第25章 解直角三角形§25.1 测量【学习目标】1.了解测量物体高度和物体之间距离的方法.2.学会运用相似三角形对应边成比例或勾股定理解决相关测量问题. 【课前导习】1．在△ABC 中，若∠C=90° , ∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c,则a 2+b 2= ．2．若△ABC ∽DEF,AB=6，DE=8，则)(AB=)(BC=)(DF= ．3. 地图上A 、B 两地的图上距离是1.6m ，比例尺为1：20000，则实际距离是 km ．4.一个直角三角形的两边长分别是3和4，则第三边长是 ． 【主动探究】问题一： 当你走进学校，仰头望着操场旗杆上高高飘扬的五星红旗时，你也许很想知道，操场旗杆有多高？你可能会想到利用相似三角形的知识来解决这个问题．图25.1.1如图25．1．1，站在操场上，请你的同学量出你在太阳光下的影子长度、旗杆的影子长度，再根据你的身高，便可以利用相似三角形的知识计算出旗杆的高度．问题二：如果就你一个人，又遇上阴天，那怎么办呢？人们想到了一种可行的方法，还是利用相似三角形的知识，你知道吗？．试一试：如图25．1．2所示，站在离旗杆BE 底部10米处的D 点，目测旗杆的顶部，视线AB 与水平线的夹角∠BAC 为34°，并已知目高AD 为1.5米．现在若按1∶500的比例将△ABC 画在纸上，并记为△A ′B ′C ′，用刻度直尺量出纸上B ′C ′的长度，便可以算出旗杆的实际高度．你知道计算的方法吗？图25.1.2实际上，我们利用图25．1．2（1）中已知的数据就可以直接计算旗杆的高度，而这一问题的解决将涉及直角三角形中的边角关系．我们已经知道直角三角形的三条边所满足的关系（即勾股定理），那么它的边与角又有什么关系？这就是本章要探究的内容．【当堂训练】1.在同一时刻，物高与影长成正比。

若高为1.5m 的竹竿的影长为2.5m ，则影长为30m 的建筑物高为 （ ）A 、20米B 、18米C 、16米D 、15米 2.一轮船以16海里/时的速度离开A 港向东南方向航行，另一轮船同时以12海里/时的速度离开A 港向西南方向航行，经过1.5小时后它们相距 海里．3.如图，A 、B 两村庄被湖水隔开，在AB 外取一点C ，连接AC 和BC,并分别找出其中点M 、N,若测得MN=15米， 则A 、B 两村庄的距离为 ．4．在平静的湖面上，有一枝红莲，高出水面1米，阵风吹来，红莲被风吹到一边，花朵齐及水面，已知红莲移动的水平距离为2米，问这里水深多少？5．如图，在一棵树的10米高B 处有两只猴子，一只猴子爬下树走到离树20米处的池塘A 处．另一只爬到树顶D 后直接跃到A 处，距离以直线计算，如果两只猴子所经过的距离相等，求这棵树的高度．（第3题）【回学反馈】1.如图，C 、D 两个村庄，分别位于一个湖的南北两端A 和B 的正东方向上，且D 位于C的北偏东30°方向上，CD=6km ，则AB= ．2. 旗杆上一段BC 被风吹断，顶端着地与地面成30°角，顶端着地处B 与旗杆底端相距4米，则原旗杆高为 米．3.如图，一架长2.5米德梯子，斜靠在一面竖直的墙上，这时梯子底端离墙0.7米，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面2米，请你计算此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？李家兴A C DECA B§25.2 锐角三角函数课时一 锐角三角函数的概念【学习目标】1.理解锐角三角函数的概念.2.学会锐角三角函数概念的应用. 【课前导习】1.如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 、c 分别是∠A 、∠B 、∠C 的对边，则sinA= ，cosA= ,tanA= ,cotA= ，分别叫做∠A 的 、 、 、 ，统称锐角∠A 的三角函数.2.在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边比值都是 .3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=3，AC=4，则sinA= ，cosA= ,tanB= ,cotB= .4. 在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠C=30°若BC=10，则AB= . 【主动探究】概 念如图25．2．1，在Rt △ABC ，∠C=90°，直角∠C 所对的边AB 称为斜边，用c 表示，另两条直角边分别为∠A 的对边与邻边，用a 、b 表示．请思考：1.如图25．2．1，在Rt △ABC 中，只要一个锐角的大小不变（如∠A ＝30°），那么不管这个直角三角形大小如何，该锐角的对边与邻边、邻边与对边、对边与斜边、邻边与斜边的比值是一个什么值？．2.如图25．2．2，在Rt △ABC 中，当锐角A 取其他固定值时，∠A 的对边与邻边、邻边与对边、对边与斜边、邻边与斜边的比值是一个什么值？图25.2.1图25.2.2概 括1.在Rt △ABC 中，对于锐角A 的每一个确定的值，其对边与斜边、邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比值都是唯一确定的．2.因此这几个比值都是锐角A 的函数，记作sinA 、cosA 、tanA 、cotA ，即sinA ＝斜边的对边A ∠，cosA ＝斜边的邻边A ∠，tanA ＝的邻边的对边A A ∠∠，cotA ＝的对边的邻边A A ∠∠．分别叫做锐角∠A 的正弦、余弦、正切、余切，统称为锐角∠A 的三角函数．3.锐角三角函数值都是正实数，并且0＜sinA ＜1，0＜cosA ＜1.A C Bc ba例题讲解例1 在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知AC=7，BC=24，求∠A 的四个三角函数值．例2 如图，在△ABC 中，∠C=90°，D 是BC 的中点，且AD=2，AC=3，∠B 的四个【当堂训练】1.在Rt△ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c,下列式子中成立的是 （ ）A 、a=c •sinB B 、a= c •cosBC 、a=c •tanBD 、a=c •cotB2.