2017-2018学年四川省蓉城名校联盟高一（上）期中数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x≤0}B．{x|x≥2}C．{x|1≤x＜}D．{x|0＜x＜2}2．（5分）下列四组函数中的f（x），g（x），表示同一个函数的是（）A．f（x）=1，g（x）=x0B．f（x）=x﹣1，g（x）=﹣1C．f（x）=x2，g（x）=（）4D．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=log2（x+1）B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣|x|4．（5分）若，b=log24.1，c=20.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b5．（5分）函数f（x）=﹣|x﹣2|+e x的零点所在的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）6．（5分）函数f（x）=（x∈R）的值域是（）A．（0，1） B．（0，1]C．[0，1） D．[0，1]7．（5分）函数y=a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．8．（5分）已知，若f（﹣a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．﹣3或﹣1 B．﹣3 C．3或1 D．39．（5分）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（1，2]D．（0，2]10．（5分）已知f（x）=，当时，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）11．（5分）设奇函数f（x）在[﹣3，3]上是增函数，f（﹣3）=﹣1，当a∈[﹣3，3]时，f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣3，3]恒成立，则t的取值范围是（）A．t≥6或t≤﹣6 B．t≥6或t≤﹣6或t=0C．t＞6或t＜﹣6 D．t＞6或t＜﹣6或t=012．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）﹣f（x）=0，且f（x+2）=f （x），当x∈[0，1]时，f（x）=3x若方程ax﹣f（x）=0（a＞0）恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（）B．（] C． D．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=+log0.5（7﹣x）的定义域是．14．（5分）若{1，a，ab}={0，a2，a+2b}，则a2017+b2017的值为．15．（5分）已知f（+1）=x﹣1，则f（x）=．16．（5分）若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是．三、解答题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}（1）求A∩B：（2）若集合C={x|2x+a＞0}．满足B∪C=C．求实数a的取值范围．18．（12分）求值：（1）（2）．19．（12分）设f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x，当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点为P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分．（1）求函数f（x）在（2，+∞）上的解析式；（2）在直角坐标系中直接画出函数f（x）的图象；（3）写出函数f（x）的值域及单调增区间．20．（12分）我县有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40）．试求f（x）和g（x）；（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？21．（12分）已知幂函数在（0，+∞）上单调递增．（1）求m的值并写出f（x）的解析式；（2）试判断是否存在a＞0，使函数g（x）=（2a﹣1）x﹣a•f（x）+1在[﹣1，2]上的值域为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．22．（12分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知f（x）=ax2+2x﹣8a（a≠0），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若f（x）=2x+2m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣9为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．2017-2018学年四川省蓉城名校联盟高一（上）期中数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的）1．（5分）已知集合A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x＜2}，则A∪B=（）A．{x|x≤0}B．{x|x≥2}C．{x|1≤x＜}D．{x|0＜x＜2}【解答】解：集合A={x|0＜x＜}，B={x|1≤x＜2}，所以A∪B={x|0＜x＜}∪{x|1≤x＜2}={x|0＜x＜2}，故选D．2．（5分）下列四组函数中的f（x），g（x），表示同一个函数的是（）A．f（x）=1，g（x）=x0B．f（x）=x﹣1，g（x）=﹣1C．f（x）=x2，g（x）=（）4D．