切换一次，设切换
2t
时间为ts，则令
0
为了求出ts，必须
首先找出状态在
1
平面上的转移轨线。
0
1
ts
tf
t
t
由 则：
设u=1，则
其中
如图(a)所示，为一组抛物线， 当K=0时经过原点[pos]
X2 s
0
t
p
若u=-1，则
X2 N
o
X1
T u=-1
为一组抛物线，如图(b)，当K1=0时过原点[NOT]
j =1，2…r
u 最优控制 *(t)是使
为极小，则：
＋１ －１ 不定
u*(t) +1
-1
奇异
t
可见：当 当
时， 时，
有确定值，正常情况 不定， 奇异情况
我们仅研究正常情况
u*(t)写成符号函数sgn{ }形式
则
j =1，2…r
向量形式：u*(t)=-sgn{q*(t)}
=-sgn{
}
⑶根据规范方程：
在证明过程中：
与H得符号与这里所定义的相反。
∴所以有的文献中也称为“极大值原理”。 3、H对u没有可微要求，因此应用拓宽。 4、 极小值原来是求取最优控制的必要条件，非充分条件。 即：满足极小值原理不一定J取极小值,需进一步判断。
一般:对于实际系统
有最优解
有唯一解
最优解
三、几种边界条件得讨论：
上面所讨论的是
控制向量约束条件: 末端状态：
g：p ×1维函数向量
目标函数：
: 自由
问题：寻求最优控制u*(t)，使系统由初态到终态， 目标函数J 为最小
❖ 步骤：应用最小值原理进行问题的求解
⑴列写哈密顿函数
⑵由控制方程求u*(t)
∵u有约束， ∴H在u*上取得极小值，即：
令 [注：
q:r ×1维向量函数 ]
则有：如：燃料最优控Fra bibliotek：U0 U1
若采用经典变分：
若采用经典变分法：
不再适用，求不出解来
实际应为
极小值原理
若在容许控制范围内，J或H有极值且唯一，用极小值 原理与经典变分法，所得
结论一致。
一、<定理>极小值原理：[时变系统]
时变受控系统
，其中控制向量
， 为容许控制
域， U(t)是在
内取值的任何分段连续函数，为使状态向量由初始
⑴如何确定最优控制u*(t) 设线性定常系统的状态方程为：
其中，X：n ×1维状态向量 u：控制变量 A，B分别为n ×n，n ×1矩阵
约束条件：
末端条件：
求
，使系统状态从
所用时间最短，即使
转移到 为最小
⑵问题的求解 ①首先列写哈密顿函数：
②根据极小值原理分析可得：
③有规范方程：
注： 为标量函数，题意要求
解得:
b) |u| 由极小值原理: 当t=1时 在[0,1]区间 所以
五、极小值原理中哈密顿函数H的性质讨论
用途：对于所求解的最优控制的验证，或帮助求解最优控制及
1、线性定常系统：
固定，
包括
则:
常数 。{
自由，
H中不显函t} (与末端状态无关)
沿最优控制轨线： 因为 中不显函t所以 又因为 自由,
和
已知。
受约束，
自由的最一般
情况。若
和末端状态不同，只需改变极小值原理的边界条件即可。
1）
已知，
边界条件为：
2)
给定，
自由， 未给定，
边界条件：
确定
3)
已知，
边界条件为:
给定,末端受约束
若 自由:外加:
四、例题分析 :设一阶系统状态方程：
x(0)=5
控制约束:
试求使性能指标: 为极小值的最优控制
及最优性能指标
（与末端状态无关） 常数
2、对于时变系统： 固定:
自由: 若末端自由:
证明：见胡寿松P91页 ，末端
第四节最小值原理在实际中的应用
几个典型例子： ❖ 1.时间最优控制问题 ❖ 2.最小燃料消耗问题 ❖ 3.最小能量控制问题 ❖ 4.线性调节问题 介绍重点： 时间最优控制问题（其他求解思想与此类似）
及初始条件和横截条件：
可求得x*(t)及
⑷求最优控制u*(t)
→砰一砰控制
2、砰一砰控制定理：
要求控制量始终为最大或最小
设u*(t)是上述问题提出的解，x*(t),
是相应的
状态轨线和协状态轨线。若问题正常(非奇异)，则
这是一个继电器控制方式，称为砰一砰控制
3、线性定常系统的最小时间控制问题的解法：
一、时间最优控制问题
所谓时间最优控制，就是把系统从初始 状态转移到目标状态的时间作为性能指标， 即使转移时间为最短。
这也是发展得最早的最优控制问题之 一。
1、问题提出（时变系统）
已知受控系统
并设 f 和 B对X(t)和t 连续可微。
X：n×1 状态向量 u： r×1 控制向量 f ：n×1 函数向量 B：n×r 函数值矩阵
转移到末端
，
满足约束：
，
未定， 并使性能指标达
到极小值。 设
和 是如上J为最小的最优解，
为最优状态轨
线，则必存在不 1、规范方程：
为0的n维向量
，满足:
2、边界条件：
3、与
对应的哈密顿函数H取极小值。
即:设
为满足 状态方程和协状态方程的最优解。
在
中。把H仅看作U的函数，若J为最小，必要条
件为
使得
仅看作U的函数时也取最小值。
解:定常系统, 固定,末端自由问题
根据极小值原理,使H绝对极小相当于使J为极小
所以
由协状态方程:
由横截条件: 显然:当
时，
产生切换
所以
由x(0)=5代入,得 所以 令t=0.307可得0.307≤t≤1时x(t)的初始条件:
解得
所以
将
代入J可得:
例2: 0
求 a)对U没有约束 b) |u|
解:a)
极小值原理的证明：应用数学基础较多，有些书中用很大篇幅进行
证明，省略。
二、极小值原理的意义：
1 、容许控制条件放宽 变分法：在整个控制域，对U没有约束
且即使U不受限制，
有时
计算不易。
极小值原理：H在U的约束闭集中取极小值。
变分法仅为极小值原理的一个特例。
2、最优控制 这一原理是苏联学者
使哈密顿函数H取极小值，极小值原理由此得名。 “庞特里亚金”等人首先提出，而后加以证明得。
则u*(t)的切换次数最多不超过（n-1）次，
n为系统的维数。
以下将根据极小值定理，开关次数定理及相平 于状态空间分析，求u*
例题分析1：
时间最优控制问题
求u*(t)
解：对象为二阶线性系统[双积分模型的时间最 优控制]（应用最普通最广泛的一种）
由规范方程： 则
由
C1，C2的取值要求：保证
由开关次数定理知：
代入
得：
可见， 的值完全由 的符号决定 但是， 的确定是不容易的。因为它还和系统的 状态变量有关系。通常采用的方法是：
先设一个 ，求出 ，求出 ，判定 若为０，则 即为所求；否则修正 重复上述 过程
⑶开关次数定理：
设线性系统
是正常的（不存在
非奇异问题），若矩阵A的特征值均为实数，假定
时间最优控制存在，并令其为