)，故2＝(2)α，解得α＝2，∴f(x)＝x 2.
设g(x)＝x β，∵其图象过点(2，14)， ∴1
4
＝2β，
解得β＝－2，∴g(x)＝x －2
.
(2)在同一坐标系下作出f(x)＝x 2与g(x)＝x －
2的图象，如图所示．由图象可知：f(x)，g(x)的图象均过点(－1,1)与(1,1)． ∴①当x>1或x<－1时， f(x)>g(x)； ②当x ＝1或x ＝－1时， f(x)＝g(x)； ③当－1<x<1且x≠0时， f(x)<g(x)．
13．解： ∵函数在(0，＋∞)上递减，∴m －3<0，解得m<3.
∵m ∈N ＋，∴m ＝1,2. 又函数的图象关于y 轴对称，∴m －3是偶数，
而2－3＝－1为奇数，1－3＝－2为偶数，∴m ＝1. 而f(x)＝x －1
3
在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，
∴(a ＋1)－13<(3－2a)－1
3等价于a ＋1>3－2a>0或0>a ＋1>3－2a 或a ＋1<0<3－2a.
解得a<－1或23<a<32. 故a 的取值范围为{a|a<－1或23<a<3
2
}．。