第八章平面解析几何第1讲直线的倾斜角、斜率与直线的方程[考纲解读］ 1.理解直线的倾斜角和斜率的概念,掌握过两点的直线斜率的计算公式，并能根据两条直线的斜率判断这两条直线的平行或垂直关系．（重点)2．掌握直线方程的几种形式(点斜式、两点式及一般式等），并了解斜截式与一次函数的关系．（难点）[考向预测] 从近三年高考情况来看,本讲是命题的热点，但很少独立命题．预测2021年高考对本讲内容将考查:①直线倾斜角与斜率的关系、斜率公式；②直线平行与垂直的判定或应用，求直线的方程．试题常以客观题形式考查,难度不大。

1。

直线的斜率(1）当α≠90°时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即错误!k ＝tanα。

当α＝90°时，直线l的斜率k不存在．（2)斜率公式给定两点P1(x1,y1）,P2（x2,y2)(x1≠x2)，经过P1,P2两点的直线的斜率公式为错误!k＝错误!.2．直线方程的五种形式名称已知条件方程适用范围点斜式斜率k与点（x1，y1）错误!y－y1＝k（x－x1)直线不垂直于x轴斜截式斜率k与直线在y轴上的截距b错误!y＝kx＋b直线不垂直于x轴两点式两点（x1,y1），(x2，y2）错误!错误!＝错误!（x1≠x2,y1≠y2)直线不垂直于x轴和y轴截距式直线在x轴、y轴上的截距分别为a，b错误!错误!＋错误!＝1（a≠0，b≠0)直线不垂直于x轴和y轴,且不过原点一般式—错误!Ax＋By＋C＝0（A2＋B2≠0）任何情况1．概念辨析（1）直线的斜率为tanα，则其倾斜角为α。

( )（2）斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．( )(3）经过点P（x0，y0）的直线都可以用方程y－y0＝k(x－x0)表示．( ）(4)经过任意两个不同的点P1（x1，y1），P2（x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)（x2－x1）＝(x－x1）（y2－y1)表示．（）答案(1）×(2)×（3)×（4）√2．小题热身(1）直线l经过原点和点（－1，－1),则直线l的倾斜角是( ）A．45° B．135°C．135°或225° D．60°答案A解析由已知,得直线l的斜率k＝错误!＝1，所以直线l的倾斜角是45°.(2）在平面直角坐标系中，直线错误!x＋y－3＝0的倾斜角是（)A.错误!B。

错误!C。

错误! D.错误!答案D解析直线错误!x＋y－3＝0的斜率为－错误!,所以倾斜角为错误!.(3)已知直线l经过点P(－2，5)，且斜率为－错误!，则直线l的方程为（)A．3x＋4y－14＝0 B．3x－4y＋14＝0C．4x＋3y－14＝0 D．4x－3y＋14＝0答案A解析由题意得直线l的点斜式方程为y－5＝－错误![x－(－2)］，整理得3x＋4y－14＝0.（4）已知直线l过点P(1,3），且与x轴，y轴的正半轴所围成的三角形的面积等于6，则直线l的方程是（）A．3x＋y－6＝0 B．x＋3y－10＝0C．3x－y＝0 D．x－3y＋8＝0答案A解析设直线l的方程为错误!＋错误!＝1（a〉0，b>0)．由题意，得解得a＝2,b＝6.故直线l的方程为错误!＋错误!＝1,即3x＋y－6＝0。

故选A。

题型一直线的倾斜角与斜率1．(2019·长春模拟）设直线y＝2x的倾斜角为α,则cos2α的值为( ）A．－错误!B．－错误!C．－错误!D．－错误!答案C解析由题意，知tanα＝2,所以cos2α＝错误!＝错误!＝错误!＝－错误!。

