1. 等比数列}{n a 首项为正数，8,10243262===⋅--k k k a a a a ，若对满足128>t a 的任意t ，m tk tk ≥-+都成立，则实数m 的取值范围是____________]8,(--∞ 解析：7122262=⇒=-+⇒=⋅-k k k a a a k k ，则22,85643=⇒===-q a a a k12-=n n a ，82212871>⇒>⇒>-t a t t ，1714--≤⇒≥-+tm m t k t k 递增，9≥t ，27-≤-t ，817714-=--≥-∴t2. 已知函数)(x f 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有)1(2)2(+=+x f x f)(x f -，且6)3(,2)1(==f f ，则_______)2009(=f 4018解析：实际上是等差数列问题 3. 2222222220091200811...413113*********++++++++++++=S ，则不大于S 的最大整数][S 等于_______2008解析：1111)1(1)1()1(11122+-+=+++=+++n n n n n n n n 2008][2009112008=⇒-+=S S 4. 已知数列{}n a 满足1,a t =，120n n a a +-+= (,)t n ∈∈**N N ，记数列{}n a 的前n 项和的最大值为()f t ，则()f t = . ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++)(4)1()(4222为奇数为偶数t t t t t解析：关键是(,)t n ∈∈**N N5. 对任意x ∈R ，函数()f x 满足21)]([)()1(2+-=+x f x f x f ，设2[()](),n a f n f n =-数列{}n a 的前15项和为31,(15)16f -则= ．43解析：关键之一：不要误入化简函数式的误区；关键之二：能否看出]1,21[)(∈x f ；（21)1(≥+x f ） 关键之三：)21)(21(]1)()[(11--+-=-=--n n n a a n f n f a得411-=+-n n a a ，从而16315-=a ，反代可得43)15(=f6. 设1250,,,a a a L 是从-1，0，1这三个整数中取值的数列，若222212501509,(1)(1)(1)107a a a a a a +++=++++++=L L 且，则1250,,,a a a L 中数字0的个数为 11解析：由题意，5021,...,,a a a 里有9个1，其余不是0，就是成对出现（1，-1），设有n 个0，m 对（1，-1），则412=+n m ，再由71361074107)1(...)1(25021=-=+⇒=++++n m a a ，解得11,15==n m7. 已知数列{}n a 的各项均为正整数，对于⋅⋅⋅=,3,2,1n ，有1352n n n ka a a ++⎧⎪=⎨⎪⎩n n 1n a a k a +为奇数为偶数,是使为奇数的正整数，若存在*m ∈N ，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，则p 的值为______1或5 解析：当n a 为奇数时，531+=+n n a a 为偶数，kn n a a 2532+=+为奇数，当n m >且n a 为奇数时，n a 恒为常数p ，故p p p kk532253+=⇒+=，0>p ，故1=p 或5 8. 已知等差数列{a n }的公差d 不为0，等比数列{b n }的公比q 是小于1的正有理数.若a 1=d ，b 1=d 2，且321232221b b b a a a ++++是正整数，则q 等于________21解析：（2007全国联赛）因为22111212121321232221114)2()(qq q b q b b d a d a a b b b a a a ++=++++++=++++，故由已知条件知道：1+q +q 2为m14，其中m 为正整数。

令m q q 1412=++，则m m m q 4356211144121-+-=-++-=。

由于q 是小于1的正有理数，所以3141<<m，即5≤m ≤13且m m 4356-是某个有理数的平方，由此可知21=q 9. 已知等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝n2n －1对任意n ∈N *恒成立，则a 10b 5的值为 1917解析：S n T n ＝n2n －13412)12()12(1212--==--=⇒--n n T S b n a n b a n n n n n n ，等差数列{a n }和{b n }，故设=n a )12(-n k ，)34(-=n k b n ，然后直接计算10. 已知数列{},{}n n a b 满足1211,2,2,a a b ===且对任意的正整数,,,,i j k l 当i j k l+=+时，都有i j k l a b a b +=+，则221ni i i i i a b a b =+=∑ .