第二学期期末考试高一年级水平考试数学学科试卷一．选择题（共12小题，5分/小题，共60分）1．已知34tan =x ，且x 在第三象限，则x cos =（ ） A ．54 B ．54- C ．53 D ．53-2．已知312sin =α，则)4(cos 2πα-=（ ）A ．31-B ．31C ．32-D ．323．要得到函数)32cos()(π+=x x f 的图象，只需将函数)32sin()(π+=x x g 的图象（ ）A ．向左平移2π个单位长度 B ．向右平移2π个单位长度 C ．向左平移4π个单位长度 D ．向右平移4π个单位长度4．若向量a ，b 满足|a |=，b =（﹣2，1），a •b =5，则a 与b 的夹角为（ ）A ．90°B ．60°C ．45°D ．30°5．若31)3sin(=-απ，则=+)23cos(απ（ ）A ．97B ．32C ．32-D ．97-6．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为c b a ,,，已知sinB+sinA （sinC ﹣cosC ）=0，a =2，c =，则C=（ ） A ．12π B ．6π C ．4π D ．3π 7．等差数列{n a }的首项为1，公差不为0．若632,,a a a 成等比数列，则{n a }前6项的和为（ ） A ．﹣24 B ．﹣3 C ．3D ．88．在等比数列{n a }中，若1a =2，4a =16，则{n a }的前5项和5S 等于（ ） A ．30 B ．31 C ．62 D ．649．变量y x ,满足条件⎪⎩⎪⎨⎧->≤≤+-1101x y y x ，则22)2(y x +-的最小值为（ ）A ．223 B ．5 C ．5 D ．29 10．锐角三角形ABC 的三边长c b a ,,成等差数列，且21222=++c b a ，则实数b 的取值范围是（ ） A ．B ．C ．D ．（6，7]11．已知*,R y x ∈，且满足xy y x 22=+，那么y x 4+的最小值为（ ） A ．3﹣B ．3+2C ．3+D ．412．如图，在△OMN 中，A ，B 分别是OM ，ON 的中点，若=x+y（R y x ∈,），且点P 落在四边形ABNM 内（含边界），则21+++y x y 的取值范围是（ ）A ．[，]B ．[，]C ．[，]D ．[，]二．填空题（共4小题，5分/小题，共20分） 13．函数43cos 3sin )(2-+=x x x f ，（∈x [0，]）的最大值是 ． 14．在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若=2，=λ﹣（λ∈R ），且=﹣4，则λ的值为 ．15．等比数列{n a }的各项均为实数，其前n 项为n S ，已知3S =，6S =，则8a = ．16．若关于x 的不等式b x x a ≤+-≤43432的解集恰好为[b a ,]，那么a b -= ．三．解答题（共14小题）xy1O17．（10分）已知函数x x x f 2sin )42sin(22)(++=π． （1）求函数)(x f 的最小正周期；（2）若函数)(x g 对任意R x ∈，有)6()(π+=x f x g ，求函数)(x g 在[﹣，]上的值域．18．（12分）已知函数R x x A x f ∈+=),sin()(φω（其中22,0,0πφπω<<->>A ），其部分图象如图所示．（I ）求)(x f 的解析式； （II ）求函数)4()4()(ππ-⋅+=x f x f x g 在区间上的最大值及相应的x 值．19．（12分）已知公差不为零的等差数列{n a }的前n 项和为n S ，若10S =110，且421,,a a a 成等比数列 （Ⅰ）求数列{n a }的通项公式； （Ⅱ）设数列{n b }满足)1)(1(1+-=n n n a a b ，若数列{n b }前n 项和n T ．20．（12分）某厂拟生产甲、乙两种适销产品，每件销售收入分别为3000元，2000元．甲、乙产品都需要在A 、B 两种设备上加工，在每台A 、B 设备上加工一件甲所需工时分别为1h ，2h ，加工一件乙设备所需工时分别为2h ，1h ．A 、B 两种设备每月有效使用台时数分别为400h 和500h ，分别用y x ,表示计划每月生产甲，乙产品的件数．