x y
(t (t
) )
(a t b) 给出，
曲边梯形的面积为
n
n
b
A m y dx m (t) d[ (t)] a (t) (t)dt
Note: (1) 带绝对值； (2) 变量代换．
(3) 极坐标系下
①(3极) 点极在坐区标域系内下部 A 2 1 r 2 ( )d
设 rr()
（以 y 为积分变量还是以 x 为积分变量）
法 1 “横分”（以 y 为积分变量）
A
2 4
4
2
y
(
y
2
4)
dy
36 ．
法 2 区间分割，用“竖分”（以 x 为积分变量）
竖分：没有代表区间，左半部 抛—抛 例 2 求由曲线 y2 4 x右与半x部 2 y直线4 所—围抛图形的面积．
法 2 区间分割，用“竖分”（以 x 为积分变量）
积分 [xi , §x5i1]定 [x积i , 分xi 的x应i ] ,用Q : f (i )xi ,
微元
[x, x dx] , dQ : f (x)dx ．
b
a
n
f ( x)dx lim d 0 i1
f (i )xi Q
小区间上部分量的积累
“分割、取近似、求和、取极限”
“微元法”思想： 在[a, b] 上取代表小区间[x, x dx] 若 f (x)dx 为 Q 的线性主部（即 f ( x)dx dQ ）．则称
f (x)
则 Alim
f ( x)dx
o
b f ( x)dx ．
a x xdx b x
a
推广到一般
(1) 直角坐标系下
y y f (x)
dA
y g(x)
dA[ f (x) g(x)]dx
b
A a [ f (x) g(x)]源自xo a x xdx b x x 型区域：竖条分割
上减下
y
d
y dy
2
4
02
例 5 求由曲线 r3cos和 r1cos所围的阴影部分的面积．
解：作草图，
A( 3, )
2 3 r 3cos
解方程组
r 3cos
r
1cos
，
o
得交点
A(
3 ,
)
，
B(
3 ,
)．
23
2 3 B( 3, )
23
由图形的对称性得
r 1cos
r
由图形的对称性得
A( 3, ) 23
r 3cos
y
x( y)
c
o
dA[( y)( y)]dy
dA
x( y)
A
d
[( y)( y)]dy
c
x
y 型区域：横条分割
右减左
例 1 求由 y sin x (0 x 2 ) 及 x 轴所围图形的面积．
法 1 无代表区间时，分成几个小区间分别讨论．
2
A 0 sin xdx sin xdx 4.
(
0
) ，求由
r
2
r()
，
，
②所求极围曲点图边在形扇区的形域图的外形面部的积面A积，A．积 分变12量r是12 ()，r22[(,)d]．
[, d][, ]，以 处的极径 r() 为半径，以 d
为圆心角的扇形的面积作为面积微元，即
dA 1[r()]2 d 2
A
1 2
[r
()]2
d.
r r()
r()
d d
o
r
例 4 求心形线 r a(1 cos ) (a 0) 所围图形的面积．
解： A 2 1 [a(1 cos )]2 d 02
r a(1 cos)
a2 (12coscos2)d 0
o
r
a2
3
1
( 2cos cos2)d
02
2
a2( 3 2sin 1 sin 2 ) 3 a2 .
A
0 4
4 x (
4 x ) dx
12 0
4
2
x
(
4 x ) dx
0
1 12
12
2 4 x dx (4 x)dx 4 x dx
4
20
0
36．
x 型区域，上减下
(2) 参数方程下
例
3
求椭圆
x y
a b
cos t sin t
(t), (t),
0 t 2 的面积．
定积分与面积有差异
b
A f ( x) dx
a
法 2 利用对称性
A 4 2 sin xdx 4. 0
讨论几何上的问题应尽可能多地用对称性．
竖分：没有代表区间，左半部 抛—抛 例 2 求由曲线 y2 4 x右与半x部 2 y直线4 所—围抛图形的面积．
解：10 作草图
20 求交点 (0，2)，(12，4)． 30 确定“横分”还是“竖分”y 型区域，右减左
解： A 4 a y dx 0
b
A a f ( x) dx
令x a cos t
4
0
b sin t
(a sin t)dt
y
2
b
4ab 2sin2 tdt 0
2ab 2 (1 cos 2t )dt 0
a
o
ab.
b
ax
或
4ab
2
sin2
tdt
4ab
1
ab.
0
22
曲边梯形由参数方程
则称 f ( x)dx 为所求量 Q 的微元，所求量
Q
b
dQ
b f ( x)dx ．
a
a
一、平面图形的面积
例 平面图形的面积 （设 f ( x) 0 ）
解： A 在 x 处的微元
y
dA 以 dx 为底、 f ( x) 为高的矩形面积
y f (x)
记为 dA f ( x)dx ，
dA
于是 AdA f (x)dx ，
A 2
3
1 (1cos)2 d
02
o
r 1cos
x
2
2
1
( 3cos
)2
d
2
B( 3, )
3
23
3 (12coscos 2)d 2 9cos2d
0
3
3
1
39 9
25
( 2sin sin2) ( sin2) .
2
4
02 4
4
3