解析：令1,2,,1-====n l k n j i ，则1121+=⇒+=+-n b b a b a n n n 再令2,1,1,=-===l n k j n i ，则n a n =1112)1(122)1()1(22222+-+=+++=+++=+k k k k k k k k k k b a b a k k k k 11. 在平面直角坐标系中，定义⎩⎨⎧+=-=++n n n n n n x y y x y x 11为点),(n n n y x P 到点),(111+++n n n y x P 的一个变换为""γ变换，已知)1,0(1P ，),(222y x P ，…，),(n n n y x P ，),(111+++n n n y x P 是经过""γ变换得到的一列点，设1+=n n n P P a ，数列}{n a 的前n 项和为n S ，那么10S 值为__________23131+解析：),(),,(1n n n n n n n n y x P x y x y P +-+，则n n n n n n n n x x y x y x y x 2)()(112=--+=-=+++，隔项成等比数列从前几项找规律：),....8,0(),4,4(),4,0(),2,2(),2,0(),1,1(),1,0(7654321P P P P P P P24,4,22,2,2,1654321======a a a a a a ，成等比数列12. 设数列}{n a 的前n 项和为n S ，令nS S S T nn +++=Λ21，称n T 为数列n a a a ,,,21Λ的“理想数”，已知数列40021,,,a a a Λ的“理想数”为2005，则40021,,,,11a a a Λ的“理想数”为_________ 2011 解析：2011401400200540111401)11(...)11(11,400...200540014014001=⨯+⨯=+++++=++=S S T S S 13. 已知函数()x x x f tan sin +=.项数为27的等差数列{}n a 满足⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππn a ，且公差0≠d ，若()()()02721=+++a f a f a f Λ，当()0=k a f 时，则k 的值为_________14解析：注意到)(x f 为奇函数且在⎪⎭⎫⎝⎛-∈2,2ππn a 上单调递增，若()0=k a f ，则0=k a ，,........0)()(01111=+⇒=++-+-k k k k a f a f a a ，若14≠k ，则必然在其左或右多出几项，函数值的和不为0，而其余和为0，不合题意14. 数列{}n a 满足：121141,1+=+=n n a a a ，记∑==ni i n a S 12，若3012t S S n n ≤-+对任意的()+∈N n n 恒成立，则正整数t 的最小值为 10解析：易得：3412-=n a n ，令n n S S n g -=+12)(，而)1()(+-n g n g098158114123222221>+-+-+=--=+++n n n a a a n n n ，为减数列，所以：304514)1(12tg S S n n ≤=≤-+，而t 为正整数，所以10min =t 15. 已知函数()()()56(4)462x a x f x ax x -⎧>⎪=⎨-+≤⎪⎩, 数列{}n a 满足()()+∈=N n n f a n ，且数列{}n a 是单调递增数列，则实数a 的取值范围是 ()4,816. 已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，若322(1)2010(1)1a a -+-=，320092009(1)2010(1)1a a -+-=-，则下列四个命题中真命题的序号为 ． ②③①20092009S =； ②20102010S =； ③20092a a <； ④20092S S <解析：构造函数x x x f 2010)(3+=奇函数且单调增，则1)1(,1)1(20092-=-=-a f a f 则220092=+a a ，,20102)(2010200922010=+=a a S ②正确；2)(2009200912009a a S +=因为公差0≠d ，故12a a ≠，①错误；1)1(,1)1(20092-=-=-a f a f ，知12>a ，12009<a ，③正确； 12>a ，12009<a 0<⇒d ，112010201020092008)2(2010a a a S S +=--=-=，212a a S +=，若20092S S <得20082>a ，而此时322(1)2010(1)1a a -+-=不成立17. 