（Ⅰ）用y x ,列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域； （Ⅱ）问分别生产甲、乙两种产品各多少件，可使收入最大？并求出最大收入．21．（12分）已知在△ABC 中，三条边c b a ,,所对的角分别为A 、B ，C ，向量m =（A A cos ,sin ），n =（B B sin ,cos ），且满足m •n =C 2sin ． （1）求角C 的大小；（2）若sinA ，sinC ，sinB 成等比数列，且•（﹣）=﹣8，求边c 的值并求△ABC 外接圆的面积．22．（12分）若正项数列{n a }满足：)(,*11N n a a a a n n nn ∈-=++，则称此数列为“比差等数列”． （1）请写出一个“比差等数列”的前3项的值； （2）设数列{n a }是一个“比差等数列” （i ）求证：42≥a ；（ii ）记数列{n a }的前n 项和为n S ，求证：对于任意*N n ∈，都有2452-+>n n S n ．广东仲元中学2016学年第二学期期末考试高一年级水平考试数学学科试卷参考答案与试题解析一．选择题（共12小题）DDCCD BACCC BC二．填空题（共4小题）13． 1 ．14．．15．32 ．16． 4 ．三．解答题（共14小题）17．解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin2x==sin2x+cos2x+sin2x=sin2x+=sin2x+1﹣=sin2x+，∴f（x）的最小正周期T=； ..........(5分)（2）∵函数g（x）对任意x∈R，有g（x）=f（x+），∴g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）+，当x∈[﹣，]时，则2x+∈，则≤sin（2x+）≤1，即×≤g（x），解得≤g（x）≤1．综上所述，函数g（x）在[﹣，]上的值域为：[，1]． .........(10分)18．解：（I）由图可知，A=1（1分），所以T=2π（2分）所以ω=1（3分）又，且所以（5分）所以．（6分）（II）由（I），所以==（8分）=cosx•sinx（9分）=（10分）因为，所以2x∈[0，π]，sin2x∈[0，1]故：，当时，g（x）取得最大值．（12分）19．解析：（Ⅰ）由题意知：…..…（4分）解得a1=d=2，故数列a n=2n；…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，…..（8分）则…..（10分）=…（12分）20．解：（Ⅰ）设甲、乙两种产品月的产量分别为x，y件，约束条件是，由约束条件画出可行域，如图所示的阴影部分 .........（5分）（Ⅱ）设每月收入为z千元，目标函数是z=3x+2y由z=3x+2y可得y=﹣x+z，截距最大时z最大．结合图象可知，z=3x+2y在A处取得最大值由可得A（200，100），此时z=800故安排生产甲、乙两种产品月的产量分别为200，100件可使月收入最大，最大为80万元．.................(12分)21．解：（1）∵向量=（sinA，cosA），=（cosB，sinB），且满足•=sin2C，∴sin（A+B）=2sinCcosC，∴cosC=，∴C=； ...........(4分)（2）∵sinA，sinC，sinB成等比数列∴sin2C=sinAsinB，∴c2=ab，∵•（﹣）=﹣8，∴•=﹣8，∴ab=16，∴c=4，设外接圆的半径为R，由正弦定理可知：2R=∴R=，∴S=． ...........（12分）22．（1）解：一个“比差等数列”的前3项可以是：2，4，； ...........（2分）（2）（i）证明：当n=1时，，∴===，∵a n＞0，∴，则a1﹣1＞0，即a1＞1，∴≥2+2=4，当且仅当时取等号，则a2≥4成立； ...........（7分）（ii）由a n＞0得，a n+1﹣a n=≥0，∴a n+1≥a n＞0，则a n+1﹣a n=，由a2≥4得，a3﹣a2≥1，a4﹣a3≥1，…，a n﹣a n﹣1≥1，以上 n﹣1个不等式相加得，a n≥（n﹣2）+4=n+2（n≥2），当n≥2时，S n=a1+a2+a3+…+a n≥1+4+（3+2）+…+（n+2）≥（1+2）+（2+2）+…+（n+2）﹣2=﹣2=，当n=1时，由（i）知S1=a1＞1≥，综上可得，对于任意n∈N*，都有S n＞． ...........（12分）。