数学·必修1(人教版)本章概述 学习内容1.指数函数(1)通过具体实例(如细胞的分裂，考古中所用的14C 的衰减，药物在人体内残留量的变化等)，了解指数函数模型的实际背景．(2)理解有理指数幂的含义，通过具体实例了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算． (3)理解指数函数的概念和意义，能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点．(4)在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型． 2．对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；通过阅读材料，了解对数的发现历史以及对简化运算的作用．(2)通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，初步理解对数函数的概念，体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点．(3)了解指数函数y ＝a x(a ＞0，且a ≠1)与对数函数y ＝log a x (a ＞0，且a ≠1)互为反函数．3．幂函数通过实例，了解幂函数的概念；结合函数y ＝x α⎝ ⎛⎭⎪⎫α＝1，2，3，12，－1的图象，了解它们的变化情况．4．学习指数函数、对数函数、幂函数等基本初等函数要注意的问题(1)指数幂的学习，应在回顾整数指数幂的概念及其运算性质的基础上，结合具体实例，理解有理指数幂及其运算性质，了解实数指数幂的意义及其运算性质，体会“用有理数逼近基本初等函数(Ⅰ)无理数”的思想，可以利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程．(2)关于反函数，可通过比较同底的指数函数和对数函数，了解指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)和对数函数y＝log a x(a＞0，且a≠1)互为反函数．(3)学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，应结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程和方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社会中的简单问题.知识结构2.1 指数函数2．1.1 指数与指数幂的运算(一)►基础达标1．化简下列各式：(1) 63－π6＝______________；答案：π－3(2) 5a10＝______________.答案：a2答案：C解析：2n ＋12·⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＋14n ·8－2＝22n ＋2－2n ＋122n －6＝21－2n ＋6＝27－2n＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －7. 答案：D5．设a ≥0，化简：3a 6＝____________ ，由此推广可得：p a mp ＝________(m ，n ，p ∈N *)． 答案：a 2am►巩固提高 6．若8＜x <12，则x －82＋x －122＝_______________________________________________________.解析：x －82＋x －122(∵8＜x ＜12)＝x －8＋12－x ＝4.答案：47．设a ，b ∈R ，下列各式总能成立的是( ) A ．(6a －6b )6＝a －b B.8a 2＋b 28＝a 2＋b 2C.4a 4－4b 4＝a －b D.10a ＋b10＝a ＋b答案：B►巩固提高10．已知0<2x －1<3，化简1－4x ＋4x 2＋2|x －2|. 解析：由0<2x －1<3，得12<x <2，∴1－4x ＋4x 2＋2|x －2|＝2x －12＋2|x －2|＝2x －1－2(x －2)＝3.1．熟记整数幂的运算性质． 2．理解n 次方根与根式的概念．3．掌握根式运算性质．进行指数幂的运算时，一般将指数化为正指数，便于进行乘除、乘方、开方运算，以达到化繁为简的目的，对含有指数式或根式的乘除运算，还要善于利用幂的运算法则．2.1.2 指数与指数幂的运算(二)►基础达标1．化简[(－3)2]－12的值等于( )A.3 B ．－ 3 C.33 D ．－33解析：[(－3)2]－12＝3－12＝33.答案：C 2.x －2x －1＝x －2x －1成立的条件是( ) A ．x ＜1 B ．x ≠1 C.x －2x －1≥0 D ．x ≥2 解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，x －1＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＞1，∴x ≥2. 答案：D3．(－2)100＋(－2)101等于( ) A ．－1 B ．2100 C ．(－2)100 D ．－2100 解析：(－2)100＋(－2)101 ＝(－2)100＋(－2)(－2)100 ＝(－2)100[1＋(－2)] ＝－(－2)100＝－2100. 答案：D 4．若x 2＝9，则x ＝________；若x 3＝8，则x ＝________________________________________________________________________.答案：±3 25．已知a 12＋a －12＝3，则a 2＋a －2＝________________________________________________________________________.6．设b＞0，用分数指数幂表示下列各式：(1)b2·b＝________；(2)3b4b＝________.答案：7．计算2－12＋(－4)02＋12－1－(1－5)0的结果是()A．1 B．2 2 C. 2 D．2－1 2►巩固提高8．求值：23×31.5×612＝________.9．化简下列各式：解析：.