学习资料第八节 直线与圆锥曲线的综合问题授课提示:对应学生用书第171页[基础梳理]1．直线与圆锥曲线的位置关系的判定 代数法:把圆锥曲线方程C 与直线方程l 联立消去y ，整理得到关于x 的方程ax 2＋bx ＋c ＝0。

方程ax 2＋bx ＋c ＝0的解 l 与C 的交点a ＝0b ＝0 无解(含l 是双曲线的渐近线) 无交点b ≠0 有一解（含l 与抛物线的对称轴平行或与双曲线的渐近线平行）一个交点 a ≠0 Δ〉0 两个不等的解 两个交点Δ＝0 两个相等的解 一个交点Δ〈0 无实数解 无交点2。

弦长公式设斜率为k (k ≠0）的直线l 与圆锥曲线C 相交于A ，B 两点，A (x 1，y 1)，B （x 2，y 2),则｜AB |＝错误!|x 1－x 2｜＝错误!·错误!或｜AB |＝ 错误!·｜y 1－y 2｜＝错误!·错误!．直线与圆锥曲线相交与相切的区别与联系(1)直线与椭圆相交⇔有两个交点．相切⇔有一个公共点．(2)直线与双曲线相交时，可以为一个公共点，即直线与渐近线平行；可以为两个公共点，直线与渐近线不平行．直线与双曲线相切时，只有一个公共点．(3)直线与抛物线相交,当直线平行对称轴时,只有一个公共点，当直线与对称轴不平行，有两个公共点．直线与抛物线相切时，只有一个公共点．［四基自测］1．(基础点：直线与抛物线的关系）已知点A （－2，3)在抛物线C :y 2＝2px 的准线上，记C 的焦点为F ,则直线AF 的斜率为( )A ．－错误!B ．－1C ．－错误!D ．－错误!答案:C2．（基础点:直线截椭圆的弦长）斜率为1的直线l 与椭圆x 24＋y 2＝1相交于A 、B 两点，则｜AB |的最大值为( ）A ．2B ．错误!C.错误! D 。

错误!答案：C3．(基础点：椭圆的焦点三角形)已知F 1,F 2是椭圆16x 2＋25y 2＝1 600的两个焦点，P 是椭圆上一点，且PF 1⊥PF 2，则△F 1PF 2的面积为________．答案:644．(基础点：双曲线的通径)F 是双曲线C ：x 2－错误!＝1的右焦点，过F 作x 轴的垂线交双曲线于A 、B 两点，则|AB |＝________．答案:6第一课时 最值、范围、证明问题授课提示：对应学生用书第172页 考点一 弦及弦长问题［例］ （1)过椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点的直线交椭圆于A ，B 两点，若|AB |＝2错误!,则直线AB 的方程为（ ）A．x＋错误!y－3＝0B．错误!x±y－3＝0C.错误!x＋y－3＝0D.x±错误!y－3＝0［解析］由题意知，椭圆错误!＋错误!＝1的右焦点为F（3，0），设直线AB的方程为x ＝ty＋3，代入椭圆方程错误!＋错误!＝1中得(t2＋4)y2＋6ty－3＝0,设A（x1，y1)，B(x2，y2),则y1＋y2＝－错误!,y1y2＝－错误!，所以（y1－y2）2＝（y1＋y2）2－4y1y2＝错误!错误!＋错误!＝错误!，所以|AB｜＝错误!＝错误!＝2错误!，解得t2＝2，所以t＝±错误!，所以直线AB的方程为x＝±错误!y＋3，即x±错误!y－3＝0.选D.[答案］ D（2)（2020·沈阳监测)已知抛物线y2＝4x的一条弦AB恰好以P（1，1）为中点，则弦AB所在直线的方程是________．［解析］设A（x1，y1),B（x2，y2)，且x1≠x2，则y1＋y2＝2，又点A，B在抛物线y2＝4x 上，所以错误!两式相减，得(y1＋y2)（y1－y2)＝4（x1－x2)，则错误!＝错误!＝2，即直线AB 的斜率k＝2，所以直线AB的方程为y－1＝2（x－1)，即2x－y－1＝0。

［答案］2x－y－1＝0［破题技法］处理弦的问题，一般是联立方程组，结合根与系数的关系，用直线斜率或纵截距作为主元，注意斜率不存在的情况．如果涉及弦的中点与斜率问题，往往用点差法:点差法的基本步骤是设点(即设出弦的端点坐标）-—代入（即代入曲线方程)—-作差（即两式相减，求出斜率错误!），建立关系．已知双曲线x2－错误!＝1，过点P(1，1)能否作一条直线l与双曲线交于A、B两点，且点P 是线段的中点．解析:假设可作直线L，设A（x1，y2），B(x2,y2),则错误!①－②得（x1＋x2）（x1－x2)＝错误!（y1＋y2）（y1－y2)，又∵x1＋x2＝2，y1＋y2＝2，∴k AB＝错误!＝2，此时AB的方程为y－1＝2（x－1），即y＝2x－1，由错误!得x2－2x＋错误!＝0，∴Δ＝4－4×错误!＜0，无解，故不存在这样的直线．考点二证明几何结论问题[例］(2018·高考全国卷Ⅰ)设抛物线C：y2＝2x，点A(2，0），B(－2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点．(1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程;(2)证明：∠ABM＝∠ABN。

［解析](1)当l与x轴垂直时，l的方程为x＝2，可得点M的坐标为(2，2)或（2,－2)．所以直线BM的方程为y＝错误!x＋1或y＝－错误!x－1.(2)证明：当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线,所以∠ABM＝∠ABN.当l与x轴不垂直时，设l的方程为y＝k(x－2)(k≠0），M(x1，y1),N（x2,y2），则x1＞0,x2＞0。

