第八节 抛物线1．抛物线的定义满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．2．抛物线的标准方程和几何性质标准方程y 2＝2px(p ＞0)y 2＝－2px(p ＞0)x 2＝2py(p ＞0)x 2＝－2py (p ＞0)p 的几何意义：焦点F 到准线l 的距离图形顶点 O (0,0)对称轴 y ＝0 x ＝0焦点 F ⎝⎛⎭⎪⎫p 2，0 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫－p 2，0 F ⎝⎛⎭⎪⎫0，p 2 F ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－p 2离心率 e ＝1准线方程 x ＝－p2x ＝p 2y ＝－p 2y ＝p 2范围 x ≥0，y ∈Rx ≤0，y ∈Ry ≥0，x ∈Ry ≤0，x ∈R开口方向 向右向左 向上向下焦半径 (其中P (x 0，y 0))|PF |＝x 0＋p2|PF |＝－x 0＋p2|PF |＝y 0＋p2|PF |＝－y 0＋p21．(2018·杭州七校联考)抛物线C ：y ＝ax 2的准线方程为y ＝－14，则其焦点坐标为________，实数a 的值为________． 解析：由题意得焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，14，抛物线C 的方程可化为x 2＝1a y ，由题意得－14a ＝－14，解得a ＝1. 答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，1412．焦点在直线2x ＋y ＋2＝0上的抛物线的标准方程为________．答案：y 2＝－4x 或x 2＝－8y3．(教材习题改编)抛物线y ＝4x 2的焦点坐标为__________；准线方程为____________．解析：抛物线的标准方程为x 2＝14y ，所以焦点坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，116，准线方程为y ＝－116.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，116y ＝－1161．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．2．抛物线标准方程中参数p 易忽视，只有p ＞0才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．3．抛物线的标准方程的形式要注意，根据方程求焦点坐标或准线方程时，要注意标准形式的确定．[小题纠偏]1．平面内到点(1,1)与到直线x ＋2y －3＝0的距离相等的点的轨迹是( )A ．椭圆B ．双曲线C ．抛物线D ．一条直线答案：D2．抛物线8x 2＋y ＝0的焦点坐标为________． 解析：由8x 2＋y ＝0，得x 2＝－18y .∴2p ＝18，p ＝116，∴焦点为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－132.答案：⎝⎛⎭⎪⎫0，－132考点一 抛物线定义及应用重点保分型考点——师生共研[典例引领]1．(2019·温州十校联考)设抛物线C ：y ＝14x 2的焦点为F ，直线l 交抛物线C 于A ，B 两点，|AF |＝3，线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，则|BF |＝( )A.72 B ．5 C ．4D ．3解析：选B 抛物线C 的方程可化为x 2＝4y ，由线段AB 的中点到抛物线C 的准线的距离为4，可得|AF |＋|BF |＝8，又|AF |＝3，所以|BF |＝5.2．已知M 是抛物线x 2＝4y 上一点，F 为其焦点，点A 在圆C ：(x ＋1)2＋(y －5)2＝1上，则|MA |＋|MF |的最小值是( )A ．4B ．5C ．6D ．7解析：选B 依题意，由点M 向抛物线x 2＝4y 的准线l ：y ＝－1引垂线，垂足为M 1(图略)，则有|MA |＋|MF |＝|MA |＋|MM 1|，结合图形可知|MA |＋|MM 1|的最小值等于圆心C (－1,5)到y ＝－1的距离再减去圆C 的半径，即等于6－1＝5，因此|MA |＋|MF |的最小值是5，故选B.[由题悟法]应用抛物线定义的2个关键点(1)由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化．