解析：10．已知x∈R，a＞0，设a x＋a－x＝u，将下列各式分别用u表示：1．进行指数幂运算时，要将指数化为正指数，还要善于利用幂的运算法则．2．注意根式运算与有理数指数幂的相互转化．3．利用指数幂的运算性质进行化简变化时，要注意次序．4．含有绝对值或偶次方根的运算，必要时需要分类讨论.2.1.3指数函数及其性质(一)►基础达标1．函数f (x )＝1－2x的定义域是( ) A ．(－∞，0) B ．[0，＋∞) C ．(－∞，0] D ．(－∞，＋∞)解析：由1－2x ≥0，得2x ≤1，由指数函数y ＝2x的性质可知x ≤0. 答案：C2．一种细胞在分裂时由一个分裂成两个，两个分裂成四个，四个分裂成八个，……每天分裂一次，现在将一个该细胞放入一个容器，发现经过10天就可充满整个容器，则当细胞分裂到充满容器的一半时需要的天数是( )A ．5天B ．6天C ．8天D ．9天 答案：D3．若0＜a ＜1，b ＜－2，则函数y ＝a x＋b 的图象一定不经过( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 答案：A4．函数＝y ⎝ ⎛⎭⎪⎫123x －1－18的定义域是________．6．某厂去年生产某种规格的电子元件a 个，计划从今年开始的m 年内，每年生产此种元件的产量比上一年增长p %，此种规格电子元件年产量y 随年数x 变化的函数关系是____________________．答案：y ＝a (1＋p %)x(0≤x ≤m ) ►巩固提高7．已知a ，b ＞1，f (x )＝a x ，g (x )＝b x，当f (x 1)＝g (x 2)＝2时， 有x 1＞x 2，则a ，b 的大小关系是( )A ．a ＝bB ．a ＞bC ．a ＜bD ．不能确定 解析：∵a ＞1，b ＞1， 由图示知b ＞a .答案：C.9．若函数f(x)＝a x－1＋3恒过定点P，试求点P的坐标．分析：研究f(x)＝a x的图象和f(x)＝a x－1＋3图象的关系，由指数函数恒过(0,1)点推导．解析：将指数函数y＝a x(a＞0，且a≠1)的图象沿x轴右移一个单位，再沿y轴向上平移3个单位，即可得到y＝a x－1＋3的图象，因为y＝a x的图象恒过(0,1)，故相应的y＝a x－1＋3恒过定点(1,4)．1．熟记指数函数的图象和性质．2．研究与指数函数相关的函数性质时，要用好指数函数的图象和性质，有时需要把一些式子当成一个整体．3．在实际问题中，抽象出指数函数的模型后，需注意定义域以及函数的性质．2.1.4 指数函数及其性质(二)►基础达标1．已知指数函数y ＝a x (a ＞0，且a ≠1)在[0,1]上的最大值与最小值的和为3，则a 等于( ) A.12 B ．2 C ．4 D.14解析：∵指数函数在其定义域内是单调函数，∴端点处取得最大、小值，∴a 0＋a ＝3，故a ＝2.答案：B2．下列不等关系中，正确的是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1213B.⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜1 C ．1＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1223 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫1223＜⎝ ⎛⎭⎪⎫1213＜13．函数f (x )＝a x (a >0且a ≠1)，对于任意实数x ，y 都有( )A ．f (xy )＝f (x )f (y )B ．f (xy )＝f (x )＋f (y )C ．f (x ＋y )＝f (x )f (y )D ．f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )解析：f (x ＋y )＝a x ＋y ＝a x a y ＝f (x )f (y )．故选C.答案：C4．将函数y ＝2x 的图象先向右平移1个单位，再向上平移2个单位可得到函数__________的图象．答案：y ＝2x －1＋25．函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2x 在区间[－1, 1]上的最大值为________． 解析：∵y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13x －2x 在区间[－1,1]上是单调减函数，∴当x ＝－1时，有最大值为52. 答案：52►巩固提高7．函数y ＝|2－x －2|的图象是( )答案：D8．已知(a 2＋a ＋2)x ＞(a 2＋a ＋2)1－x ，则x 的取值范围为( )A ．(－∞，1) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞ C ．(0,2) D ．R解析：∵a 2＋a ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋122＋74＞1， ∴由题设知x ＞1－x ，解得x ＞12. 答案：B9．已知函数f (x )＝a －12x ＋1，若f (x )为奇函数，则a ＝__________. 解析：∵f (－x )＝a －12－x ＋1＝a －2x 1＋2x ， ∵f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，∴a －2x 1＋2x ＝12x ＋1－a ⇒2a ＝1⇒a ＝12. 答案：12解析：令t ＝x 2－4x ＋3，则y ＝3t .(1)当x ∈[2，＋∞)时，t ＝x 2－4x ＋3是x 的增函数，而y ＝3t 是t 的增函数 ，故y ＝3x 2－4x ＋3的单调递增区间是[2，＋∞)．(2)当x ∈(－∞，2]时，t ＝x 2－4x ＋3是x 的减函数，而y ＝3t 是t 的增函数，故y ＝3x2－4x＋3的单调递减区间是(－∞，2]．1．比较指数式的大小，多用指数函数的单调性．2．注意函数图象由简单到复杂的变换过程．3．研究较复杂的函数性质时，首先要搞清它是由哪些简单函数复合而成的，这样容易理解整体性质．4．解决综合性问题，应分步分类逐步解决.。