全国百强名校2019-2020学年高二下学期领军考试（文） 注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名，准考证号填写在本试题相应的位置。
2.全部『答案』在答题卡上完成，答在本试题上无效。
3.回答选择题时，选出每小题『答案』后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的『答案』标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他『答案』标号。
回答非选择题时，将『答案』用0.5mm 黑色笔迹签字笔写在答题卡上。
4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合A ＝{1，2，3，4}，B ＝{x|x ＋2∈A}，则A ∩B ＝
A.{1，2}
B.{0，l}
C.{0，1，2}
D.{－1，0，1，2，3，4}
2.设复数z ＝(4＋i)(3－5i)，则复数z 的虚部为
A.17
B.－17
C.23
D.－23
3.设14a log 1.1=，1
41b log 5=，c ＝(14
)0.1，则 A.a<b<c B.b<c<a C.a<c<b D.b<a<c
4.设α是第三象限角，且2sin cos sin 2cos αααα+-＝7，那么sin(α＋6
π)＝
A.20
B.20-
C.20
D.20- 5.已知向量a 是单位向量，|b|＝3，|a －b|
，则向量a ，b 的夹角大小为 A.6π B.4π C.3
π D.23π 6.对于不同直线a ，b ，l 以及平面a ，B ，下列说法中正确的是
A.如果a//α，a//β，则α//β
B.如果a ⊥l ，b ⊥l ，则a//b
C.如果a//α，b//β，则a//b
D.如果a ⊥α，b ⊥α，则a//b
7.执行如图所示的程序框图，则输出S 的值为
A.22
B.62
C.132
D.240
8.过双曲线C ：22
221x y a b
-=的左焦点F x 2＋y 2＝a 2相切，C
的右顶点为A ，且|AF|＝2C 的标准方程为 A.22
13y x -= B.2213x y -= C.2214y x -= D.2
214x y -= 9.设△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 。
若c ＋2b ＝3a ，2sinC ＝3sinA ，则cosB ＝ A.1
3 B.23 C.4348 D.548
10.在“新消费”模式的背景下，外卖员越来越多.现调研某城市外卖员的工资收入情况，对该行业20个外卖员人均年收入y(千元)与平均每天的工作时间x(小时)进行调查统计，得出y 与x 具有线性相关关系，且线性回归方程为y ＝10x ＋10，若某外卖员年收入约为9万元，则他平均每天工作
A.7小时
B.8小时
C.9小时
D.10小时
11.余数，数学用语。
在整数的除法中，只有能整除与不能整除两种情况。
当不能整除时，就产生余数，取余数运算：a mod b ＝c(b 不为0)表示整数a 除以整数b 所得余数为c ，如7÷3＝2…1。
已知1 mod 7＝1，11mod 7＝4，111mod 7＝6，1111mod 7＝5，…，按照这样的规律， 20001
111⋅⋅⋅个mod7＝
A.1
B.4
C.6
D.5
12.已知椭圆C ：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左右焦点分别为F 1，F 2，P 为椭圆C 上一点，且
PF 2⊥x 轴，点足到直线F 1P 的距离为2，且| F 1F 2|＝6，则椭圆C 的标准方程为 A.221189x y += B.221123x y += C.2219x y += D.2
2118
x y += 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.y ＝2cos(3x ＋8π)在区间[－8π，8
π]的最小值为 。
14.已知数列{a n }是等比数列，若a 2＝3，a 1a 4＝27，则a 6＝ 。
15.三棱锥P －ABC 的四个顶点均在同一球面上，其中△ABC 中，AB ＝3，C ＝30°，PA ⊥平面ABC ，PA ＝8，则该球的表面积是 。
16.若函数f(x)＝xlnx ＋ax 2＋1在区间(0，＋∞)内有且仅有1个极值点，则实数a 的取值范围为 。
三、解答题：共70分。
解答题写出文字说明、证明过程或演算步骤。
第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答。
第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
(一)必考题：共60分。
17.(12分)
已知公差不为0的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 6＝51，a 2是a 1和a 6的等比中项。
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝
n n+1
1a a ，求数列{b n }的前n 项和S n 。
18.(12分)
骑行有很多好处：
1.习惯性的单车运动，更能扩大你的心脏。
2.单车是需要大量氧气的运动。
3.单车运动同时也能防止高血压，有时比药物更有效。
还能防止发胖、血管硬化，并使骨骼强硬。
4.自行车是减肥的工具。
5.单车运动，不只可以减肥，还使你的身段更为匀称迷人。
6.事实上因为踩单车压缩血管，使得血液循环加速，大脑摄入更多的氧气，因此你吸进了更多的新鲜空气。
7.它不止是一种减肥运动，更是心灵愉悦的放逐。
某机构为调查我国公民对骑行的喜爱态度，随机选了某城市某小区的100位居民调查，调查结果统计如表：
(1)根据已有数据，把表格数据填写完整；
(2)判断能否在犯错误的概率不超过0.1%的前提下认为是否喜爱骑行与年龄有关?
附：
2
2
()
()()()()
n ad bc
K
a b c d a c b d
-
=
++++
，其中n＝a＋b＋c＋d。
19.(12分)
已知函数f(x)＝2x3－9x2－24x＋6。
(1)求函数f(x)的单调区间；
(2)若a≥3，求函数f(x)在区间[a，a＋2]上的最大值和最小值
20.(12分)
如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB⊥AC，A1M＝1
3
AA1，C1N＝
1
3
B1C1，A1B1
＝2，AA1＝A1C1＝3。
(1)求证：MN//平面AB1C；
(2)求直线MN与平面AB1C之间的距离。
21.(12分)
已知抛物线C1：x2＝2py(p>0)的焦点为F，圆C2：(x＋2)2＋(y＋8)2＝4，过y轴上点G 且与y轴不垂直的直线l与抛物线C1交于A，B两点，B关于y轴的对称点为D，O为坐标原点，连接GC2交x轴于点E，且点E，F分别是GC2，OG的中点。
(1)求抛物线C 1的方程；
(2)证明：直线AD 与圆C 2相交。
(二)选考题：共10分。
请考生在第22、23题中任选一题作答。
如果多做，则按所做的第一题计分。
22.[选修4－4：坐标系与参数方程](10分)
在平面直角坐标系xOy 中，曲线C 的参数方程为x 3cos y sin θθ
=⎧⎨=⎩(θ为参数)，以坐标原点
为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的极坐标方程为ρsin(θ＋
4π)。
(1)求曲线C 的普通方程以及直线l 的直角坐标方程；
(2)若直线l 与曲线C 交于M ，N 两点，求|MN|的值。
23.[选修4－5：不等式选讲](10分)
设函数f(x)＝|2x －3|＋|2x ＋1|。
(1)求不等式f(x)≥4x －1的解集；
(2)若函数f(x)的最小值为m ，a>0，b>－1且满足
111
a b ++＝m ，求a ＋b 的最小值。