高等数学复习题
（函授专升本） 第一章 一元函数微积分概要
1、求下列各极限
① 3lim n
n n n →∞+⎛⎫
⎪⎝⎭
② 011lim sin sin x x x x x →⎛⎫+ ⎪⎝⎭ ③ 2
2060sin lim x x t dt x →⎰ 2、试解下列各题
① 设 ()
2
,y f x = 求 ,.y y '''
② 求函数 3226187y x x x =--- 的单调区间与极值。
3、求下列各积分
① 32sin 2x
x e dx ⎛⎫- ⎪⎝
⎭⎰ ②
()10
sin x x dx π⎰
第二章
微分方程
1、求下列一阶微分方程的通解或特解
① 2y x
y e
-'=，()1
02
y =-
②；sin 0,1x xy y x y π
='+-==
2、求初值问题 ()()2300,01
x
y y y e
y y -'''⎧--=⎪⎨'==⎪⎩。
3、设 ()f x 为连续函数，且满足方程 ()()20
2
1x
f t dt f x x =--⎰
，求 ()f x 。
第三章 空间解析几何与向量代数
1、试解下列各题
①已知三点()1,2,3A ，()3,4,4B ，()1,0,4C ，求同时垂直于,AB AC
的单位向量，及三角形
ABC ∆的面积；
②已知向量()(),1,2,2,2,3a k b ==-
相互垂直，求k 的值。
2、试解下列各题
① 求yoz 面上曲线2
20
z y x ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转所得的旋转曲面的方程，
3、求下列各平面的方程
① 过点()1,2,3-，且与平面239x y z +-=平行； ② 过点()0,2,3-，且与直线31
215
x y z -+==-垂直； 4、求下列直线方程
①求过点()0,2,4，且与两平面21x z +=和32y z -=均平行； ②求过点()01,1,0M -，且和直线012:
011
x y z
l -+==垂直相交。
5、求点()1,2,0-在平面210x y z +-+=上投影点的坐标。
第四章 多元函数微分学
1、求下列函数的一阶偏导数
① ()22z f x y =-； ② ()
22,xy
z f x y e =+
2、求下列隐函数的偏导数或全微分
① 设由方程23z x y z e +-=确定z 是,x y 的函数，求
,.z z x y
∂∂∂∂ ② 设由33xyz z =确定(),z x y ， 求
,.z z x y
∂∂∂∂ 3、设 (),z y u ϕ=+ 其中 ()u ϕ 可微，22,u x y =-证明：z z
y
x x x y
∂∂+=∂∂。
4、多元函数微分学的在几何上的应用
① 曲线 2
2
x y
z x
⎧=⎪⎨=⎪⎩ 在点()1,1,1处的切线与法平面方程。
② 求曲面 z xy = 平行与平面 390x y z +++= 的切平面方程。
5、求函数 3
3
3z x y xy =+- 的极值。
第五章 多元函数积分学
1、画出下列各积分区域，并改变积分次序
① ()ln 10
,e
x dx f x y dy ⎰⎰
②
()()1
23
30
1
,,y
y
dy f x y dx dy f x y dx -+⎰
⎰
⎰⎰
2、求下列二重积分
①
D
σ⎰⎰
， 其中 D 是由两条抛物线
2
y y x == 所围成闭区域。
②
1
sin x
y dx dy y
⎰
3、求由旋转抛物面 226z x y =-- 与锥面
z =
所围成立体的体积。
第六章 无穷级数
1、判定下列级数的绝对与条件收敛性
① ()31
11n
n n
n ∞
=-+∑ ②
1
1n
n ∞
=- 3、求下列幂级数的收敛半径与收敛区间 ①
()
2
1
1n
n n x n
∞
=-∑
4、求下列幂级数的和函数
① ()1222
n
n
n x x ∞=-<<∑ ②()1333
n
n
n x x n ∞
=-<<⋅∑
5、求下列函数的麦克劳林级数
① 3x
； ② ()ln 2x +；
模拟试卷
一．填空题
1．()[]=-+∞
→n n n n ln 1ln lim ；
2．设
()20
sin x
f t dt x x =⎰
，则 ()=x f ；
3．设 (
)2
2y
x f z -=，则 =∂∂+∂∂x
z y y z x ；
4．改变积分次序 ()⎰
⎰-2
32
x
x
dy y x f dx ，= ；
二．选择题（）
1．曲线 ⎪⎩⎪⎨⎧==2
2
x
z y
x 上点()111，， 处的法平面方程为（ ） ()A 0342=+--z y x ； ()B 0542=-+-z y x ； ()C 0742=-++z y x ； ()D 0142=+-+z y x 。
2．下列级数中条件收敛的级数为（ ）
()A ()∑∞
=-1
211n n
n ； ()B
()∑∞
=+-111n n
n n ， ()C ()
∑∞
=+-1
3
21n n
n ； ()D
()
∑∞
=-1
2ln 1n n n。
3．设()y x f ，在点()00y x ，的某个领域内有定义，且()00x f x y =，()00y f x y =，0，则（ ）
()A ()y x f ，在()00y x ，的连续；
()B ()y x f z ，=在()00y x ，的全微分为0； ()C ()y x f ，在()00y x ，有极值；
()
D 曲线 ()
⎩
⎨
⎧==0y y y x f z ， 在()()0000y x f y x ，，，点处有切线，且切线平行于x 轴。
三．计算题 1．求积分
()10
cos x x dx π⎰
； 2．设 0=-xyz e z ，求 z d ；
3．求通解 2
3x y y x +='； 4．求极值 ()x y x y x f 32
3
--=，；
四．求幂级数 +⋅++⋅+⋅+
n
n
n x x x x 2232223322的收敛区间及和函数。