【解答】解：对于A，函数f（x）=1（x∈R），与g（x）=x0=1（x≠0）的定义域不同，不是同一函数；对于B，函数f（x）=x﹣1（x∈R），与g（x）=﹣1=x﹣1（x≠0）的定义域不同，不是同一函数；对于C，函数f（x）=x2（x∈R），与g（x）==x2（x≥0）的定义域不同，不是同一函数；对于D，函数f（x）=|x|=（x∈R），与g（x）=（x∈R）的定义域相同，对应关系也相同，是同一函数．故选：D．3．（5分）下列函数中，既是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增的函数是（）A．y=log2（x+1）B．y=|x|+1 C．y=﹣x2+1 D．y=2﹣|x|【解答】解：A．y=log2（x+1）是增函数，但在定义域上为非奇非偶函数，不满足条件，B．y=|x|+1是偶函数又在区间（0，+∞）上单调递增，满足条件．C．y=﹣x2+1，是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不满足条件，D．y=2﹣|x|是偶函数，在区间（0，+∞）上单调递减，不满足条件，故选：B4．（5分）若，b=log24.1，c=20.8，则a，b，c的大小关系为（）A．a＜b＜c B．b＜a＜c C．a＜c＜b D．c＜a＜b【解答】解：∵a=＜0，b=log24.1＞2，c=20.8∈（1，2）．∴a＜c＜b．故选：C．5．（5分）函数f（x）=﹣|x﹣2|+e x的零点所在的区间是（）A．（﹣1，0）B．（0，1） C．（1，2） D．（2，3）【解答】解：∵函数f（x）=﹣|x﹣2|+e x，∴f（0）=﹣2+1=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，∴f（0）f（1）＜0．根据函数零点的判定定理可得函数（x）=﹣|x﹣2|+e x的零点所在的区间是（0，1），故选：B．6．（5分）函数f（x）=（x∈R）的值域是（）A．（0，1） B．（0，1]C．[0，1） D．[0，1]【解答】解：函数f（x）===1∵，∴函数f（x）=（x∈R）的值域为（0，1），故选：A7．（5分）函数y=a x﹣a（a＞0，a≠1）的图象可能是（）A．B．C．D．【解答】解：由于当x=1时，y=0，即函数y=a x﹣a 的图象过点（1，0），故排除A、B、D．故选C．8．（5分）已知，若f（﹣a）+f（1）=0，则实数a的值等于（）A．﹣3或﹣1 B．﹣3 C．3或1 D．3【解答】解：∵，f（﹣a）+f（1）=0，∴f（1）=2×1=2，∴f（﹣a）=﹣2，当﹣a＞0时，f（﹣a）=﹣2a=﹣2，解得a=1，不成立；当﹣a≤0时，f（﹣a）=﹣a+1=﹣2，解得a=3．综上，实数a的值等于3．故选：D．9．（5分）已知是R上的增函数，那么a的取值范围是（）A．（1，+∞）B．（0，+∞）C．（1，2]D．（0，2]【解答】解：∵是R上的增函数，∴，解得：a∈（1，2]，故选：C10．（5分）已知f（x）=，当时，则实数m的取值范围是（）A．（﹣1，0）∪（0，1）B．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）C．（﹣1，0）∪（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，1）【解答】解：由已知中函数f（x）=，可得：f（﹣x）=﹣f（x）恒成立，即函数f（x）为奇函数，则可化为mf（m）＜0，当m＞0时，由log3m＜0得：m∈（0，1），当m＜0时，由得：m∈（﹣1，0），综上：m∈（﹣1，0）∪（0，1），故选：A11．（5分）设奇函数f（x）在[﹣3，3]上是增函数，f（﹣3）=﹣1，当a∈[﹣3，3]时，f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣3，3]恒成立，则t的取值范围是（）A．t≥6或t≤﹣6 B．t≥6或t≤﹣6或t=0C．t＞6或t＜﹣6 D．t＞6或t＜﹣6或t=0【解答】解：根据题意，f（x）是奇函数且f（﹣3）=﹣1，则f（3）=1，又由f（x）在[﹣3，3]上是增函数，则f（x）在[﹣3，3]上最大值为f（3）=1，若当a∈[﹣3，3]时，f（x）≤t2﹣2at+1对所有的x∈[﹣3，3]恒成立，则有1≤t2﹣2at+1对于a∈[﹣3，3]恒成立，即t2﹣2at≥0对于a∈[﹣3，3]恒成立，当t=0时显然成立当t≠0时，则t2﹣2at≥0成立，又a∈[﹣3，3]令g（a）=2at﹣t2，a∈[﹣3，3]当t＞0时，g（a）是减函数，故令g（3）≥0，解得t≥6当t＜0时，g（a）是增函数，故令g（﹣3）≥0，解得t≤﹣6综上知，t≥6或t≤﹣6或t=0；故选：B12．（5分）定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）﹣f（x）=0，且f（x+2）=f （x），当x∈[0，1]时，f（x）=3x若方程ax﹣f（x）=0（a＞0）恰有四个不相等的实数根，则实数a的取值范围是（）A．（）B．（] C． D．【解答】解：若方程ax﹣f（x）=0（a＞0）恰有4个不相等的实数根，等价于函数f（x）与y=ax的图象有4个不同的交点，由f（x+2）=f（x），得函数的周期为2，且为偶函数，故函数f（x）的图象如图所示：，结合图象，＜a＜1，故选：A．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数f（x）=+log0.5（7﹣x）的定义域是[3，7）．【解答】解：由，得3≤x＜7．∴函数f（x）=+log0.5（7﹣x）的定义域是[3，7），故答案为：[3，7）．14．（5分）若{1，a，ab}={0，a2，a+2b}，则a2017+b2017的值为﹣1．【解答】解：∵{1，a，ab}={0，a2，a+2b}，∴b=0，a2=1≠a，即a=﹣1，故a2017+b2017=﹣1，故答案为：﹣115．（5分）已知f（+1）=x﹣1，则f（x）=x2﹣2x，（x≥1）．