1. 已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在 12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是________14[,]23解析：即两函数在]1,0[上值域有公共部分，先求)(x f 值域]1,0[]61,0[]1,61[⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=， ]232,22[)(a a x g -+-∈，故⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-0232122a a 2. 若A 是锐角三角形的最小内角，则函数A A y sin 2cos -=的值域为______)1,231[+- 解析：设090<≤≤C B A ,0601803≤⇒=++≤A C B A A ，但锐角三角形无法体现，因为0>A 就可以，故0600<<A ，89)41(sin 22++-=A y ，)23,0(sin ∈A 3. 已知O 是锐角ABC ∆的外接圆的圆心，且θ=∠A ，若AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+，则________=m （用θ表示）θsin解析：AO m AC BCAB C B 2sin cos sin cos =+，两边同除以R 2 Rm b C c B ⋅=⋅+⋅⇒cos cos 321cos cos e m e C e B ⋅=⋅+⋅⇒ （其中)3,2,1(=i e i 都为单位向量），而090=+=+βαC B ，故有321sin sin e m e e =⋅+⋅βα，两边同乘以3e 得，m =+αββαcos sin cos sin4. 设θγ,为常数))2,4(),4,0((ππγπθ∈∈，若-=-++αθβγγα(sin sin )sin()sin( )cos (cos cos )sin βαθβ++对一切R ∈βα,恒成立，则__)4(sin )cos(tan tan 2=+-+πθγθγθ 2解析：法一：令2cos 2sin 20πγθθγβα=+⇒=⇒==22)22cos(12sin 1)4(sin )22cos(12=+-+=+-+⇒πθθπθπθ法二：按βα,合并，有0)cos )(sin cos (cos )sin )(cos sin (sin =-++--θγβαθγβα⎩⎨⎧==⇒θγθγcos sin sin cos 5. 已知函数①x x f ln 3)(=；②xex f cos 3)(=；③xe xf 3)(=；④x x f cos 3)(=，其中对于)(x f 定义域内的任意一个自变量1x 都存在唯一个自变量2x ，使3)()(21=x f x f 成立的函数的序号是______③解析：①1=x 不成立；②④周期性不唯一6. 在ABC ∆中，已知,3,4==AC BC 且1817)cos(=-B A ，则____cos =C 61 解析：画图在BC 上取点D ，使x BD AD ==，在ADC ∆中应用余弦定理：)cos(cos B A CAD -=∠7. 已知函数()sin cos f x x a x =+的图象的一条对称轴是53x π=，若 ()sin cos g x a x x =+sin()(0,0,0)A x A ωϕωϕπ=+>><<表示一个简谐运动，则其初相是32π 解析：)352()67()2()(ππππ-=-⇒-=f g x f x g ，故)(x g 的对称轴为67π-=x ，即 ACx xx -4 335267ππϕππϕπ+=⇒+=+-k k ，又πϕ<<0，故32πϕ= 8. 如果满足∠ABC =60°，8AB =，AC k =的△ABC 只有两个，那么k 的取值范围是 )8,34(解析：画图和184（即本类31题）,186（即本类32题）属于一类题9. 已知函数)4541(2)cos()sin()(≤≤+-=x xπx πx x f ，则f (x )的最小值为____554解析：（2007全国联赛）)4541(2)4sin(2)(≤≤+-=x xππx x f ，设)4541)(4sin(2)(≤≤-=x ππx x g ，则g (x )≥0，g (x )在]43,41[上是增函数，在]45,43[上是减函数，且y =g (x )的图像关于直线43=x 对称，则对任意]43,41[1∈x ，存在]45,43[2∈x ，使g (x 2)=g (x 1)。

