k幂函数与反比例函数（教师版）【知识梳理】1. 反比例函数 形如(0)ky k x=≠的函数称为反比例函数. (1) 定义域: {|0,R}x x x ≠∈; (2) 值域: {|0,R}x x x ≠∈; (3) 奇偶性: 奇函数;(4) 单调性: 当0k >时, 其图像出现在1,3象限, 在每个象限中单调递减;当0k >时, 其图像出现在2,4象限, 在每个象限中单调递增;(5) 图像: 双曲线, 直线0x =和0y =是它的渐近线. 2. 幂函数形如(Q)k y x k =∈的函数称为幂函数. 需要注意的是, 这里的系数规定为1.3. 幂函数的图像(1) 幂函数(Q)k y x k =∈的作图可按以下流程进行(为讨论方便, 设0,1≠k ):(2) 幂函数过定点(1,1); (3) 设nk m=(m , n 既约), 则y ①当m , n 都为奇数时, 它是一个奇函数; ②当m 是奇数, n 是偶数时, 它是一个偶函数; ③当m 是偶数, n 是奇数时, 它是一个非奇非偶函数; (4) 0(0)=≠y x x 是一个特殊的幂函数, 其图像为直线1=y 去掉点(0,1); (5) 幂函数为偶函数⇔图像出现在第二象限; 为奇函数⇔图像出现在第三象限.【基础训练】1. 已知一次函数1y ax =+的图像与反比例函数ky x=的图像交于点(2,3)M 与N , 则||MN =2. 幂函数()f x的图像经过点, 则(8)f =3.函数12(0)y x x x=+<单调递增区间为单调递减区间为4. 当幂函数(Q)k y x k =∈的图像满足: (1)不经过原点; (2)不与坐标轴相较; (3)不是(0,)+∞上的减函数,则k =_______; 解: 不经过原点, 则0k ≤;不与坐标轴相交, 则0k ≤;不是(0,)+∞的减函数, 则是(0,)+∞增函数或者常值函数, 若是增函数, 则0k >, 但此时函数必过原点; 若是常值函数, 则0k =, 则符合题意. 5. 作出下列函数的大致图像.(1)32y x =; (2)43y x =; (3)53y x =; (4)23y x -=.【例题解析】例1. 在22919()(279)mm f x m m x -+=--中, 当m 为何值时,(1) ()f x 是正比例函数, 且它的图像的倾斜角为钝角? (2) ()f x 是反比例函数, 且它的图像在第一, 三象限?. 解: (1)由题意, 倾斜角为钝角, 则斜率小于0,得22 3 or 6919139127902m m m m m m m m ==⎧⎧-+=⎪⎪⇔⇒=⎨⎨-≤≤--<⎪⎪⎩⎩; (2)由题意, 图像在第一, 三象限, 则22790m m -->, 得22 4 or 5919159(,1)(,)27902m m m m m m m m ==⎧⎧-+=-⎪⎪⇔⇒=⎨⎨∈-∞-⋃+∞-->⎪⎪⎩⎩.(,-∞[0例2. 已知幂函数21(732)35(1)(Z)t t y t t xt +-=-+∈是偶函数, 且在区间[0,)+∞上是增函数, 求整数t 的值, 并作出相应的幂函数的大致图像. 解: 由题意3110 or 1t t t t -+=⇔==±,当0t =时, 则75y x =, 是奇函数, 不合题意;当1t =时, 则85y x =, 是偶函数, 符合题意; 其大致图像如图(1); 当1t =-时, 则25y x =, 是偶函数, 符合题意; 其大致图像如图(2).例3. 已知函数221m m y x--=在区间(,0)-∞上是减函数, 求m 的最大负整数值.解: 原函数等价于22(0)m m y x x +-=≠,若函数是奇函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递减, 则有220(2,1)m m m +-<⇒∈-,当1m =-时, 222m m +-=-, 是偶函数, 不合题意;若函数是偶函数, 由函数在(,0)-∞递减, 可知其在(0,)+∞上递增, 则有220(,2)(1,)m m m +->⇒∈-∞-⋃+∞, 当3m =-时, 224m m +-=, 是偶函数, 符合题意; 综上所述, m 的最大负整数值为3-.[评注]事实上, 如果注意到22(1)2m m m m +-=+-, 当m 是整数时, (1)m m +一定是偶数,那么(1)2m m +-一定是偶数, 因此这个函数一定是偶函数.例4. 已知1133(2)(12)a a --+>-, 求实数a 的取值范围.[分析]本题是典型的利用函数的单调性求解不等式的题型, 在这里首先需要弄清要使用哪一个函数的单调性; 其次要知道这个函数的单调区间有哪些. 解法一: 由函数13y x-=在(,0)-∞和(0,)+∞分别单调递减, 因此可知:情形一: 1021223a a a <+<-⇔-<<-;情形二: 121202a a a +<-<⇔>且13a <-, 无解; 情形三: 112022a a a -<<+⇔>;综上所述, a 的取值范围是123a -<<-或者12a >.解法二: 原不等式等价于113311212⎛⎫⎛⎫> ⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭a a ;由13=y x 在R 上单调递增, 则有11112>+-a a, 解不等式得11(2,)(,)32∈--⋃+∞a .