(2)注意灵活运用抛物线上一点P (x ，y )到焦点F 的距离|PF |＝|x |＋p 2或|PF |＝|y |＋p2.[即时应用]1．如图，设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，不经过焦点的直线上有三个不同的点A ，B ，C ，其中点A ，B 在抛物线上，点C 在y 轴上，则△BCF 与△ACF 的面积之比是( )A.|BF |－1|AF |－1B.|BF |2－1|AF |2－1C.|BF |＋1|AF |＋1D.|BF |2＋1|AF |2＋1解析：选A 由图形可知，△BCF 与△ACF 有公共的顶点F ，且A ，B ，C 三点共线，易知△BCF 与△ACF 的面积之比就等于|BC ||AC |.由抛物线方程知其焦点F (1,0)，作准线l ，则l 的方程为x ＝－1.∵点A ，B 在抛物线上，过A ，B 分别作AK ，BH 与准线垂直，垂足分别为点K ，H ，且与y 轴分别交于点N ，M .由抛物线定义，得|BM |＝|BF |－1，|AN |＝|AF |－1.在△CAN 中，BM ∥AN ，∴|BC ||AC |＝|BM ||AN |＝|BF |－1|AF |－1.2．已知直线l 1：4x －3y ＋6＝0和直线l 2：x ＝－1，抛物线y2＝4x 上一动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值是( )A.355 B ．2C.115D ．3解析：选B 由题可知l 2：x ＝－1是抛物线y 2＝4x 的准线，设抛物线的焦点为F (1,0)，则动点P 到l 2的距离等于|PF |，则动点P 到直线l 1和直线l 2的距离之和的最小值，即焦点F 到直线l 1：4x －3y ＋6＝0的距离，所以最小值是|4－0＋6|5＝2.考点二 抛物线的标准方程与几何性质题点多变型考点——多角探明[锁定考向]抛物线的标准方程及性质是高考的热点，多以选择题、填空题形式出现．常见的命题角度有： (1)求抛物线方程；(2)抛物线的对称性．[题点全练]角度一：求抛物线方程1．(2019·台州重点校联考)已知直线l 过抛物线y 2＝－2px (p ＞0)的焦点，且与抛物线交于A ，B 两点，若线段AB 的长是8，AB 的中点到y 轴的距离是2，则此抛物线的方程是( )A ．y 2＝－12x B ．y 2＝－8x C ．y 2＝－6xD ．y 2＝－4x解析：选B 过A ，B 分别作抛物线的准线的垂线，垂足分别为A 1，B 1，由抛物线定义知|AF |＝|AA 1|，|BF |＝|BB 1|，则|AA 1|＋|BB 1|＝2⎝⎛⎭⎪⎫2＋p 2＝8，解得p ＝4，所以此抛物线的方程是y 2＝－8x .角度二：抛物线的对称性2．已知双曲线x 2a 2－y 2b 2＝1(a ＞0，b ＞0)的两条渐近线与抛物线y 2＝2px (p ＞0)分别交于O ，A ，B 三点，O 为坐标原点．若双曲线的离心率为2，△AOB 的面积为3，则p ＝( )A ．1 B.32C ．2D ．3解析：选B 双曲线的渐近线方程为y ＝±bax ，因为双曲线的离心率为2， 所以1＋b 2a 2＝2，ba ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3x ，y 2＝2px ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2p 3，y ＝23p 3.由曲线的对称性及△AOB 的面积得， 2×12×23p 3×2p 3＝3，解得p 2＝94，即p ＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＝－32舍去.[通法在握]求抛物线方程的3个注意点(1)当坐标系已建立时，应根据条件确定抛物线方程属于四种类型中的哪一种；(2)要注意把握抛物线的顶点、对称轴、开口方向与方程之间的对应关系；(3)要注意参数p 的几何意义是焦点到准线的距离，利用它的几何意义来解决问题．[演练冲关]1．(2019·宁波质检)已知点M 是抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)上一点，F 为C 的焦点，MF 的中点坐标是(2,2)，则p 的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选D 抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设M ⎝ ⎛⎭⎪⎫y 212p ，y 1，由中点坐标公式可知p 2＋y 212p ＝2×2，y 1＋0＝2×2，解得p ＝4.2．