1.已知函数12)2(24)(22+----=p p x p x x f 在区间]1,1[-上至少存在一个实数c ，使0)(>c f ，则实数p 的取值范围是________)23,3(-解析：反面考虑，补集思想，⎩⎨⎧≤≤-0)1(0)1(f f 23,3≥-≤⇒p p2. 设函数3()31()f x ax x x R =-+∈，若对于任意的[]1,1-∈x 都有0)(≥x f 成立，则实数a 的值为 4解析：2008年高考题，本小题考查函数单调性的综合运用．若x ＝0，则不论a 取何值，()f x ≥0显然成立；当x ＞0 即[]1,1x ∈-时，()331f x ax x =-+≥0可化为，2331a x x ≥- 设()2331g x x x =-，则()()'4312x g x x -=， 所以()g x 在区间10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦上单调递增，在区间1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减，因此()max 142g x g ⎛⎫==⎪⎝⎭，从而a ≥4； 当x ＜0 即[)1,0-时，()331f x ax x =-+≥0可化为a ≤2331x x-，()()'4312x g x x -=0> ()g x 在区间[)1,0-上单调递增，因此()()ma 14n g x g =-=，从而a ≤4，综上a ＝4 特殊方法：抓住⎩⎨⎧≥≤⇒⎪⎩⎪⎨⎧≥≥-440)21(0)1(a a f f 3.函数1)3()(2+-+=x m mx x f 的 图象与x 轴的交点至少有一个在原点的右侧，则实数m 的取值范围为_______1≤m解析：显然0≤m 成立，当0>m 时，100230≤<⇒⎪⎩⎪⎨⎧>--≥∆m mm4.设函数)(x f y =在),(+∞-∞内有定义.对于给定的正数K ，定义函数⎩⎨⎧>≤=Kx f K K x f x f x f k )(,)(),()(，取函数xe x xf ---=2)(，若对任意的),(+∞-∞∈x ，恒有)()(x f x f k =，则K 的取值范围是_______1≥K解析：2009湖南理，由定义知，若对任意的),(+∞-∞∈x ，恒有)()(x f x f k =即为Kx f ≤)(恒成立，即求)(x f 的最大值，由'()10,xf x e -=-=知0x =，所以(,0)x ∈-∞时，'()0f x >，当(0,)x ∈+∞时，'()0f x <，所以max ()(0)1,f x f ==即()f x 的值域是(,1]-∞5. 已知函数()log (2)a f x ax =+的图象和函数1()log (2)ag x a x =+(0,1a a >≠)的图象关于直线y b =对称（b 为常数），则a b += 2解析：b x g x f 2)()(=+b x a ax a a 2)2(log )2(log =+-+⇒，2,1;0,1====a x b x 6. 已知定义在R 上的函数)(x F 满足()()()F x y F x F y +=+，当0x >时，()0F x <. 若对任意的[0,1]x ∈，不等式组22(2)(4)()(3)F kx x F k F x kx F k ⎧-<-⎪⎨-<-⎪⎩均成立，则实数k 的取值范围是 .(3,2)-解析：0)0(=F ，令x y -=得)(x F 奇函数，设)()()(,121221x F x F x x F x x -+=-<0)()(12<-=x F x F ，)(x F 减函数，⎪⎩⎪⎨⎧->-->-34222k kx x k x kx ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧<⇒≤≤-+=++<<<-⇒⎩⎨⎧<<⇒<-+-⇒2)21(2413430)1(0)0(0)4(222k t t t x x k k F f k kx x 7. 已知函数31++-=x x y 的最大值为M ,最小值为m ,则Mm 的值为_____22解析：法一：平方 ； 法二：向量)3,1(),1,1(+-x x 数量积 8. 设函数31()12x f x x -=--的四个零点分别为1234x x x x 、、、，1234()f x x x x =+++ .19解析：令)0(2)(,13≥-==-t t t g t x t画出ty t y 2,3==图象，它们在第一象限有两个交点，则,11t x =-21t x =-242312111,1,1,1t x t x t x t x -=+=-=+=⇒ 9. 定义在R 上的函数()y f x =，若对任意不等实数12,x x 满足1212()()0f x f x x x -<-，且yx ,满足不等式22(2)(2)0f x x f y y -+-≤成立.函数(1)y f x =-的图象关于点(1,0)对称，则当 14x ≤≤时，yx的取值范围为________]121-[，解析：)(222y x y x -≥-，（1）0=-y x 时，1=x y 成立；（2）121-20≤≤⇒⎩⎨⎧≥+≥-x yy x y x（3）⎪⎩⎪⎨⎧≤≤≤+<-4120x y x y x 无解10. 已知1,0≠>a a ，若函数)(log )(2x ax x f a -=在]4,3[是增函数，则a 的取值范围是________),1(+∞解析：x ax x g -=2)(对称轴是a x 21=，当321≤a 时，10)3(161>⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧>>≥a g a a ；当421≥a 时， 11. 若直角坐标平面内两点Q P ,满足条件：①Q P ,都在函数)(x f 图象上；②Q P ,关于原点对称，则称点对),(Q P 是函数)(x f 的一个“友好点对”（点对),(Q P 与),(P Q 看作同一个“友好点对”）.已知函数⎪⎩⎪⎨⎧≥<++=0,20,142)(2x ex x x x f x ，则)(x f 的“友好点对”有____个 2个解析：数形结合，即看0,2≥=x ey x关于原点对称函数0,2≤-=x e y x与 0,1422<++=x x x y 有几个交点。

