专题11 幂函数（幂函数的定义与图像，幂函数的性质）知识梳理一、幂函数 1、幂的有关概念：正整数指数幂：*)n n a a a an N =⋅⋅⋅⋅⋅∈个（ 零指数幂：01(0)a a =≠ 负整数指数幂：*1(0,)p p a a p N a-=≠∈ 分数指数幂：m *n(0,,1)n m a a a m n N n =>∈>且 *11(0,,,1)m nm nmnaa m n N n a a-==>∈>2、幂函数的定义：形如ky x =的函数叫幂函数。

注意：幂函数的底数是变量x ，系数是1，高中阶段指数取有理数k 。

3、幂函数的图象.根据幂函数的定义域,先作出其在第一象限的图象,再由其奇偶性作出其他象限的图形,具体见下图,()k y x k Q =∈的图象. 其中,*,2,,n m N m m n ∈≥互质.4、幂函数的性质所有的幂函数在（0，+∞）都有定义，并且函数图像都通过点（1，1）•k>0时：（图A ）（1）图象都通过（0，0），（1，1）；（2）在第一象限内，函数值随x 的增大而增大（增函数）。

•k<0时；（图B ）（1）图象都通过点（1，1）（2）在第一象限内，函数值随x 的增大而减小（减函数） （3）在第一象限内，图象向上与y 轴无限地接近，向右与x 轴无限地接近。