2．(2019·安阳模拟)若平面内三点A（1，－a),B（2，a2），C（3，a3)共线,则a＝( )A．1±错误!或0 B。

错误!或0C。

错误!D。

错误!或0答案A解析若A，B,C三点共线，则有k AB＝k AC，即错误!＝错误!，整理得a(a2－2a－1）＝0,解得a＝0或a＝1±2。

3．直线l过点P(1,0），且与以A（2，1），B(0，错误!)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为________．答案(－∞，－错误!]∪［1，＋∞)解析如图,∵k AP＝错误!＝1，k BP＝3－00－1＝－3，∴k∈(－∞，－3］∪［1，＋∞)．1．直线的倾斜角与其斜率的关系斜率kk＝tanα〉0k＝k＝tanα〈0不存在倾斜角α锐角0°钝角90°2．倾斜角变化时斜率的变化规律根据正切函数k＝tanα的单调性,如图所示：(1)当α取值在错误!内，由0增大到错误!错误!时，k由0增大并趋向于正无穷大；（2）当α取值在错误!内，由错误!错误!增大到π(α≠π）时，k由负无穷大增大并趋近于0.如举例说明3.3．三点共线问题若已知三个点中的两个坐标，可以先通过这两个已知点求出直线方程，然后将第三个点代入求解；也可利用斜率相等或向量共线的条件解决．如举例说明2.1．直线x ＋（a 2＋1）y ＋1＝0的倾斜角的取值范围是（ ） A ．错误!B. 错误!C ．［0，π4]∪错误! D. 错误!∪错误!答案 B解析 ∵直线的斜率k ＝－错误!，∴－1≤k <0，则倾斜角的范围是错误!。

2.若直线l 与直线y ＝1，x ＝7分别交于点P ,Q ，且线段PQ 的中点坐标为(1,－1），则直线l 的斜率为( ）A.13 B ．－13C ．－错误!D 。

错误!答案 B解析 依题意，设点P (a ，1），Q （7，b ），则有错误!解得错误!从而可知直线l 的斜率为错误!＝－错误!.题型二 直线方程的求法1．已知三角形的三个顶点A(－5,0)，B（3，－3)，C（0,2），则BC边上的中线所在的直线方程为________．答案x＋13y＋5＝0解析BC的中点坐标为错误!，∴BC边上的中线所在的直线方程为错误!＝错误!，即x＋13y＋5＝0.2．（1）求过点A（1，3），且斜率是直线y＝－4x的斜率的错误!的直线方程；（2)求经过点A(－5，2），且在x轴上的截距等于在y轴上的截距的2倍的直线方程．解（1）设所求直线的斜率为k，依题意k＝－4×13＝－错误!。

又直线经过点A(1，3),因此所求的直线方程为y－3＝－错误!（x－1），即4x＋3y－13＝0。

（2)当直线不过原点时，设所求的直线方程为错误!＋错误!＝1，将(－5，2)代入所设方程，解得a＝－错误!，所以直线方程为x＋2y＋1＝0；当直线过原点时，设直线方程为y＝kx，则－5k＝2，解得k＝－2,所以直线方程为y＝－错误!x，即2x＋5y＝0。

5故所求的直线方程为2x＋5y＝0或x＋2y＋1＝0.给定条件求直线方程的思路（1）求直线方程常用的两种方法①直接法：根据已知条件，直接写出直线的方程，如举例说明2（1)求直线方程，则直接利用斜截式即可．②待定系数法：即设定含有参数的直线方程，结合条件列出方程(组），求出参数，再代入直线方程即可．必要时要注意分类讨论，如举例说明2（2)中不要忽略过原点的情况，否则会造成漏解．（2）设直线方程的常用技巧①已知直线纵截距b时，常设其方程为y＝kx＋b。

②已知直线横截距a时，常设其方程为x＝my＋a。

③已知直线过点(x0，y0），且k存在时，常设y－y0＝k(x－x0）．1．在等腰三角形AOB中，AO＝AB,点O（0，0）,A（1,3）,点B在x轴的正半轴上，则直线AB的方程为（）A．y－1＝3(x－3) B．y－1＝－3(x－3)C．y－3＝3（x－1）D．y－3＝－3（x－1)答案D解析因为AO＝AB，所以直线AB的斜率与直线AO的斜率互为相反数，所以k AB＝－k OA＝－3，所以直线AB的点斜式方程为y －3＝－3(x－1）．故选D。