由错误!得ky2－2y－4k＝0,可知y1＋y2＝错误!，y1y2＝－4.直线BM，BN的斜率之和为k BM＋k BN＝错误!＋错误!＝错误!.①将x1＝错误!＋2，x2＝错误!＋2及y1＋y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得x2y1＋x1y2＋2（y1＋y2)＝错误!＝错误!＝0.所以k BM＋k BN＝0，可知BM,BN的倾斜角互补，所以∠ABM＝∠ABN。

综上,∠ABM＝∠ABN.［破题技法］圆锥曲线中证明问题的类型及解题策略(1)圆锥曲线中的证明问题,主要有两类：一是证明点、直线、曲线等几何元素中的位置关系，如：某点在某直线上、某直线经过某个点、某两条直线平行或垂直等;二是证明直线与圆锥曲线中的一些数量关系（相等或不等）．(2）解决证明问题时，主要根据直线、圆锥曲线的性质、直线与圆锥曲线的位置关系等，通过相关的性质应用、代数式的恒等变形以及必要的数值计算等进行证明．设椭圆E的方程为错误!＋错误!＝1（a＞b＞0)，点O为坐标原点，点A的坐标为（a,0)，点B的坐标为(0,b），点M在线段AB上，满足｜BM｜＝2|MA｜,直线OM的斜率为错误!。

（1)求E的离心率e;(2）设点C的坐标为(0,－b），N为线段AC的中点,证明:MN⊥AB。

解析：(1）由题设条件知,点M的坐标为错误!，又k OM＝错误!，从而错误!＝错误!.进而得a＝错误!b，c＝错误!＝2b，故e＝错误!＝错误!。

(2)证明:由N是AC的中点知，点N的坐标为错误!，可得错误!＝错误!.又错误!＝(－a,b)，从而有错误!·错误!＝－错误!a2＋错误!b2＝错误!（5b2－a2）．由（1)可知a2＝5b2,所以错误!·错误!＝0，故MN⊥AB.考点三最值与范围问题［例］(2020·安徽知名示范高中联考）已知椭圆C：错误!＋错误!＝1(a＞b＞0）的离心率为错误!，且以原点为圆心，椭圆的焦距为直径的圆与直线x sin θ＋y cos θ－1＝0相切（θ为常数）．（1)求椭圆C的标准方程；(2)若椭圆C的左、右焦点分别为F1、F2，过F2作直线l与椭圆交于M，N两点,求错误!·错误!的最大值．[解析](1）由题意，得错误!解得错误!故椭圆C的标准方程为错误!＋y2＝1.（2)由(1)得F1(－1，0)，F2(1，0）．①若直线l的斜率不存在，则直线l⊥x轴，直线l的方程为x＝1,不妨记M错误!,N错误!,∴错误!＝错误!,错误!＝错误!,故错误!·错误!＝错误!。

②若直线l的斜率存在,设直线l的方程为y＝k(x－1)，由错误!消去y得，(1＋2k2）x2－4k2x＋2k2－2＝0,设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!。

又错误!＝（x1＋1,y1），错误!＝(x2＋1，y2）,则错误!·错误!＝（x1＋1)(x2＋1)＋y1y2＝（x1＋1）（x2＋1）＋k（x1－1)·k(x2－1)＝（1＋k2）x1x2＋(1－k2)(x1＋x2）＋1＋k2＝错误!＋错误!＋1＋k2＝错误!＝错误!－错误!，由k2≥0，可得错误!·错误!∈错误!.综上,错误!·错误!的最大值为错误!。

几何法根据已知的几何量之间的相互关系，利用平面几何和解析几何知识加以解决的（如抛物线上的点到某个定点和焦点的距离之和、光线反射问题等在选择题、填空题中经常考查）代数法建立求解目标关于某个(或两个）变量的函数，通过求解函数的最值解决的（普通方法、基本不等式方法、导数方法等)已知点A，B分别为椭圆E：错误!＋错误!＝1（a＞b＞0）的左、右顶点，点P(0，－2),直线BP交E于点Q，错误!＝错误!错误!，且△ABP是等腰直角三角形．(1)求椭圆E的方程;（2）设过点P的动直线l与E相交于M，N两点,当坐标原点O位于以MN为直径的圆外时，求直线l斜率的取值范围．解析：（1)由△ABP是等腰直角三角形，知a＝2，B（2，0）．设Q(x0，y0)，由错误!＝错误!错误!，得x0＝错误!，y0＝－错误!,代入椭圆方程，解得b2＝1，∴椭圆E的方程为错误!＋y2＝1.(2）由题意可知，直线l的斜率存在，设方程为y＝kx－2,M（x1，y1）,N(x2，y2），由错误!消去y，得(1＋4k2）x2－16kx＋12＝0,则x1＋x2＝错误!，x1x2＝错误!.由直线l与E有两个不同的交点，得Δ＞0，则（－16k）2－4×12×（1＋4k2）＞0，解得k2＞错误!。

①由坐标原点O位于以MN为直径的圆外,则错误!·错误!＞0,即x1x2＋y1y2＞0，则x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1－2）(kx2－2)＝（1＋k2)x1x2－2k（x1＋x2）＋4＝(1＋k2）·121＋4k2－2k·错误!＋4＞0，解得k2＜4。

②联立①②可知错误!＜k2＜4，解得－2＜k＜－错误!或错误!＜k＜2，故直线l斜率的取值范围为错误!∪错误!。