在Rt △ABC 中，将其三边都扩大3倍，则锐角∠A 的余弦值将 （ ）A 、扩大3倍B 、缩小3倍C 、不变D 、不能确定3.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=15，BC=9，则sinA= ，cosA= ,tanA= ,cotA= .4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，如果cosA=54，那么tanB= . 5.已知∠A 为锐角，则2)1(cos A = .6.如图，在△ABC 中，∠C=90°，BC=12，AD=4，CD=3,求∠B 的四个三角函数值.【回学反馈】1.在直角三角形中，各边长度都缩小2倍，则锐角B 的三角函数值将 （ ）A 、扩大2倍B 、缩小2倍C 、不变D 、有的扩大，有的缩小 2.在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=1，AB=2，则下列结论正确的是 （ ）A 、sinA=23 B 、tanA=21C 、cosB= 23D 、tanB= 3 3. 如果∠A 为锐角，sinA=2m-1，则m 的取值范围是 . 4. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=8，sinA=41，则AC= . 5.如图，∠ACB=90，CDAB 于D.（1）若AD=2，BD=8，求cosB.（2）若AD:BD=9:16，求∠A 的四个三角函数值.李家兴ABD B§25.2 锐角三角函数课时二 同角三角函数的关系【学习目标】1.理解同角三角函数的关系.2.学会同角三角函数关系的简单应用. 【课前导习】1.（1） 在直角三角形中，sin 230°+cos 230°= ， tan60° •cot60°= . （2） sin30°=cos( ) °， tan60°=cot( ) ° （3） 在Rt △ABC 中，∠C=90°，若sin 246°+ cos 2A =1，则∠A= . （4） 在Rt △ABC 中，∠C=90°，tanB •cot52°=1，则∠B= . 【主动探究】问题一：在直角三角形中，同一锐角的三角函数之间有何关系？（1）平方关系：sin 2A+cos 2A=探讨：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别是a 、b 、c ，∵ sinA=c a ，cosA=cb； ∴ sin 2A+cos 2A=22c a +22c b =222cb a + 又∵ 2a +b 2=c 2∴ sin 2A+cos 2A= ，试一试：﹡（2）倒数关系：tanA •cotA= ，﹡（3）商的关系：tanA=)()( , （4）cotA=)()(.﹡问题二：在Rt △ABC 中，∠A+∠B=900,两个锐角∠A 、∠B 的三角函数之间有何关系？ （1）sinA=cos(90°-A)=cos ， （2）cosA=sin(90°-A)=sin ，(3) tanA=cot(90°-A)=cot ， （4）cotA=tan(90°-A)=tan . 问题三：在直角三角形中，一个锐角的正弦值、正切值随角度增大或减小将如何变化？余弦值、余切值呢？例题讲解例1 若在Rt △ABC 中，∠C=90°，且sinA=53 ACBcb a求：（1）cosB 、 tanA 、cotB 的值；（2）tanA •cotA例2 化简 sin 210°+ 2tan46°• tan44°-sin 280°【当堂训练】1.下列结论正确的是 （ ）A 、cot43°-cot47°﹤0B 、若 ∠A+∠B=90°，tanA=cotBC 、tan15°•tan75°=1D 、sin26°=cos(90°-26°) 2. 已知∠B 为锐角，若cosB=sin75°，则∠B= .3.比较sin49°、cos49°、tan49°的大小关系： （ 用“﹤”号连接）.4.已知∠A 为锐角，且sinA-cosA=51，则sinA •cosA= . 5. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=135，BC=24，则AC= .6. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=257，求cosA 、tanA 、cotA 的值.7.已知tanA 、cotA 是关于x 的方程kx 2-10x-4=0的两根，求k 的值.【回学反馈】1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，cotA=73，则tanA= . 2.比较大小：（1）sin46° cos46°，（2）tan12° cot12°.3.计算sin 269°+tan1°• tan2°•tan3°…tan88°•tan89°+sin 221°= . 4.已知∠A 为锐角，tanA 是x 2-2x-3=0的一根，则tan 2A+ 2tanA+1= . 5. 在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=12，BC=5 求：（1）sinA 、cosA ； (2) sin 2A+cos 2A6.如图，在直角坐标系中，O 是原点，点A 的坐标为（10,0），点B 在第一象限内，BO=5，sin ∠BOA=3，求：（1）点B 的坐标；（2）cos ∠BAO 的值. 李家兴§25.2 锐角三角函数课时三 特殊角的三角函数值【学习目标】1.了解特殊角的三角函数值的推导方法.2.掌握特殊角的三角函数值及简单应用. 【课前导习】1.在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=6，AB=10，则sinA= 、 cosA= 、 tanA= 、cotA= .2.在直角三角形中，30°角所对的直角边与斜边的比是 .3.若2sinA=3，则∠A= ；若2cos （B-10°）=1，则∠B= .4.计算（1） tan60°•cot60°= ，（2） sin 245°+cos 245°= .5.反比例函数y=xk图像经过点（tan45°，cot30°），则k= . 【主动探究】探索：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它的对边与斜边比值是多少？ （方法一：用刻度尺度量计算；方法二：通过逻辑推理说明）。