(2019·丽水高三质检)过抛物线C ：y 2＝4x 的焦点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，Q 两点，与抛物线准线交于M ，且FM ＝3FP ，则|FP |＝( )A.32 B.23C.43D.34解析：选C 设直线l 的倾斜角为θ，如图所示，过点P 作PN 垂直准线于点N ，由抛物线定义知|PN |＝|PF |.∵FM ＝3FP ，∴|FM |＝3|FP |，即|PM |＝2|PN |.在Rt △MNP 中，cos ∠MPN ＝12，∵PN ∥x 轴，∴cos θ＝12，由抛物线焦半径的性质可得|PF |＝p 1＋cos θ＝21＋12＝43，即|FP |＝43.考点三 直线与抛物线的位置关系重点保分型考点——师生共研[典例引领](2018·长兴中学模拟)已知抛物线C 1：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，P 为C 1上一点，|PF |＝4，点P 到y 轴的距离等于3.(1)求抛物线C 1的标准方程；(2)设A ，B 为抛物线C 1上的两个动点，且使得线段AB 的中点D 在直线y ＝x 上，P (0,2)为定点，求△PAB 面积的最大值．解：(1)由题意，p2＋3＝4，∴p ＝2，所以抛物线C 1的标准方程为y 2＝4x .(2)设直线AB ：x ＝ty ＋b ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．联立方程⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ty ＋b ，y 2＝4x消元化简得y 2－4ty －4b ＝0，Δ＝16t 2＋16b ＞0.且y 1＋y 2＝4t ，x 1＋x 2＝t (y 1＋y 2)＋2b ＝4t 2＋2b ， 所以D (2t 2＋b,2t )，2t 2＋b ＝2t . 由Δ＞0得0＜t ＜2.所以点P 到直线AB 的距离d ＝|－2t －b |1＋t 2＝|2t 2－4t |1＋t2，所以|AB|＝1＋t216t2＋16b＝41＋t22t－t2，所以S△ABP＝12|AB|d＝12×41＋t22t－t2|2t2－4t|1＋t2＝22t－t2·|2t2－4t|.令m＝2t－t2，则m∈(0,1]，且S△ABP＝4m3.由函数单调性可知，(S△ABP)max＝4.[由题悟法]解决直线与抛物线位置关系问题的2种常用方法(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系．(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用弦长公式．[即时应用]如图所示，已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点．(1)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程；(2)若线段|AB|＝20，求直线l的方程．解：(1)由已知，得抛物线的焦点为F(1,0)．因为线段AB的中点在直线y＝2上，所以直线l 的斜率存在，设直线l 的斜率为k ，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，AB 的中点M (x 0，y 0)，由⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，y 22＝4x 2，得(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝4(x 1－x 2)，所以2y 0k ＝4.又y 0＝2，所以k ＝1，故直线l 的方程是y ＝x －1.(2)设直线l 的方程为x ＝my ＋1，与抛物线方程联立得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋1，y 2＝4x ，消去x ，得y 2－4my －4＝0，所以y 1＋y 2＝4m ，y 1y 2＝－4，Δ＝16(m 2＋1)＞0. |AB |＝m 2＋1|y 1－y 2| ＝m 2＋1·y 1＋y 22－4y 1y 2＝m 2＋1·4m2－4×－4＝4(m 2＋1)．