分式的基本性质及运算
一、知识提要
1. 分式的定义
一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有分母，那么式子A
B
叫做分式.
2. 分式有意义
分式的分母表示除数，由于除数不能为0，所以分式的分母不能为0，即当B≠0
时，分式A
B
才有意义.
3. 分式的基本性质
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不为0的整式，分式的值不变.
4. 约分利用分式的基本性质，约去分子与分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分.
5. 最简分式
分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式.
6. 通分
利用分式的基本性质，将不同分母的几个分式化成分母相同的分式，这样的分式变形叫做分式的通分.
7. 最简公分母
取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫做最简公分母.
8. 分式的乘除
乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母. 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘. 分式乘方要把分子、分母分别乘方.
9. 分式的加减
同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减.
二、精讲讲练
1. 在下列各式
2
3a
π
，
2
2x
x ，34a b +，(3)(1)x x +÷-，2m -，a m
中是分式的有____个.
2. ①（2011浙江）当x ________时，分式
x
-31
有意义； ②若代数式
13
24
x x x x ++÷++有意义，则x 的取值范围是 ． 3. ①（2011天津）若分式21
1
x x -+的值为0，则x 的值等于________.
②若分式
2
(2)(3)
a a a --+的值为0，则a =_______.
4. 填空：①
())0(,10 53≠=a axy xy a ②()
1
422=
-+a a ③25_________20ab a b
=—④22
9
_________69x x x -=-+ 5. 分式:①
223a a ++，②22a b a b --，③412()a
a b -，④12
x -中，最简分式有( )
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
6. 分式
26x ab ，2
9y
a bc 的最简公分母是__________； 分式2121a a a -++，26
1
a -的最简公分母是___________．
7. 分式计算 （1）222536x y y x ⋅ （2）3921243a a b b b a ⎛⎫÷÷⋅ ⎪⎝⎭
（3）222441
214a a a a a a -+-⋅-+- （4）3
2
23322a a c cd d a ⎛⎫⎛⎫÷ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭g
（5）
2222532x y x x y x y +--- （6）112323p q p q
++-
8. （2011浙江）计算
111
a a a ---的结果为( ) A ．11a a +- B. 1
a a -- C. －1 D. 1-a
9. 一件工作，甲独做a 小时完成，乙独做b 小时完成，则甲、乙两人合作完成
需要( )小时.
A.11a b
+ B.1ab C.1a b + D.ab a b +
10. 如果
21(3)(4)34
x A B
x x x x +=+
-+-+，则A =______；B =______. 11. 甲乙两地相距S 千米，汽车从甲地到乙地按每小时v 千米的速度行驶，可按
时到达；若每小时多行驶a 千米，则可提前________小时到达(保留最简结果). 12. 若把分式
xy
y
x 2+中的x 和y 都扩大3倍，那么分式的值（ ） A.扩大3倍 B.不变
C.缩小为原来的三分之一
D.缩小为原来的六分之一 13. （2011江苏）已知1112
a
b
-=，则
ab
a b
-的值是（ ） A ．12
B ．12-
C ．2
D ．－2
14. （2011山东）当2x =时，22
1
1x x x ---=________. 15. （2011山东）化简：2222222a b a b
a a
b b a b
--÷+++=__________.
16. （2011河南）先化简2144
(1)11
x x x x -+-÷
--，然后从-2≤x ≤2的范围内选取一个合适的整数作为x 的值代入求值.
17. 若实数x 、y 满足|21|23240x y x y -++-+=，求代数式
2222
1244x y x y x y x xy y ---÷--+的值.
18. （2011江苏）先化简，再求值22
(1)(1)1
a a a -+÷++，其中21a =-．
三、测试提高
【板块一】分式的意义
1. 当x 满足下列选项中的哪个时，分式
2
5
x -有意义（ ） A ．5x = B ．5x ≠ C ．5x =± D ．5x ≠±
2. 已知当x =-2时，分式x b
x a
--无意义，x =4时，此分式的值为0，则a +b 的值为
（ ）
A ．6
B ．2
C ．-2
D ．-6
【板块二】分式的运算
3. A 、B 两地相距s 千米，小明从A 地到B 地每小时走a 千米，从B 地到A 地每小时走b 千米，则他往返的平均速度是（ ） A.2b a + B.b a s +2 C.b a ab +2 D.b
a a
b +
4. 计算：1111x x
+-+=（ ） A ．
221x x - B ．0 C ．221x x + D ．21
x
x - 5. 下列各式计算正确的是( ) A. b a b a +=+111
B.
ab m
b m a m 2=+ C. a
a b a b 1
1=+-
D.
011=-+-a b b a
四、课后作业
1. （2011四川）当分式
1
2
x x -+的值为0时，x 的值是( ). A.0 B.1 C.-1 D.-2
2. （2011浙江）已知分式a
x x x +--53
2，当x =2时，分式无意义，则
a =________；
3. （2011湖北）要使式子
2
a a
+有意义，则a 的取值范围为________. 4. 下列判断中，正确的是（ ）.
A ．分式的分子中一定含有字母
B ．当B =0时，分式
A
B 无意义
C ．当A =0时，分式A
B
的值为0（A 、B 为整式）
D ．分数一定是分式
5. x 的2倍除以x 与y 的平方差，用分式表示是___________.
6. 已知1
1
y x y +=-，用x 的代数式表示y 为_________.
7. 下列式子正确的是（ ）.
A.
133m m m =++ B.122x y y
x +=-- C.
936321
b b a a =++ D.()()y x
a b y b a x =--
8. 下列正确的是（ ）.
A. 11a x a b x b ++=++
B. 2
2y y x x =
C.
(),0n na a m ma =≠ D. n n a
m m a
-=- 9. 下面的计算中，正确的是( ).
A ．21
111=-----x x x x
B ．23242
22242a a a a a b b b b b b a ÷⋅=÷=
C ．23231m m m m m
m m m m m a a a b a b b b a b
÷⋅=⋅=
D ．
6666
0(1)(1)(1)(1)x x x x
x x x x +=-=----
10. （2011山东）计算()21111m m m
+÷⋅--的结果（ ）.
A.－m 2－2m －1
B.－m 2＋2m －1
C. m 2－2m －1
D.m 2－1
11. （2011山东）化简：2222
222a b a b
a a
b b a b
--÷+++=__________. 12. 不改变分式
5222
3
x y
x y -
+的值,把分子、分母中各项系数化为整数,结果是( ).
A.
2154x y x y -+ B. 4523x y x y -+ C. 61542x y x y
-+ D. 121546x y
x y -+
13. （2011安徽）先化简，再求值：212
11
x x ---，其中x =-2.。