2．求适合下列条件的直线方程：(1）过点P（2,3），并且在两坐标轴上的截距互为相反数；(2)过点A（－1,－3),倾斜角等于直线y＝3x的倾斜角的2倍;(3)直线过点（－3,4)，且在两坐标轴上的截距之和为12.解(1)当直线过原点时，方程为y＝错误!x，即3x－2y＝0。

当直线l不过原点时，设直线方程为错误!－错误!＝1.将P（2,3）代入方程，得a＝－1，所以直线l的方程为x－y＋1＝0.综上，所求直线l的方程为3x－2y＝0或x－y＋1＝0.（2）设直线y＝3x的倾斜角为α，则所求直线的倾斜角为2α。

因为tanα＝3，所以tan2α＝错误!＝－错误!.又直线经过点A（－1，－3），因此所求的直线方程为y＋3＝－错误!(x＋1）,即3x＋4y＋15＝0.(3）由题设知纵横截距不为0，设直线方程为xa＋错误!＝1，又直线过点(－3,4）,从而－错误!＋错误!＝1，解得a＝－4或a＝9.故所求的直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.题型三直线方程的综合应用角度1 由直线方程求参数问题1．若直线x－2y＋b＝0与两坐标轴所围成的三角形的面积不大于1，那么b的取值范围是( ）A．[－2，2］B．(－∞，－2]∪［2，＋∞)C．［－2,0）∪(0,2] D．（－∞，＋∞）答案C解析令x＝0,得y＝错误!,令y＝0，得x＝－b,所以所求的三角形面积为错误!错误!｜－b|＝错误!b2,且b≠0，因为错误!b2≤1，所以b2≤4,所以b的取值范围是［－2，0)∪（0,2]．角度2 与直线方程有关的最值问题2．已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0（k∈R)．(1）证明：直线l过定点；(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围；（3)若直线l交x轴的负半轴于点A,交y轴的正半轴于点B，△AOB的面积为S(O为坐标原点),求S的最小值并求此时直线l的方程．解(1)证明：直线l的方程可化为k（x＋2)＋(1－y）＝0,令错误!解得错误!∴无论k取何值,直线总经过定点（－2，1)．(2）由方程知,当k≠0时,直线在x轴上的截距为－错误!，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有错误!解得k＞0；当k＝0时,直线为y＝1,符合题意，故k的取值范围为［0，＋∞)．(3）由题意，知k≠0，再由直线l的方程,得A错误!，B（0，1＋2k)．依题意得错误!解得k＞0.∵S＝错误!·｜OA|·｜OB|＝错误!·错误!·｜1＋2k｜＝错误!·错误!＝错误!错误!≥错误!×（2×2＋4)＝4,“＝”成立的条件是k＞0且4k＝错误!，即k＝错误!，∴S min＝4，此时直线l的方程为x－2y＋4＝0.与直线方程有关问题的常见类型及解题策略（1）求参数值或范围．注意点在直线上,则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．（2）求解与直线方程有关的最值问题,先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值或用函数的单调性解决．如举例说明2.1．若方程(2m2＋m－3)x＋（m2－m)y－4m＋1＝0表示一条直线，则参数m满足的条件是( ）A．m≠－错误!B．m≠0C．m≠0且m≠1 D．m≠1答案D解析由错误!解得m＝1，故m≠1时方程表示一条直线．2．(2019·济南模拟）已知直线l过点M（2,1),且与x轴，y轴的正半轴分别相交于点A，B，O为坐标原点，求当|错误!｜·｜错误!｜取得最小值时直线l的方程．解设A（a，0)，B（0,b)，则a〉0，b〉0，直线l的方程为错误!＋错误!＝1，所以错误!＋错误!＝1。