所以4(m 2＋1)＝20，解得m ＝±2，所以直线l 的方程是x ＝±2y ＋1，即x ±2y －1＝0. 一抓基础，多练小题做到眼疾手快1．(2019·湖州质检)已知抛物线y 2＝2px (p ＞0)，点C (－4,0)，过抛物线的焦点作垂直于x 轴的直线，与抛物线交于A ，B 两点，若△CAB 的面积为24，则以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是( )A ．y 2＝4x B ．y 2＝－4xC ．y 2＝8xD ．y 2＝－8x解析：选D ∵AB ⊥x 轴，且AB 过点F ，∴AB 是焦点弦，∴|AB |＝2p ，∴S △CAB ＝12×2p ×⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2＋4＝24，解得p ＝4或p ＝－12(舍去)，∴直线AB 的方程为x ＝2，∴以直线AB 为准线的抛物线的标准方程是y 2＝－8x ，故选D.2．(2018·江山质检)在抛物线y 2＝2px (p ＞0)上，横坐标为4的点到焦点的距离为5，则p 的值为( )A.12 B ．1 C ．2D ．3解析：选C 由抛物线的定义可知，4＋p2＝5，解得p ＝2.3．(2018·珠海模拟)已知抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 为抛物线上一点，且在第一象限，PA ⊥l ，垂足为A ，|PF |＝4，则直线AF 的倾斜角等于( )A.7π12B.2π3C.3π4D.5π6解析：选B 由抛物线y 2＝4x 知焦点F (1,0)，准线l 的方程为x ＝－1，由抛物线定义知|PA |＝|PF |＝4，所以点P 的坐标为(3,23)，因此点A 的坐标为(－1,23)，所以k AF ＝23－0－1－1＝－3，所以直线AF 的倾斜角为2π3.4．(2019·宁波六校联考)已知抛物线C ：y 2＝23x ，过焦点F 且斜率为3的直线与C 相交于P ，Q 两点，且P ，Q 两点在准线上的投影分别为M ，N 两点，则S △MFN ＝( )A ．8B ．23C ．4 3D ．83解析：选B 法一：由题意可得p ＝3，F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，0.不妨设点P 在x 轴上方，由抛物线定义可知|PF |＝|PM |，|Q F |＝|Q N |，设直线P Q 的倾斜角为θ，则tan θ＝3，∴θ＝π3，由抛物线焦半径的性质可知，|PF |＝p 1－cos θ＝31－cosπ3＝23，|Q F |＝p1＋cos θ＝31＋cosπ3＝233，∴|MN |＝|P Q|sin θ＝(|PF |＋|Q F |)·sin π3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12|MN |·p ＝12×4×3＝2 3. 法二：由题意可得F ⎝⎛⎭⎪⎪⎫32，0，直线P Q 的方程为y ＝3⎝⎛⎭⎪⎪⎫x －32＝3x －32，与抛物线方程y 2＝23x联立，得⎝⎛⎭⎪⎫3x －322＝23x ，即3x 2－53x ＋94＝0，设P (x 1，y 1)，Q(x 2，y 2)，则x 1＋x 2＝533，∴|P Q|＝x 1＋x 2＋p ＝533＋3＝833，∵直线P Q 的斜率为3，∴直线P Q 的倾斜角为π3.∴|MN |＝|P Q|sinπ3＝833×32＝4，∴S △MFN ＝12×4×3＝2 3. 5．已知点P 在抛物线y 2＝4x 上，且点P 到y 轴的距离与其到焦点的距离之比为12，则点P 到x 轴的距离为________．解析：设点P 的坐标为(x P ，y P )，抛物线y 2＝4x 的准线方程为x ＝－1，根据抛物线的定义，点P 到焦点的距离等于点P 到准线的距离，故x Px P －－1＝12，解得x P ＝1，所以y 2P ＝4，所以|y P |＝2. 答案：2二保高考，全练题型做到高考达标1．(2018·临海期初)动圆过点(0,1)，且与直线y ＝－1相切，则动圆圆心的轨迹方程为( )A ．y ＝0B ．x 2＋y 2＝1 C ．x 2＝4yD ．y 2＝4x解析：选C 设动圆圆心M (x ，y )，则x 2＋y －12＝|y ＋1|，解得x 2＝4y .2．(2018·绍兴二模)已知抛物线C ：y 2＝4x 的焦点为F ，直线y ＝3(x －1)与抛物线C 交于A ，B 两点(A 在x 轴上方)．若AF ＝mFB ，则m 的值为( )A. 3B.32C ．2D ．