于是)(2)(2)(2)()(22212111x f x x g x x g x x g x f =+≥+=+=，而f (x )在]45,43[上是减函数，所以554)45()(=≥f x f ，即f (x )在]45,41[上的最小值是55410. 满足条件BC AC AB 2,2==的三角形ABC 的面积的最大值解析：2008江苏高考题，本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设BC ＝x ，则AC，根据面积公式得ABC S ∆=1sin 2AB BC B ⨯=，根据余弦定理得2222242cos 24AB BC AC x x B AB BC x +-+-==⨯244x x-=，代入上式得ABC S ∆==BAC C由三角形三边关系有22x x +>+>⎪⎩解得22x <<，故当x =ABC S ∆最大值11. 已知定义域为D 的函数f(x),如果对任意x∈D,存在正数K, 都有∣f(x)∣≤K∣x∣成立，那么称函数f(x)是D 上的“倍约束函数”，已知下列函数：①f(x)=2x②()f x =2sin()4x π+；③()f x；④()f x =21xx x -+，其中是“倍约束函数的序号是 ①③④解析：①x x 22≤；②数形结合不可能存在k 使|||)4sin(2|x k x ≤+π恒成立；③)1(1122≥-≥⇒≤-x x x k x k x 成立；④11122+-≥⇒≤+-x x k x k x x x 12. 若[]0,απ∈,,44ππβ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，λ∈R ，且3cos 202πααλ⎛⎫---= ⎪⎝⎭，34sin cos 0βββλ++=，则cos 2αβ⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为= 22解析：令x x x f sin )(3+=，则απαπαπαπαcos )2()2sin()2()2(33--=-+-=-fλ2=，λββββββ2)cos sin 4(22sin 8)2(33-=+=+=f ，故022=+-βπα13. 已知0>a ，设函数120092007()sin ([,])20091x x f x x x a a ++=+∈-+的最大值为M ，最小值为N ，那么=+N M ．4016解析：x x f x x sin 12009120092008)(++-+=，注意到1200912009+-x x 和x sin 都为奇函数，故对函数)(x f 考虑构造新函数x x g xx sin 1200912009)(++-=为奇函数，而)(2008)(x g x f +=，在区间],[a a -上由奇函数的对称性知0)()(=+-x g x g ，故401622008=⨯=+N M14. 函数x b x a x f cos sin )(-=图象的一条对称轴方程是4π=x ，则直线0=+-c by ax 的倾斜角为 _______43π解析：22)4(b a f +±=π即0)(2222=+⇒+±=-b a b a b a 15. 若()sin() 1 (0,||<π)f x A x ωϕωϕ=++>对任意实数t ，都有()()ππ33f t f t +=-+．记()cos()1g x A x ωϕ=+-，则π()3g = ．－1解析：()()ππ33f t f t +=-+知)(x f 一条对称轴是3π=x ，1)3sin(±=+ϕωπ，0)3cos(=+ϕωπ16. 设)2,0(π∈x ，则函数)cos 1)(cos sin 1(sin 2222xx x x ++最小值是__________425解析：令x b x a 22cos ,sin ==，则41,1≤=+ab b a ，原式ba ab ab ab +++=14252441=++≥ 17. 若对于)2,0(π∈x ，不等式9cos sin 122≥+xpx 恒成立，则正实 数p 的取值范围为__________[)4∞，+解析：9)1(cos sin sin cos )1()cos sin 1)(cos (sin 222222222≥+≥+++=++p xx p x x p x p x x x 18. 设函数)cos (sin )(x x e x f x-=，若π20110≤≤x ，则函数)(x f 的各极大值之和为 πππ220121)1(e e e --解析：]2011,0[,0sin 2)('∈=⇒==x k x x e x f xπ，但要使)(x f 取极大值，则2011,...,5,3,1=k ，故各极大值和为ππππππ22012201131)1(...e e e ee e --=+++19. 在斜三角形ABC 中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若1tan tan tan tan =+BCA C ，则=+222c b a _ 3 解析：12cos sin sin sin cos sin )sin cos sin cos (cos sin 22222=-+==⋅=+c b a c C ab c B A C C C B B A A C C 20. 