•设幂函数k y x =的指数qk p=，其中p 、q 互素 当p 是偶数时，k y x =的定义域关于原点不对称，故它是非奇非偶函数；当p 是奇数时，如果q 是偶数，那么k y x =是偶函数；如果q 是奇数，那么k y x =是奇函数当0k ≠时，幂函数的单调区间是整个定义域，或是将定义域分为两个单调区间.具体情况可由上述图像直观得到热身练习1、下列命题中正确的是（）A 当m=0时，函数m y x =的图像是一条直线B 幂函数的图像都经过（0,0），（1,1）两点C 幂函数m y x =图像不可能在第四象限内D 若幂函数m y x =为奇函数，则m y x =是定义域内的增函数【难度】★【答案】C2、幂函数①,②及直线③，④将直角坐标系第一象限分成八个区域：Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ，Ⅴ，Ⅵ，Ⅶ，Ⅷ，那么幂函数的图象在第一象限中经过的区域是（）A ．Ⅳ，Ⅶ ；B ． Ⅳ，Ⅷ；Ｃ．Ⅲ，Ⅷ；D ． Ⅲ，Ⅶ【难度】★ 【答案】D3、设，则使函数的定义域为R 且为奇函数的所有的值为【难度】★★【答案】1,34、求函数的定义域、值域，并判断其单调性1y x -=y x =1y =1x =32y x -=⎭⎬⎫⎩⎨⎧-∈3,21,1,1ααx y =α)(12N m x y m m∈=++ⅤⅡⅢⅧⅥ ⅦO ⅣⅠxy1y =1x =y x=1y x -=【难度】★★【答案】因为必为奇数，且大于0，所以定义域为，值域为，并且在上为增函数例题解析考点一、幂函数的概念【例1】下列函数中，是幂函数的是（ ）A ．31-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x yB ．22-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y C ．32-=x y D ．()32--=x y【难度】★【答案】A 【例2】函数y x=-32的定义域是_____.【难度】★★【答案】(,)0+∞【例3】函数2221(1)mm y m m x --=--是幂函数，求m 的值【难度】★★【答案】-1或2【例4】函数1224(42)(1)y mx x m m mx -=++++-+的定义域是全体实数，则实数m 的取值范围是【难度】★★【答案】1)+，∞【巩固训练】1．如果幂函数)(x f y =的图象经过点，则(4)f 的值等于（ ）.1)1(12++=++m m m m R R ),(+∞-∞A. 16B. 2C.116 D. 12【难度】★【答案】D2．下列幂函数中过点(0,0)，(1,1)的偶函数是（ ）.A.12y x = B. 4y x = C. 2y x -= D.13y x=【难度】★★【答案】B3．求函数1302(3)y x x x -=+--的定义域.【难度】★★【答案】{|0,3}x x x >≠且4．关于幂函数有下列的四个命题，其中，真命题是（）． A ．幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数 B ．如果一个幂函数有反函数，那么它一定为奇函数 C ．图像不经过点)1,1(-的幂函数，一定不是偶函数D ．如果两个幂函数有三个公共点，那么，这两个函数一定相同 【难度】★★【答案】C考点二、幂函数的奇偶性【例5】已知幂函数6()m y x m Z -=∈与2()m y x m Z -=∈的图象都与x 、y 轴都没有公共点，且2()m y x m Z -=∈的图象关于y 轴对称，求m 的值．【难度】★★【答案】6,4,2=m【例6】已知函数223()()mm f x x m -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．【难度】★★【答案】2()f x x =【例7】xx xx x x x f ++++=22322)(的最大值为M ,最小值为m ，则m M +=【难度】★★【答案】2【巩固训练】1．幂函数273235()(1)t t f x t t x+-=-+是偶函数，且在(0,)+∞上为增函数，求函数解析式.【难度】★★【答案】25()f x x =或85()f x x =.2．已知幂函数2()m y x m -=∈N 的图象与x 轴、y 轴都无交点，且关于y 轴对称，求m 的值，并画出它的图象【难度】★★ 【答案】图象与xy ，轴都无交点，2m ∴-≤0，即2m ≤．又m ∈N ，012m ∴=，，． 幂函数图象关于y 轴对称，0m ∴=，或2m =．当0m =时，函数为2y x -=，图象如图1；当2m =时，函数为01(0)y x x ==≠，图象如图1．考点三、幂函数的图像和单调性【例8】比较下列各组数的大小： （1）131.5，131.7，1；（2）(37，()37，()37；（3）232-⎛-⎝⎭，23107-⎛⎫- ⎪⎝⎭，()431.1-- 【难度】【答案】（1）底数不同，指数相同的数比大小，可以转化为同一幂函数，不同函数值的大小问题．∵13y x =在()0,+∞上单调递增，且1.7 1.51>>，∴11331.7 1.51>>．（2）底数均为负数，可以将其转化为())3377=-，())3377=-，())3377=-．∵37y x =在()0,+∞上单调递>>， ∴)))333777>>，即)))333777-<-<-，∴()()()333777<<．（3）先将指数统一，底数化成正数．223322--⎛⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，2233101077--⎛⎫⎛⎫-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()()42331.1 1.21---=．∵23y x -=在()0,+∞上单调递减，且7 1.2110<<，∴()2232337 1.2110---⎛⎫>> ⎪⎝⎭⎝⎭，即：()2234337 1.1102---⎛⎛⎫->->- ⎪⎝⎭⎝⎭．【例9】幂函数y=221m m x--在第二象限内为x 的减函数，求m 的最大负整数值【难度】★★【答案】原函数即为y=22-+m mx （x≠0），要使得y=22-+m mx （x≠0）在第二象限有定义，则必为偶函数，于是m 2+m-2>0，解不等式得m<-2或m>1，当m=-3时，m 2+m-2=4是偶数，满足函数是偶函数，m=-3为所求。