3解析：选D 直线方程为x ＝33y ＋1，代入y 2＝4x 可得y 2－433y －4＝0，则y A ＝23，y B ＝－233，所以|y A |＝3|y B |，因为AF ＝mFB ，所以m ＝3.3．(2018·宁波十校联考)已知抛物线x 2＝4y ，过焦点F 的直线l 交抛物线于A ，B 两点(点A 在第一象限)，若直线l 的倾斜角为30°，则|AF ||BF |的值等于( )A ．3B.52C ．2D.32解析：选A 由题可得，F (0,1)，设l ：y ＝33x ＋1，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)．将直线方程与抛物线方程联立，消去x ，化简得3y 2－10y ＋3＝0，解得y 1＝3，y 2＝13.由抛物线的定义可知|AF ||BF |＝y 1＋1y 2＋1＝3＋113＋1＝3. 4．已知P 为抛物线y ＝12x 2上的动点，点P 在x 轴上的射影为点M ，点A的坐标是⎝⎛⎭⎪⎫6，172，则|PA |＋|PM |的最小值是()A ．8B.192C ．10D.212解析：选B 依题意可知焦点F ⎝⎛⎭⎪⎫0，12，准线方程为y ＝－12，延长PM 交准线于点H (图略)．则|PF |＝|PH |，|PM |＝|PF |－12，|PM |＋|PA |＝|PF |＋|PA |－12，即求|PF |＋|PA |的最小值． 因为|PF |＋|PA |≥|FA |， 又|FA |＝62＋⎝ ⎛⎭⎪⎫172－122＝10.所以|PM |＋|PA |≥10－12＝192，故选B.5．(2019·嘉兴六校联考)已知抛物线C ：y 2＝2px (p ＞0)的焦点为F ，点M 在抛物线C 上，且|MO |＝|MF |＝32(O 为坐标原点)，则OM ·MF ＝( )A ．－74B.74C.94D ．－94解析：选A 设M (m ，2pm )，抛物线C 的焦点F 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，因为|MO |＝|MF |＝32，所以m 2＋2pm ＝94 ①，m ＋p 2＝32②，由①②解得m ＝12，p ＝2，所以M ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，F (1,0)，所以OM ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，MF＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，－2，故OM ·MF ＝14－2＝－74.6．(2018·宁波期初)已知抛物线x 2＝4y 的焦点为F ，若点M 在抛物线上，|MF |＝4，O 为坐标原点，则∠MFO ＝________.解析：由题可得，p ＝2，焦点在y 轴正半轴，所以F (0,1)． 因为|MF |＝4，所以M (±23，3)．所以tan ∠MFO ＝－tan(π－∠MFO )＝－233－1＝－3，所以∠MFO ＝2π3.答案：2π37．设O 为坐标原点，P 是以F 为焦点的抛物线y 2＝2px (p ＞0)上任意一点，M 是线段PF 上的点，且|PM |＝2|MF |，则直线OM 的斜率的最大值为________．解析：如图，由题可知F ⎝ ⎛⎭⎪⎫p 2，0，设P 点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫y 202p ，y 0(y 0＞0)，则OM ―→＝OF ―→＋FM ―→＝OF ―→＋13FP ―→＝OF ―→＋13(OP ―→－OF ―→)＝13OP ―→＋23OF ―→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫y 206p ＋p 3，y 03，k OM ＝y 03y 206p ＋p 3＝2y 0p ＋2p y 0≤222＝22，当且仅当y 20＝2p 2时等号成立，所以直线OM 的斜率的最大值为22.答案：228．(2018·嵊州一模)设抛物线y 2＝4x 的焦点为F ，过点M (5，0)的直线与抛物线相交于A ，B 两点，与抛物线的准线相交于C 点，|BF |＝3，则△BCF 与△ACF 的面积之比S △BCFS △ACF＝________.解析：设点A 在第一象限，B 在第四象限，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，直线AB 的方程为x ＝my ＋ 5.