设b a ,均为大于1的自然数，函数x b x g x b a x f cos )(),sin ()(+=+=，若存在实数m ，使得)()(m g m f =，则b a +的值为_________4解析：1)sin(1)1(0cos sin )()(22+≤++=-⇒=--+=-a x a a b x b x a ab x g x f ϕ因b a ,均为大于1的自然数，故)2(,21211221211)1(1222222≥-++=+-+=-++=-+≤a aa a a a a a a a ab 的最大值5，故2=b ，此时2=a21. 直线l 与函数]),0[(sin π∈=x x y 图象相切于点A ，且OP l //，O 为原点，P 为图象的极值点，l 与x 轴交点为B ，过切点A 作x AC ⊥轴，垂足为C ，则_____=⋅BC BA 442-π解析：设)sin ,(00x x A ，切线方程为)(cos sin 000x x x x y -=-，令0=y ，00tan x x x B -=，202)(tan x BC ==⋅，而π2cos 0==OP k x44)2()2(1cos sin )(tan 22220220-=-==∴πππx x x22. 设△ABC 的BC 边上的高AD ＝BC ，a ，b ，c 分别表示角A ，B ，C 对应的三边，则b c ＋c b的取值范围是 ]5,2[解析：因为BC 边上的高AD ＝BC ＝a ，．所以ABC S ∆＝212a ＝1sin 2bc A ，所以sin A ＝2a bc ．又因为cos A ＝2222b c a bc +-＝212b c a c b bc ⎛⎫+- ⎪⎝⎭，所以b c ＋c b ＝2cos A ＋sin A 同时b c＋c b ≥2，所以b c ＋cb∈[2． 23. 已知点O 为ABC ∆24==,则=• 6 解析：61224cos 2cos 4)(=⋅-⋅=∠-∠=-=⋅RR R R BAO R CAO R AB AC AO BC AO 24. 在ABC ∆中， 223cos cos 222C A a c b +=，且ABC ∆的面积sin S a C =，则a c +的值是________4解析：sin S a C =得2=b ，223coscos 222C A a c b += b A c C a b A c C a 3)cos 1()cos 1(232cos 12cos 1=+++⇒=+⋅++⋅⇒ 4233)cos cos (==+⇒=++⇒=+++⇒b c a b b c a b A c C a c a25. 设D 是ABC ∆边BC 延长线上一点，记)1(λλ-+= ，若关于x 的方程01sin )1(sin 22=++-x x λ在)2,0[π上恰有两解，则实数λ的取值范围是____4-<λ或122--=λ解析：令x t sin =则01)1(22=++-t t λ在)1,1(-上恰有一解，数形结合知0)1()1(<⋅-f f 4-<⇒λ或2>λ，或者1220--=⇒=∆λ又)1(λλ-+=λ=⇒0<⇒λ 所以4-<λ或122--=λ26. 已知函数f (x )=2cos x x -，x ∈ππ[]22-，，则满足f (x 0)＞f (3π)的x 0的取值范围为__[,)23ππ--∪(,]32ππ解析：注意到)(x f 的奇偶性和单调性即可27. 平面四边形ABCD 中，AB ＝3，AD ＝DC ＝CB ＝1，△ABD 和△BCD 的面积分别为S ，T ，则S 2＋T 2的最大值是 ．87解析：如图，设βα=∠=∠C A ,,由余弦定理知：1cos 3cos cos 2cos 222222-=⇒⋅-+==⋅-+αββαBC CD BC CD BD AB AD AB AD 332cos 0)1,1(<<⇒-∈α，又87)63(cos 23sin 41sin 4322222+--=+=+αβαT S ，当63cos =α时，最大值为87 28. 设点),(00y x P 是函数x ytan =与x y -=（0>x ）图象的一个交点，则=++)12)(cos 1(020x x __________2解析：)0(tan 000>=x x x ，法一：消0x ，2cos 2)1(tan 0202=⋅+x x ，法二：消0tan x ，用万能公式.ACDS T说明：若无00>x ，则可以用特殊值00=x 求解____]3,1[30. 设G 是ABC ∆的重心，且0)sin 35()sin 40()sin 56(=++GC C GB B GA A ，则角B 的大小为__________60°解析：由重心性质知c b a C B A 354056sin 35sin 40sin 56==⇒==，下面用余弦定理即可求解31. 在ABC ∆中，已知2,22==a b ，如果三角形有解，则A ∠的取值范围是⎥⎦⎤ ⎝⎛4,0π 解析：数形结合，先画22==b AC ，再以C 为圆心，2=a 为半径画圆，如图即可解得.法二：正弦定理b BbA a ≥=sin sin 32. 如图，动点M 在圆228x y +=上，(2,0)A 为一定点，则OMA ∠的最大值为 4π解析：本题等同于31题。