【例10】已知函数，当为何值时，在第一象限内它的图像是上升曲线 【难度】★★【答案】或⎩⎨⎧<--<+032022m m m m 得：或()0,1-∈m【例11】若44(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 【难度】★★【答案】23m <，或m ＞4【例12】已知函数1133(1)(32)a a --+<-，求a 的取值范围【难度】★★【答案】根据幂函数的性质，()()2223m m f x m m x--=+m ()f x 220230m m m m ⎧+>⎪⎨-->⎪⎩()(),13,m ∈-∞-+∞有三种可能：10320a a +<⎧⎨->⎩或10320132a a a a +<⎧⎪-<⎨⎪+>-⎩或10320132a a a a+>⎧⎪->⎨⎪+>-⎩，解得：()23,1,32a ⎛⎫∈-∞- ⎪⎝⎭．【例13】⎩⎨⎧<≥=0,00,)(3x x x x f ，不等式)2()1(2x f x f >-的解集【难度】★★【答案】121-<≤-x【例14】已知定义在R 上的奇函数)(x f 满足2()2f x x x =+ (x ≥0)，若2(3)(2)f a f a ->，则实数a 的取值范围是________． 【难度】★★【答案】13<<-x【例15】（1）)(x f 的图像向左平移2个单位，再向下平移1个单位，得到12)(-=x x x g 的图像，则)(x f = （2）)0(,)(>>++=b a bx ax x f 的单调区间 ，对称中心 ，若)(x f 是由某个幂函数平移得到，则b a ,满足的条件【难度】★★【答案】（1）5273)(--=x x x f （2）),(),(+∞---∞b b 和；)1,(b -；1=-b a【例16】利用幂函数图象，画出下列函数的图象（写清步骤）（1）53(2)1y x -=--；（2）222221x x y x x ++=++．【难度】★★【答案】（1）函数53(2)1y x -=--的图象可以由53y x-=的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位而得到．（2）1)1(1112112222222++=+++=++++=x x x x x x x y ，把函数21,x y =的图象向左平移1个单位，再向上平移1个单位，可以得到函数122222++++=x x x x y 的图象．【例17】（1）)0(,2>=-x a xx有两个不同的解，则a 的取值范围 （2）)0(,)(>>++=b a bx a x x f 的单调区间（3）方程x 2+2x －1＝0的解可视为函数y ＝x +2的图像与函数y ＝1x的图像交点的横坐标，若x 4+ax －4＝0的各个实根x 1，x 2，…，x k (k ≤4)所对应的点(x i ,4x i)（i ＝1,2,…,k ）均在直线y＝x 的同侧，则实数a 的取值范围是【难度】★★【答案】（1）)1,0(（2）),(),(+∞---∞b b 和（3）),6()6,(+∞--∞【巩固训练】1．下列函数中，在()0,∞-是增函数的是（）A. 3x y =B. 2x y = C. x1y = D. 23x y =【难度】★★【答案】A2．比较下列各组中两个值大小（1）6110.6与6110.7（2）5533(0.88)(0.89).--与【难度】★★【答案】（1）∵函数611y x =在(0,)+∞上是增函数且00.60.7<<<+∞∴6611110.60.7<（2）函数53y x =在(0,)+∞上增函数且89.088.00<<∵55330.880.89<∴55330.880.89->-，即5533(0.88)(0.89).-<-4．若1122(1)(32)m m +<-，试求实数m 的取值范围． 【难度】★★【答案】213m -<≤5、函数3x y =和31x y =图象满足（）A ．关于原点对称B ．关于x 轴对称C ．关于y 轴对称D ．关于直线x y =对称【难度】★★【答案】D6、函数43y x =的图象是（）【难度】★★【答案】A7、设3)(x x x f +=，若0,0,0>+>+>+c a c b b a ，则)c (f )()(++b f a f 与0的大小关系 【难度】★★【答案】>8、⎪⎩⎪⎨⎧=≠-=)1(,1)1(,11)(x x x x f ，若关于x 的方程0)()(2=++c x bf x f 有三个不同的实数解321,,x x x ，则=++232221x x x【难度】★★【答案】5考点四、幂函数综合运用(性质运用、与方程、不等式的联系）【例18】已知函数)()(22N k x x f k k∈=++-满足)3()2(f f <，（1）求k 的值并求出相应的)(x f 的解析式；（2）对于（1）中得到的函数)(x f ，试判断是否存在正实数q ，使函数x q x qf x g )12()(1)(-+-=在区间[]2,1-上的值域为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-817,4？若存在，求出q ；若不存在，说明理由。