高 考 真
量 a，b 满足A→B＝2a，A→C＝2a＋b，则下列结论中正确的是____．(写
题
体 验
出所有正确结论的编号)
专
①a 为单位向量；②b 为单位向量；③a⊥b；④b∥B→C；⑤(4a
题 限 时
热
点 考 向
＋b)⊥B→C.
训 练
突
破
答案：①④⑤
第一部分 专题二 第10讲 第16页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 ·理
专 题
限
热
B．|a－b|≤||a|－|b||
点
时 训 练
考 向
C．(a＋b)2＝|a＋b|2
突
破
D．(a＋b)·(a－b)＝a2－b2
答案：B
第一部分 专题二 第10讲 第8页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 ·理
解析：根据 a·b＝|a||b|cos θ 及 cos θ≤1 知，|a·b|≤|a||b|，A 恒
考
t
向
突 破
P→B·P→C＝（－4，1t －1）·(t－4，－1)＝－4t－1t ＋17
第一部分 专题二 第10讲 第28页
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高
＝－（4t＋1t ）＋17≤－2 4＋17＝13.
考
真 题 体
当且仅当 4t＝1t ，即 t＝12时(负值舍去)取得最大值 13.
验
题
体
(1)向量共线定理：向量 a(a≠0) 与 b 共线当且仅当存在
验
专
唯一一个实数 λ，使 b＝λa .
题 限
时
热 点
(2)平面向量基本定理：如果 e1，e2 是同一平面内的两个
训 练
考 向
不共线向量 ，那么对这一平面内的任一向量 a，有且只有一
突
破 对实数 λ1，λ2，使 a＝ λ1e1＋λ2e2 ，其中 e1，e2 是一组基底．
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[变式训练]
高 考 真
(2015·新课标全国卷Ⅰ)设 D 为△ABC 所在平面内一点，B→C＝
题
体 验
3C→D，则(
)
专
题
热
A.A→D＝－31A→B＋43A→C B.A→D＝13A→B－34A→C
点
限 时 训 练
考 向 突 破
C.A→D＝43A→B＋31A→C
专
题
限
＝ 37－12cos α≤ 37＋12＝7，
时
热
点 考
当 cos α＝－1，即 B 落在点(－1,0)处时，等号成立.
训 练
向
突 破
故|P→A＋P→B＋P→C|的最大值为 7.
第一部分 专题二 第10讲 第15页
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4．(2015·安徽卷)△ABC 是边长为 2 的等边三角形，已知向
外，向量作为工具与其他知识交汇命题的趋势增强，应予以关注．
时 训 练
考
向
突
破
第一部分 专题二 第10讲 第19页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 ·理
高
考
真
题
体
验
专
题
热点考向突破
限 时
热 点
训 练
考
向
突
破
第一部分 专题二 第10讲 第20页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 ·理
考向一 平面向量的线性运算
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 ·理
∴ |P→A＋P→B＋P→C|＝|2P→O＋O→B－O→P|
高 考 真
＝|O→B－3O→P|
题
体
验
＝
专 题
限
＝ 12＋9×22－6×1×2cos∠POB
热
点 考
＝ 37－12cos∠POB
时 训 练
向
突 破
≤ 37＋12＝7，
当且仅当∠POB＝180°时，等号成立，故|P→A＋P→B＋P→C|的最
第一部分 专题二 第10讲 第22页
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规律方法
高
考 真
用平面向量基本定理解决此类问题的关键是先选择一组基
题
体 底，并运用平面向量的基本定理将条件和结论表示成基底的线性
验
专
组合，再通过对比已知等式即可得 λ1，λ2 的值．
题 限
时
热 点
训 练
考
向
突
破
第一部分 专题二 第10讲 第23页
体
验 |P→A＋P→B＋P→C|＝|2P→O＋P→B|≤2|P→O|＋|P→B|，当 P，O，B 三点共线
专 题
限
热 点
时，等号成立，即当 B 落在点(－1,0)处时|P→A＋P→B＋P→C|取得最大
时 训 练
考
向 突
值，此时，
P→O＝(－2,0)，P→B＝(－3,0)，2|P→O|＋|P→B|＝2×2＋3
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高
考
真
题
体
验
专
题
热 点
⊳第一部分 专题突破篇
限 时 训
练
考
向
突
破
第一部分 专题二 第10讲 第1页
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高
考
真
题
体
验
专
题
专题二 三角函数与平面向量
限 时
热 点
训 练
考
向
突
破
第一部分 专题二 第10讲 第2页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 ·理
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 ·理
2．(2015·广东卷)在平面直角坐标系 xOy 中，已知四边形
高 考 真
ABCD 是平行四边形，A→B ＝(1，－2)，A→D ＝(2,1)，则 A→D ·A→C ＝
题
体 验
(
)
专
A．5
B．4
题 限
时
热
C．3
点
D．2
训 练
考
向
答案：A
突
破
解析：由四边形 ABCD 为平行四边形知，A→C＝A→B＋A→D＝(3，
D.A→D＝43A→B－31A→C
答案：A
第一部分 专题二 第10讲 第24页
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高 考
解析：A→D＝A→C＋C→D＝A→C＋13B→C＝A→C＋13(A→C－A→B)＝43A→C－
真 题 体 验
13A→B＝－13A→B＋43A→C.故选 A.
专
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
题
限
时
热 点
训 练
时 训 练
向 突 破
－12×2×2＝－1≠0，故③错误；
第一部分 专题二 第10讲 第17页
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∵ B→C＝b，故④正确；
高
考 真 题
∵ (A→B＋A→C)·(A→C－A→B)＝A→C2－A→B2＝4－4＝0，
体
验
∴ (4a＋b)⊥B→C，故⑤正确．
专 题
限
时
热 点
专
题
限
时
热 点
训 练
考
向
突
破
第一部分 专题二 第10讲 第29页
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规律方法
高 考
求解几何图形中的数量积问题，通过对向量的分解转化成已
真
题 体
知向量的数量积计算是基本方法，但是如果建立合理的平面直角
验
坐标系，把数量积的计算转化成坐标运算也是一种较为简捷的方
专 题
限 时
热 点 考 向 突
＝|aa|·|bb|＝
x12x＋1x2y＋21 yx122y＋2 y22.
训 练
破
第一部分 专题二 第10讲 第7页
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[真题再现]
高 考
1．(2015·陕西卷)对任意平面向量 a，b，下列关系式中不恒
真
题 体
成立的是(
)
验
A．|a·b|≤|a||b|
破
＝7，故|P→A＋P→B＋P→C|的最大值为 7.
第一部分 专题二 第10讲 第12页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 ·理
高
考
真
题
体
验
专
题
限
时
热 点
训 练
考 向 突
解法二：同解法一，得|P→A＋P→B＋P→C|＝|2P→O＋P→B|.
破
又P→B＝O→B－O→P，
第一部分 专题二 第10讲 第13页
－1)，故A→D·A→C＝(2,1)·(3，－1)＝5.
第一部分 专题二 第10讲 第10页
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3．(2015·湖南卷)已知点 A，B，C 在圆 x2＋y2＝1 上运动，
高
考 真 题
且
AB⊥BC.若点
P
的坐标为(2,0)，则|P→A＋P→B＋P→C|的最大值为
体
专 题 限 时
热 点
|AB| |AC|
训
练
考 向
最大值等于(
)
突
破
A．13
B．15
C．19
D．21
第一部分 专题二 第10讲 第26页
名师伴你行 ·高考二轮复习 ·数学 ·理
高
[审题突破] 看到A→B⊥A→C，想到建立直角坐标系．
考
真
题 体
答案：A