当1-=x 时，121->-=-e y ，故有2个交点12. 已知函数321,(,1]12()111,[0,]362x x x f x x x ⎧∈⎪+⎪=⎨⎪⎪-+∈⎩，函数()⎪⎭⎫⎝⎛=x πsin a x g 622+-a (a >0)，若存在 12[0,1]x x ∈、，使得12()()f x g x =成立，则实数a 的取值范围是________14[,]23解析：即两函数在]1,0[上值域有公共部分，先求)(x f 值域]1,0[]61,0[]1,61[⇒⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=， ]232,22[)(a a x g -+-∈，故⎪⎩⎪⎨⎧≥-≤-0232122a a 13. 设()ax x x f +=2，{}{}()0,R (())0,R x f x x x f f x x =∈==∈≠∅，则满足条件的所有实数a 的取值范围为_______________04a ≤<解析：00)(=⇒=x x f 或a x -=；0)(0))((=⇒=x f x f f 或a x f -=)(，由00)(=⇒=x x f 或a x -=，则a x f -=)(即02=++a ax x 无解或根为0或a -，400<<⇒<∆a ，或0=a14.如图为函数()1)f x x <<的图象，其在点(())M t f t ，处的切线为l ，l 与y 轴和直线1=y 分别交于点P 、Q ，点N （0，1），若△PQN 的面积为b 时的点M 恰好有两个，则b 的取值范围为 .18,427⎛⎫⎪⎝⎭解析：令)2)(211(21),10(2x x x S b x x t --==<<=∆ )2)(2(412x x x --=，x x x b x g 444)(23+-== )23)(2()('--=x x x g ，273241<<b15. 已知函数42)(,4341ln )(2+-=+-=bx x x g x x x x f )2,0(1∈x ，存在]2,1[2∈x ，使)()(21x g x f ≥，则实数b 的取值范围为_______214≥b 解析：即min min )()(x g x f ≥，求导易得21)1()(min ==f x f ，)(x g 对称轴是b x =当1≤b 时，)(x g 增，492125)1()(min ≥⇒≤-==b b g x g 矛盾； 当21<<b 时，2142214)()(2min ≥>⇒≤-==b b b g x g ； 当2≥b 时，)(x g 减，8152148)2()(min ≥⇒≤-==b b g x g 2≥⇒b 16. 已知函数)(x f 定义在正整数集上，且对于任意的正整数x ，都有)1(2)2(+=+x f x f)(x f -，且6)3(,2)1(==f f ，则_______)2009(=f 4018解析：实际上是等差数列问题 17. 如果函数1)1(2131)(23+-+-=x a ax x x f 在区间)4,1(上为减函数，在),6(+∞上为增函数，则实数a 的取值范围是_________]7,5[ 解析：0)6(',0)4(',0)1('≥≤≤f f f18. 若关于x 的方程021=--a a x 有两个相异的实根，则实数a 的取值范围是____)21,0(解析：数形结合a a x 21=-，对a 分10<<a 和1>a 讨论19. 已知函数f (x )＝xx ＋a ，若函数y ＝f (x ＋2)－1为奇函数，则实数a ＝________－2解析：ax aa x x x f ++-=-+++=-+21221)2(，显然2-=a 有人说0=a 可以吗？不行！此时，)0(1)(≠=x x f ，显然y ＝f (x ＋2)－1定义域不关于原点对称！20. 已知可导函数()()f x x R ∈的导函数()f x '()()f x f x '>满足，则当0a >时，()f a 和(0)a e f （e 是自然对数的底数）大小关系为 )0()(f e a f a >解析：构造函数0)())()('()(',)()(2>-==x x x e x f x f e x F e x f x F ，)(x F 增， 21. 若对任意的D x ∈，均有)()()(21x f x f x f ≤≤成立，则称函数)(x f 为函数)(1x f 到函数)(2x f 在区间D上的“折中函数”.已知函数x x x h x g x k x f ln )1()(,0)(,1)1()(+==--=且)(x f 是)(x g 到)(x h 在区间]2,1[e 上的“折中函数”，则实数k 的值是_______2解析：即要求x x x k ln )1(1)1(0+≤--≤在]2,1[e 恒成立.对于左边：1=x 时，2≥k ，e x 2=时，ek 211+≥，故2≥k ；右边：x x x k 1ln )1(1++≤-，对右边函数求导后得增函数，则211≤⇒≤-k k ，综上，2=k22. 已知函数2ln )(x x a x f -=，若对区间（0，1）内任取两个不等的实数q p ,，不等式1)1()1(>-+-+qp q f p f 恒成立，则实数a 的取值范围是_________),10[+∞解析：0)1()1()]1()1([)]1()1([>+-++-+-+-+q p q q f p p f ，故x x f x g -=)()(是（1,2）上增函数，012)('≥--=x xax g 在（1,2）上恒成立，则x x a +≥22 23. 设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x D ∈，都有x k D +∈，且()()f x k f x +>恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数”．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||2f x x a a =--，若()f x 为R 上的“2011型增函数”，则实数a 的取值范围是 ．20116a <解析：本题类似于第24题，但由于函数不同，方法截然不同，本题对a 分正负0三种情况讨论，利用数形结合较好。