[评注]解法二相比解法一来说要略为简介, 省去了讨论的过程, 本质是因为其选择了一个仅有一个单调区间的函数, 因此不必讨论; 而解法一选择的函数是分段单调的, 因此不仅要讨论每一段上的情形, 还要讨论自变量取在不同段上时的情形. 一般而言, 我们尽可能选择在整个定义域上只有一种单调性的函数来求解不等式.例5. 设函数2245()44x x f x x x ++=++, 作出()y f x =的大致图像, 讨论()y f x =的性质, 并比较()f π-与(f . 解:2224411()144(2)x x f x x x x +++==++++,它的函数图像是有2y x -=向左两个单位, 向上一个单位平移所得, 其大致图像如图所示,定义在{|2,R}≠∈x x x 上的非奇非偶函数, 值域为(1,)+∞, 在(,2)-∞-上单调递增, (2,)-+∞单调递减, 其图像关于直线2=x 成对称轴图形. 由π-到2-的距离约为1.414,而到2-的距离约为1.292;因此有()f f π-<.【巩固练习】1. 若幂函数()=y f x的图像过点, 则函数的解析式为_____________;2. 设3111{2,,,,,1,2,3}5232α∈----, 已知幂函数α=y x 是奇函数, 且在区间(0,)+∞上是减函数, 则满足条件的α的值是____________;3. 函数12-=+x y x 的图像的对称中心是__________;4. 试写出一个函数, 使之满足: (1)它是两个幂函数组的和函数; (2)自然定义域为(0,)+∞; (3)最小值为2; 则解析式为5. 幂函数223(Z )--+=∈m m y x m , 且为偶函数, 则m 的值为______; 解: 与坐标轴无交点, 则2230[1,3]--≤⇔∈-m m m ,结合m 是正整数, 得{1,2,3}∈m ,2()-=f x x 31,53--(2,1)- 1 or 3()f x =当1=m 时, 4-=y x , 偶函数; 当2=m 时, 3-=y x , 奇函数; 当3=m 时, 0=y x , 偶函数; 综上所述, m 的值为1或3. 6. 若幂函数2223(1)mm y m m x --=--在区间(0,)+∞上是减函数, 则m 的值为____; 7. 设()y f x =与()=y g x 是两个不同的幂函数, 集合M {|()()}==x f x g x , 则集合M 中的元素个数是……………………………………………………………………………….( B ) A. 0或1或2 B. 1或2或3 C. 1或2或3或4 D. 0或1或2或3 解: 幂函数的图像都过点(1,1), 因此不可能无交点;当两个幂函数都是指数小于0的非奇非偶函数时, 它们图像的交点个数为1, 例如: 幂函数32y x -=和52y x -=;当两个幂函数都是指数大于0的非奇非偶函数时, 它们图像还交于(0,0), 例如: 幂函数32y x =和52y x =;当两个幂函数都是指数大于0的奇(或偶)函数时, 它们图像还交于(0,0)和(1,1)--(或(1,1)-), 例如: 幂函数3y x =和y x =;另一方面, 由于幂函数的图像至多过两个象限, 在每个象限中的交点至多一个1, 再加上当指数大于0时过(0,0), 因此交点个数之多为3个. 因此可能的交点个数为1或2或3.8. 已知幂函数q py x =(p ,q 互质)的图像如图所示, 则………………………….………….( B )A. p ,q 均为奇数B. p 是奇数, q 是偶数, 且01q p<< C. p 是偶数, q 是奇数 D. p 是奇数, q 是偶数, 且1qp>9. 若1133(1)(32)x x --+<-, 求实数x 的取值范围.解: 即113311132x x ⎛⎫⎛⎫<⎪ ⎪+-⎝⎭⎝⎭, 由13y x =单调递增, 有11132x x <+-, 解不等式得23(,1)(,)32-∞-⋃.10. 讨论函数2222()21x x f x x x -+=-+的性质, 并比较(1)f -与()f π的大小.解: 类似例4可知:定义域: (,1)(1,)-∞⋃+∞; 值域: (1,)+∞;奇偶性: 非奇非偶; 图像: 关于直线1x =成轴对称; 单调性: (,1)-∞上单调递减, (1,)+∞上单调递增;(1)(3)()f f f π-=>.1需利用函数递增速度的快慢来说明.211. 已知函数1133()5x xf x --=, 1133()5x x g x -+=,(1) 证明: ()f x 是奇函数, 并求()f x 的单调区间;(2) 分别计算(4)5(2)(2)f f g -和(9)5(3)(3)f f g -的值, 由此概括出涉及函数()f x 和()g x 的, 对所有不等于零的实数x 都成立的一个等式, 并加以证明. 证明: (1)函数的定义域为R, 关于原点对称;任取R x ∈, 则11113333()()()()55x x x x f x f x ---+-+-==-=-;综上所述, 函数为奇函数;解: (2)(4)5(2)(2)0f f g -=, (9)5(3)(3)0f f g -=;猜得2()5()()0f x f x g x -=.证明: 222331()()5f x x x -=-,11112233333315()()5()555x x x x f x g x x x ---⎛⎫⎛⎫-+ ⎪ ⎪⋅=⋅=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 则2()5()()0f x f x g x -=.。