由y 2＝4x ，得p ＝2，因为|BF |＝3＝x 2＋p2＝x 2＋1，所以x 2＝2，则y 22＝4x 2＝4×2＝8，所以y 2＝－22，由⎩⎪⎨⎪⎧y 2＝4x ，x ＝my ＋5，得y 2－4my －45＝0，则y 1y 2＝－45，所以y 1＝10，由y 21＝4x 1，得x 1＝52.过点A 作AA ′垂直于准线x＝－1，垂足为A ′，过点B 作BB ′垂直于准线x ＝－1，垂足为B ′，易知△CBB ′∽△CAA ′，所以S △BCF S △ACF ＝|BC ||AC |＝|BB ′||AA ′|.又|BB ′|＝|BF |＝3，|AA ′|＝x 1＋p 2＝52＋1＝72，所以S △BCF S △ACF ＝372＝67.答案：679．(2018·杭州高三检测)如图，过抛物线M ：y ＝x 2上一点A (点A 不与原点O 重合)作抛物线M 的切线AB交y 轴于点B ，点C 是抛物线M 上异于点A 的点，设G 为△ABC 的重心(三条中线的交点)，直线CG 交y 轴于点D .(1)设A (x 0，x 20)(x 0≠0)，求直线AB 的方程； (2)求|OB ||OD |的值．解：(1)因为y ′＝2x ，所以直线AB 的斜率k ＝y ′|x ＝x 0＝2x 0， 所以直线AB 的方程为y －x 20＝2x 0(x －x 0)， 即y ＝2x 0x －x 20.(2)由(1)得，点B 的纵坐标y B ＝－x 20， 所以AB的中点坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫x 02，0.设C (x 1，y 1)，G (x 2，y 2)，直线CG 的方程为x ＝my ＋x 02.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝my ＋x 02，y ＝x 2，得m 2y 2＋(mx 0－1)y ＋x 204＝0.因为G 为△ABC 的重心，所以y 1＝3y 2. 由根与系数的关系，得y 1＋y 2＝4y 2＝1－mx 0m 2，y 1y 2＝3y 22＝x 204m 2.所以y 22＝1－mx 0216m4＝x 2012m2， 解得mx 0＝－3±2 3.所以点D 的纵坐标y D ＝－x 02m ＝x 206±43，故|OB ||OD |＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪y B y D ＝43±6. 10．(2018·台州模拟)已知抛物线C 1：y 2＝4x 和C 2：x 2＝2py (p ＞0)的焦点分别为F 1，F 2，点P (－1，－1)，且F 1F 2⊥OP (O 为坐标原点)．(1)求抛物线C 2的方程；(2)过点O 的直线交C 1的下半部分于点M ，交C 2的左半部分于点N ，求△PMN 面积的最小值．解：(1)由题意知F 1(1,0)，F 2⎝ ⎛⎭⎪⎫0，p 2，则F 1F 2―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2，∵F 1F 2⊥OP ，∴F 1F 2―→·OP ―→＝⎝⎛⎭⎪⎫－1，p 2·(－1，－1)＝1－p 2＝0，∴p ＝2，∴抛物线C 2的方程为x 2＝4y . (2)设过点O 的直线为y ＝kx (k ＜0)，联立⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ，y 2＝4x 得M ⎝ ⎛⎭⎪⎫4k2，4k ，联立⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ，x 2＝4y 得N (4k,4k 2)，从而|MN |＝1＋k2·⎪⎪⎪⎪⎪⎪4k 2－4k ＝1＋k2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ， 又点P 到直线MN 的距离d ＝|k －1|1＋k2，故S △PMN ＝12·|k －1|1＋k2·1＋k 2·⎝ ⎛⎭⎪⎫4k 2－4k ＝21－k 1－k3k 2＝21－k21＋k ＋k2k 2＝2⎝⎛⎭⎪⎫k ＋1k －2⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＋1k ＋1，令t ＝k ＋1k(t ≤－2)，则S △PMN ＝2(t －2)(t ＋1)≥8，当t ＝－2，即k ＝－1时，S △PMN 取得最小值．即当过点O 的直线为y ＝－x 时，△PMN 面积的最小值为8. 三上台阶，自主选做志在冲刺名校1．