山西师范大学本科毕业论文矩阵可逆的若干判别方法郭晓平姓名院系数学与计算机科学学院专业数学与应用数学0701班班级学号**********指导教师宋蔷薇答辩日期成绩矩阵可逆的若干判别方法内容摘要对线性代数和代数学而言，矩阵是一个主要研究对象和重要工具，其中可逆矩阵又是矩阵运算理论的整体不可或缺的一部分。

在矩阵理论，可逆矩阵所占的地位是不可替代的，在坐标轴旋转变换公式的矩阵表示、线性变换、线性方程组等理论研究中，它均有重要意义。

而且由于在许多有关数学、物理，经济的实际问题中，常常需要通过建立合适的数学模型化为线性代数和代数学等的问题，因此可逆矩阵也是解决实际问题比较常用的工具之一。

鉴于可逆矩阵具有重要的理论和实践意义，研究矩阵可逆的判别方法也就相当有必要了。

本文结合所学知识并查阅相关资料，系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法及其证明过程。

其中，可逆矩阵判别方法主要包括定义判别法、伴随矩阵判别法、初等变换判别法、线性方程组法、矩阵向量组的秩判别法等。

另外，本文还给出了十种特殊矩阵可逆性的相关结论，最后针对这些判别方法选取了典型的例题，以便我们更好的掌握矩阵可逆的判别方法。

【关键词】矩阵逆矩阵初等变换伴随矩阵线性方程组Some Methods for Judging Invertible MatrixAbstractThe matrix is a main research subject and an important tool in linear algebra and algebra. The invertible matrix, which plays the role of the invertible number in rational numbers, is an essential part of the matrix theory. The very important status ,which the invertible matrix holds in the matrix theory ,can not be replaced. It has the important meaning for solving linear equations, linear transformation theory problems, rotating coordinate transform formula of matrix representation theory. And In solving practical problems such as mathematics, physics, economic and other fields, it is often need to establish proper mathematical models into linear algebra and algebra issues. Therefore it also is a commonly used tool, which is widely applied in practical problem. In view of the fact that the invertible matrix has important significance in both theory and practice, the study of judging invertible matrix is quite necessary.Through combining with my knowledge, referring to the relevant materials, this paper systematically organizes and summarizes eleven kinds of methods for judging invertible matrix ,which contain definition method, the adjoin matrix method, elementary transformation method, linear equations method and so on ,and the proof process. This paper also gives ten special matrix invertible conclusions. Finally, this paper selects several typical examples aiming at these discriminate methods, so that we know the methods for judging invertible matrix.【Key Words】matrix inverse matrix elementary transformation adjoin matrix Linear equations目录一、引言 (01)二、预备知识 (01)（一）基本概念 (01)（二）可逆矩阵的性质 (01)三、矩阵可逆的若干判别方法 (02)（一）定义判别法 (02)（二）行列式判别法 (02)（三）秩判别法 (02)（四）伴随矩阵判别法 (02)（五）初等变换判别法 (02)（六）初等矩阵判别法 (02)（七）矩阵向量组的秩判别法法 (03)（八）线性方程组判别法 (03)（九）标准形判别法 (04)（十）多项式判别法 (04)（十一）特征值判别法 (05)四、十种常见矩阵的可逆性 (05)五、矩阵可逆判别方法的实例 (07)六、小结 (11)参考文献 (11)致谢 (12)矩阵可逆的若干判别方法学生姓名：郭晓平 指导老师：宋蔷薇一、引言在矩阵的乘法运算中，就像理数的倒数一样，可逆矩阵是构成矩阵运算理论体系不可或缺的一部分。

矩阵对解决数学中诸多理论问题都有重要意义。

在矩阵理论中可逆矩阵有如此重要的地位作用，所以学习、研究可逆矩阵的判别方法，有助于进一步完善矩阵理论体系，也是相当有必要的。

解决实际问题（如国民经济中的调运方案等问题），第一步往往是建立合适的数学模型，然后化为线性代数和代数学等的问题。

很多有关代数学方面的研究多数会情况下转化为有关矩阵的研究，特别是可逆矩阵的研究。

矩阵可应用于物理、数学、经济等方面。

可逆矩阵在矩阵中有着重要地位，可见研究可逆矩阵的判定也有着重要的实践意义。

本文系统地整理并归纳总结了十一种矩阵可逆的判别方法。

二、预备知识（一）基本概念定义1【1】 设数域F 上,n 阶方阵A ，如果存在n 阶方阵B 满足条件E AB =且E BA =,就称A 可逆,并且称B 是A 的逆,记1-=A B .定义2 记A 中元素ij a 的代数余子式为ij A ，令T n n ij A A ⨯=)(*,我们称矩阵*A 为A 的伴随矩阵。