【解答】解：由题意，设+1）=t，（t≥1）则x=（t﹣1）2那么f（t）=（t﹣1）2﹣1=t2﹣2t∴f（x）=x2﹣2x，（x≥1）故答案为：x2﹣2x，（x≥1）16．（5分）若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间是．【解答】解：函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）在区间恒有f（x）＞0，由于x∈，得2x2+x∈（0，1），又在区间恒有f（x）＞0，故有a ∈（0，1）对复合函数的形式进行，结合复合函数的单调性的判断规则知，函数的单调递增区间为（﹣∞，﹣）故应填（﹣∞，﹣）三、解答题（本大题共6个小题，共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（10分）集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}（1）求A∩B：（2）若集合C={x|2x+a＞0}．满足B∪C=C．求实数a的取值范围．【解答】解：（1）∵集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}，∴A∩B={x|2≤x＜3}．（2）∵集合C={x|2x+a＞0}={x|x＞﹣}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}={x|x≥2}，满足B∪C=C．∴B⊆C，∴﹣≤2，解得a≥﹣4．∴实数a的取值范围是[﹣4，+∞）．18．（12分）求值：（1）（2）．【解答】解：（1）原式=﹣1++=﹣1++=．（2）原式=+3+﹣=2+3+1﹣=．19．（12分）设f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤2时，y=x，当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点为P（3，4），且过点A（2，2）的抛物线的一部分．（1）求函数f（x）在（2，+∞）上的解析式；（2）在直角坐标系中直接画出函数f（x）的图象；（3）写出函数f（x）的值域及单调增区间．【解答】解：（1）∵当x＞2时，y=f（x）的图象是顶点在p（3，4），且过点A （2，2）的抛物线的一部分，可设y=a（x﹣3）2+4，再把点A（2，2）代入，可得2=a+4，求得a=﹣2，∴y=﹣2（x﹣3）2+4（x＞2）．∴由于函数f（x）在R上是偶函数，它的图象关于y轴对称，故函数的解析式为f（x）=．（2）函数f（x）的图象如图所示：（3）由图象可得，函数f（x）的值域为（﹣∞，4]，单调增区间为（﹣∞，﹣3]，[0，3]．20．（12分）我县有甲，乙两家乒乓球俱乐部，两家设备和服务都很好，但收费方式不同．甲家每张球台每小时5元；乙家按月计费，一个月中30小时以内（含30小时）每张球台90元，超过30小时的部分每张球台每小时2元．小张准备下个月从这两家中的一家租一张球台开展活动，其活动时间不少于15小时，也不超过40小时．（1）设在甲家租一张球台开展活动x小时的收费为f（x）元（15≤x≤40），在乙家租一张球台开展活动x小时的收费为g（x）元（15≤x≤40）．试求f（x）和g（x）；（2）问：小张选择哪家比较合算？为什么？【解答】解：（1）f（x）=5x，（15≤x≤40）（3分）（6分）（2）由f（x）=g（x）得或即x=18或x=10（舍）当15≤x＜18时，f（x）﹣g（x）=5x﹣90＜0，∴f（x）＜g（x）即选甲家当x=18时，f（x）=g（x）即选甲家也可以选乙家当18＜x≤30时，f（x）﹣g（x）=5x﹣90＞0，∴f（x）＞g（x）即选乙家．（8分）当30＜x≤40时，f（x）﹣g（x）=5x﹣（2x+30）=3x﹣30＞0，∴f（x）＞g（x）即选乙家．（10分）综上所述：当15≤x＜18时，选甲家；当x=18时，选甲家也可以选乙家；当18＜x≤40时，选乙家．（12分）21．（12分）已知幂函数在（0，+∞）上单调递增．（1）求m的值并写出f（x）的解析式；（2）试判断是否存在a＞0，使函数g（x）=（2a﹣1）x﹣a•f（x）+1在[﹣1，2]上的值域为，若存在，求出a的值；若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（x）是幂函数，∴m2﹣2m+1=1，解得：m=0或m=2，而f（x）在（0，+∞）递增，故m=0，故f（x）=x2；（2）由（1）g（x）=（2a﹣1）x﹣ax2+1，=﹣a（x﹣）2+，①当∈[﹣1，2]，即a∈[，+∞）时，=，a=2，g（﹣1）=﹣4，g（2）=﹣1；②当∈（2，+∞）时，解得﹣＜a＜0，∵a＞0，∴这样的a不存在．③当∈（﹣∞，﹣1），即a∈（0，）时，g（﹣1）=，g（2）=﹣4，解之得，这样的a不存在．综①②③得，a=2．即当a=2时，结论成立．22．（12分）对于函数f（x），若在定义域内存在实数x，满足f（﹣x）=﹣f（x），则称f（x）为“局部奇函数”．（1）已知f（x）=ax2+2x﹣8a（a≠0），试判断f（x）是否为“局部奇函数”？并说明理由；（2）若f（x）=2x+2m是定义在区间[﹣1，1]上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围；（3）若f（x）=4x﹣m•2x+1+m2﹣9为定义域R上的“局部奇函数”，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）f（﹣x）+f（x）=0，则2ax2﹣16a=0得到有解，所以f（x）为局部奇函数．…（4分）（2）由题可知2﹣x+2x+4m=0有解，﹣，…（6分）设，，所以，所以．…8分（3）若f（x）为局部奇函数，则f（﹣x）+f（x）=0有解，得4x﹣m•2x+1+m2﹣9+4﹣x﹣m•2﹣x+1+m2﹣9=0，令2x+2﹣x=t≥2，从而F（t）=t2﹣2mt+2m2﹣20=0在[2，+∞）有解．…（10分）①F（2）≤0，即﹣2≤m≤4；②，即，综上，…（12分）。