在等差数列{}n a 中，若任意两个不等的正整数,k p ，都有21k a p =+，21p a k =+，设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若k p m +=，则m S = （结果用m 表示）2m解：2)()(2)(-=⇒-=-⇒-=-d d p k k p d p k a a p k222)21212(2)(2)(2)(11m m k p m d a a m a a m a a m S p k p k m m ⋅=-+++=++=+=+=+2m18. 已知ABC ∆的三边长,,a b c 成等差数列，且22284,a b c ++=则实数ｂ的取值范围是]72,62(解法一：设c b a ≤≤，且d b a -=，0,≥+=d d b c8423)()(22222222=+=+++-=++d b d b b d b c b a 728432≤⇒≤⇒b b又c b a >+，故6227238422222>⇒<+=⇒<⇒>⇒+>+-b b d b b d d b d b b d b 解法二：基本不等式c a b +=2，84252)(222222=-=+-+=++ac b b ac c a c b a 而722832584222222≤⇒≤⇒≥-=⇒≤⇒≥+=b b b ac b b ac ac c a b 又,c b a >+不妨设c b a ≤≤，（同一题）已知ABC ∆的三边长,,a b c 成等差数列，且22284,a b c ++=则实数ｂ的取值范围是解析：不妨设c b a ≤≤，且0,,≥+=-=d d b c d b a ，代入等式得84)()(222=+++-d b b d b 842322=+⇒d b ，故728432≤⇒≤b b ，又三边不等关系知，22b d d b d b b d b c b a <⇒>⇒+>+-⇒>+，故84)2(2222>⋅+b b 62>⇒b19. 已知数列}{n a 、}{n b 都是公差为1的等差数列，其首项分别为1a 、1b ，且511=+b a ，*11,N b a ∈．设n b n a c =（*N n ∈），则数列}{n c 的前10项和等于 85解析：即求1021...b b b a a a +++，由于两数列都是公差为1，故此数列也是等差数列，由求和公式知：451012910101110+=⨯⨯+=b b a a S ，而4151)1(111=-=⨯-+=b a a b 20. 数列{}n a 的前n 项和是n S ，若数列{}n a 的各项按如下规则排列：11212312341, , , , , , , , , , , 23344455556L ， 若存在整数k ，使10k S <，110k S +≥，则k a = ___75解析：由于212)1(1...21-=-=-+++n n n n n n n n ，故 4)1(2)1(21)1...21(21)1...21(...)3231(21-=-⋅=-+++=-+++++++=n n n n n n n n n S 当6=n 时，10215<=S ，当7=n 时，10221>=S ，故1022176...21>=++，107622175...21<-=++，所以75=k a 21. 等差数列{}n a 的公差为d ，关于x 的不等式22d x ＋12d a x ⎛⎫- ⎪⎝⎭＋c ≥0的解集为[0，22]，则使数列{}n a 的前n 项和n S 最大的正整数n 的值是 ．11 解析：由解集可得d a 2211-=，)0(0)223(<≥--=d n d a n 22. 若数列{}n a 是等差数列，首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是________4006解析：,0,020042003<>a a 02)(40062)(400620042003400614006>+=+=a a a a S而04007<S23. 设正项数列}{n a 的前项和是n S ，若}{n a 和}{n S 都是等差数列，且公差相等，则a 1＝41解析：}{n S 是等差数列，则⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+d a d a d a d a 33221111平方得⎪⎩⎪⎨⎧+=++=+da d a d da d a d 324421121122)1()2(⨯-得d d =22，而数列各项为正，则,01>a 0≠d ，解得21=d代入（1）得411=a24. 已知等比数列{}n a 满足11a =，102q <<，且对任意正整数k ，12()k k k a a a ++-+仍是该数列中的某一项，则公比q1-解析：1-=n n q a ，则对任意正整数k ，总存在*N n ∈，使得n k k k q q q q =+-+-)(11成立两边同除以1-k q ，得kn q q q -=+-)(12，而102q <<，则)1,41(45)21(122∈++-=+--q q q ，即141<<-k n q ，所以141)21(022=<<=<-q q q k n ，故1,20=-<-<k n k n ，代入k n q q q -=+-)(12得12-=q。