(2018·台州高三模拟)已知抛物线x 2＝2py (p ＞0)，点M 是抛物线的准线与y 轴的交点，过点A (0，λp )(λ∈R)的动直线l交抛物线于B ，C 两点．(1)求证：MB ·MC ≥0，并求等号成立时实数λ的值； (2)当λ＝2时，设分别以OB ，OC (O 为坐标原点)为直径的两圆相交于另一点D ，求|DO |＋|DA |的最大值．解：(1)由题意知动直线l 的斜率存在，且过点A (0，λp )， 则可设动直线l 的方程为y ＝kx ＋λp ，代入x 2＝2py (p ＞0)，消去y 并整理得x 2－2pkx －2λp 2＝0，Δ＝4p 2(k 2＋2λ)＞0，设B (x 1，y 1)，C (x 2，y 2)， 则x 1＋x 2＝2pk ，x 1x 2＝－2λp 2，y 1y 2＝(kx 1＋λp )(kx 2＋λp )＝k 2x 1x 2＋λpk (x 1＋x 2)＋λ2p 2＝λ2p 2，y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋2λp ＝2pk 2＋2λp ＝2p (k 2＋λ)．因为抛物线x 2＝2py 的准线方程为y ＝－p2，所以点M的坐标为⎝⎛⎭⎪⎫0，－p 2，所以MB ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1，y 1＋p 2，MC ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2，y 2＋p 2，所以MB ·MC ＝x 1x 2＋⎝⎛⎭⎪⎫y 1＋p 2⎝ ⎛⎭⎪⎫y 2＋p 2＝x 1x 2＋y 1y 2＋p 2(y 1＋y 2)＋p 24＝－2λp 2＋λ2p 2＋p2[2p (k 2＋λ)]＋p 24＝p2⎣⎢⎡⎦⎥⎤k 2＋⎝⎛⎭⎪⎫λ－122≥0，当且仅当k ＝0，λ＝12时等号成立．(2)由(1)知，当λ＝2时，x 1x 2＝－4p 2，y 1y 2＝4p 2， 所以OB ·OC ＝x 1x 2＋y 1y 2＝0， 所以OB ⊥OC .设直线OB 的方程为y ＝mx (m ≠0)，与抛物线的方程x 2＝2py 联立可得B (2pm,2pm 2)，所以以OB 为直径的圆的方程为x 2＋y 2－2pmx －2pm 2y ＝0. 因为OB ⊥OC ，所以直线OC 的方程为y ＝－1mx .同理可得以OC 为直径的圆的方程为 x 2＋y 2＋2p m x －2pm2y ＝0，即m 2x 2＋m 2y 2＋2pmx －2py ＝0，将两圆的方程相加消去m ，得x 2＋y 2－2py ＝0， 即x 2＋(y －p )2＝p 2，所以点D 的轨迹是以OA 为直径的圆， 所以|DA |2＋|DO |2＝4p 2，由|DA |2＋|DO |22≥⎝⎛⎭⎪⎫|DA |＋|DO |22， 得|DA |＋|DO |≤22p ，当且仅当|DA |＝|DO |＝2p 时，等号成立． 故(|DA |＋|DO |)max ＝22p .2.如图所示，抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点，点P (1,2)，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上．(1)写出该抛物线的方程及其准线方程．(2)当PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求y 1＋y 2的值及直线AB 的斜率．解：(1)由已知条件，可设抛物线的方程为y 2＝2px (p ＞0)． 因为点P (1,2)在抛物线上， 所以22＝2p ×1， 解得p ＝2.故所求抛物线的方程是y 2＝4x ，准线方程是x ＝－1. (2)设直线PA 的斜率为k PA ，直线PB 的斜率为k PB .则k PA ＝y 1－2x 1－1(x 1≠1)，k PB ＝y 2－2x 2－1(x 2≠1)，因为PA 与PB 的斜率存在且倾斜角互补， 所以k PA ＝－k PB .由A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)均在抛物线上，得⎩⎪⎨⎪⎧y 21＝4x 1，①y 22＝4x 2，②所以y 1－214y 21－1＝－y 2－214y 22－1，所以y 1＋2＝－(y 2＋2)．所以y 1＋y 2＝－4.由①－②得，y 21－y 22＝4(x 1－x 2)，所以k AB ＝y 1－y 2x 1－x 2＝4y 1＋y 2＝－1(x 1≠x 2)．。