定义3[1] 矩阵A 的行秩和列秩称为A 的秩，记作)(A r . 定义4[2] 矩阵的三类初等行变换： (1)互换某两行的位置；(2)用F 中某个非零数乘某行； (3)将某行的数倍加到另一行上。

初等列变换与初等行变换完全类似，只需将行换成列即可。

定义5 初等矩阵，是对单位矩阵E 施行一次初等变换得到的矩阵。

定义6 对A 施加一系列初等变换,它变为B ,则称A 与B 等价。

（二） 矩阵可逆的性质 性质1 A A =--11)(; 性质2 11)()(--=T T A A ; 性质3 111)(---=A B AB ; 性质4 111)(---=A k kA ;性质5 矩阵A 与它的伴随矩阵*A 具有相同的可逆性，即A 可逆⇔*A ,且 *1*)(AA A =-性质6[2] 设n m F A ⨯∈,P ,Q 分别是m 阶和n 阶可逆方阵，)()(A r PAQ r =.且)()(AQ r PA r =三、矩阵可逆的若干判别方法（一）定义[1]判别法设对于n 阶方阵A ，如果存在n 阶方阵B 满足条件E AB =且E BA =,就称A 可逆,并且称B 是A 的逆,记1-=A B .注：这种方法实际上是通过直接找到矩阵的逆，进而根据矩阵可逆的定义来证明矩阵可逆的，所以它多适用于简单矩阵和非具体矩阵。

（二）矩阵行列式判别法定理[2]：A 可逆⇔A 是方阵且A 0≠（非退化）。

（三）秩判别法n 阶矩阵A 可逆⇔n A r =)(.证明:由A 可逆，知0≠A ,再由矩阵秩的定义，可得n A r =)(.所以由A 可逆可推得n A r =)(.反过来，必要性也显然成立。

（四）伴随矩阵判别法A 可逆⇔存在*1A AB =,使得E BA AB ==.证明：若A 可逆，则显然0≠A ,且*11A AA =-. 反过来，如果有 *1A AB =,E BA AB ==, 则 *11A AB A ==-. (1) 注：公式(1)便是求逆矩阵的公式。

但是根据这个公式来求逆矩阵，矩阵阶数较大时计算量往往是相当大的且繁琐，因此该方法适合阶数较小的矩阵。

（五）初等变换判别法对矩阵A 施行初等行（或者列）变换得到的矩阵B ,则B 可逆⇔A 可逆。

证明：设用初等行或列变换，将A 变为B ,因为初等变换是等价变换，从而并不改变A 的秩，所以A 与B 秩相等，故A 与B 有相同的可逆性，从而B 可逆⇔A 可逆。

命题得证。

（六）初等矩阵判别法定理[1]：方阵A 可逆⇔A 可表成一些初等矩阵的乘积： s Q Q Q A 21=. 证明：充分性,由题知， s Q Q Q A 21=,则有02121≠==s s Q Q Q Q Q Q A ,故A 可逆。

必要性的详细证明见于参考文献[1]第191页。

证毕。

定理[1]：方阵A 可逆⇔A 可以经过初等行变换化为单位矩阵。

证明：必要性，由矩阵A 可逆，知它可以表示成一些初等矩阵s P P P 21的乘积， 即s P P P A 21=,从而E A P P P s=---11121,也就是说，A 可以经过初等行变换化为单位矩阵。

充分性，若A 可经过初等行变换化为单位矩阵，则存在一些初等矩阵s P P P ,,,21 ,使得 E A P P P s = 21,从11211---=s P P P A ,故 011121112111≠===------ssP P P P P P A ,因此A 可逆。

证毕。

注：施加一系列初等行变换，可逆矩阵A 可化为单位矩阵，那么类似地施加一系列初等列变换可逆矩阵也可化为单位矩阵。

具体方法：用一系列初等行变换进行以下过程A ()E →E ( )1-A ,则矩阵里右面的块即为A 的逆矩阵。