【高考地位】数列是高中数学的重要内容,又是高中数学与高等数学的重要衔接点,其涉及的基础知识、数学思想与方法,在高等数学的学习中起着重要作用,因而成为历年高考久考不衰的热点题型,在历年的高考中都占有重要地位。

数列求和的常用方法是我们在高中数学学习中必须掌握的基本方法，是高考的必考热点之一。

此类问题中除了利用等差数列和等比数列求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。

下面，就近几年高考数学中的几个例子来谈谈数列求和的基本方法和技巧。

【方法点评】方法一 公式法解题模板：第一步 结合所求结论，寻找已知与未知的关系； 第二步 根据已知条件列方程求出未知量； 第三步 利用前n 项和公式求和结果例1.设}{n a 为等差数列，n S 为数列}{n a 的前n 项和，已知77=S ，7515=S ，n T 为数列}{nS n的前n 项和，求n T ．【评析】直接应用公式求和时，要注意公式的应用范围，如当等比数列公比为参数(字母)时，应对其公比是否为1进行讨论．常用的数列求和公式有：等差数列前n 项和公式： 11()(1)22n n n a a n n S na d +-==+． 等比数列前n 项和公式：111(1)(1)(1)11n n n na q S a q a a q q q q =⎧⎪=--⎨=≠⎪--⎩．自然数方幂和公式：1123(1)2n n n +++⋅⋅⋅+=+ 22221123(1)(21)6n n n n +++⋅⋅⋅+=++333321123[(1)]2n n n +++⋅⋅⋅+=+【变式演练1】已知{a n }是等差数列，a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，则该数列前10项和S 10等于（ ） A.64 B.100 C.110 D.120 【答案】B 【解析】试题分析：a 1+a 2=4，a 7+a 8=28，解方程组可得11,2a d == 101109101002S a d ⨯∴=+= 考点：等差数列通项公式及求和方法二 分组法解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步 巧拆分：即根据通项公式特征，将其分解为几个可以直接求和的数列； 第三步 分别求和：即分别求出各个数列的和；第四步 组合：即把拆分后每个数列的求和进行组合，可求得原数列的和. 例2. 已知数列{a n }是3＋2－1,6＋22－1,9＋23－1,12＋24－1，…，写出数列{a n }的通项公式并求其前n 项 S n.【变式演练2】在等差数列{}n a 中，45a =，711a =.设(1)nn n b a =-g ，则数列{}n b 的前100项之和100S 为（ ）A ．-200B ．-100 C.200 D ．100 【答案】D 【解析】考点：等差数列通项，分组求和 【方法点睛】分组转化法求和的常见类型(1)若a n ＝b n ±c n ，且{b n }，{c n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求{a n }的前n 项和；(2)通项公式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧b n ，n 为奇数，c n ，n 为偶数的数列，其中数列{b n }，{c n }是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.【变式演练3】已知{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，且23b =，39b =，11a b =，144a b =． （1）求{}n a 的通项公式；（2）设n n n c a b =+，求数列{}n c 的前n 项和．【答案】（1）21(1,2,3,)n a n n =-=；（2）2312n n -+．【解析】试题分析：（1）易得32933b q b ===⇒211b b q==⇒4327b b q ==⇒111a b ==，14427a b ==⇒11327d +=⇒2d =⇒21(1,2,3,)n a n n =-=；（2）由（1）知，21n a n =-13n n b -=⇒n n n c a b =+=1213n n --+ ⇒113(21)133n n S n -=+++-++++2312n n -=+． 试题解析：（1）等比数列{}n b 的公比32933b q b ===，所以211b b q==，4327b b q ==． 设等差数列{}n a 的公差为d ．因为111a b ==，14427a b ==，所以11327d +=，即2d =． 所以21(1,2,3,)n a n n =-=．（2）由（1）知，21n a n =-，13n n b -=，．因此1213n n n n c a b n -=+=-+． 从而数列{}n c 的前n 项和113(21)133n n S n -=+++-++++2(121)13312132n n n n n +---=+=+-． 考点：1、等差数列；2、等比数列．方法三 裂项相消法解题模板：第一步 定通项公式：即根据已知条件求出数列的通项公式；第二步 巧裂项：即根据通项公式特征准确裂项，将其表示为两项之差的形式； 第三步 消项求和：即把握消项的规律，准确求和. 例3. 已知数列{}n a :12,1233+,123444++,…, 123910101010+++,…,若11n n n b a a +=⋅，那么数列{}n b 的前n 项和n S 为（ ） A ．1n n + B ．41n n + C. 31nn + D ．51n n +【答案】B 【解析】考点：数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了数列的求和问题，其中解答中涉及到等差数列的前n 项和公式、数列的裂项求和的方法的知识点的综合考查，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，属于中档试题，本题的解答中，根据等差数列的求和公式得到2n a n=，进而得到n b 的通项公式是解答的关键.【变式演练4】已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5=5，S 5=15，则数列{11.n n a a +}的前100项和为（ ） A ．100101 B ．99101 C ．99100 D ．101100【答案】A 【解析】考点：数列求和。

方法四 错位相减法解题模板：第一步 巧拆分：即根据通项公式分解为等差数列和等比数列乘积的形式； 第二步 确定等差、等比数列的通项公式；第三步 构差式：即写出n S 的表达式，然后两边同时乘以等比数列的公比得到另外一个式子，两式作差；第四步 求和：根据差式的特征准确求和.例4. 已知数列{}n a ，{}n b 满足12a =，121n n n a a a +=+,1n n b a =-，0n b ≠ . （Ⅰ）求证数列1{}nb 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）令n n n bc 21=求数列{}n c 的前n 项和n T .（Ⅱ）由（Ⅰ）知,2n n n c =，∴1212222n n n T =++⋅⋅⋅+，∴2311122222n n n T +=++⋅⋅⋅+， 两式相减得：1211111(1)111122211222222212n n n n n n n n n T +++-+=++⋅⋅⋅+-=-=--， 故222n n n T +=-.【评注】利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项，再就是将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等．在应用错位相减法时，注意观察未合并项的正负号．【变式演练5】已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且122n n S +=-（*n ∈N ）. (Ⅰ) 求数列{}n a 的通项公式；(Ⅱ) 令n n b na =，求数列{}n b 的前n 项和n T . 【答案】（Ⅰ）2nn a =；（Ⅱ）1(1)22n n T n +=-+.【解析】试题分析：（Ⅰ）根据1n n n a S S -=-结合已知条件等式即可求得数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）首先根据(Ⅰ)求得n b 的通项公式，然后利用错位相减法求解即可. 试题解析：(Ⅰ)由122n n S +=-， 当1n =时，21222a =-=， 当2n ≥，122n n S -=-，则1122(22)2n n n n n n a S S +-=-=---=，当1n =时，12a =满足上式， 所以2nn a =考点：1、数列的通项公式；2、数列求和.【方法点睛】对于递推公式确定的数列的求解，通常可以通过递推公式的变换，转化为等差或等比数列问题，有时也用到一些特殊的转化方法与特殊数列，此法称为辅助数列法.常用转化方法：变换法、待定系数法、加减法、累加法、迭代法等.【变式演练6】已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且93=S ，731,,a a a 成等比数列. （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n a 的公差不为0，数列{}n b 满足nn n a b 2)1(-=，求数列{}n b 的前n 项和n T .【答案】（1）1n a n =+；（2）22)1(1+⋅-=+n n n T .【解析】试题分析：（1）由题意可知，利用93=S ，731,,a a a 成等比数列，从而可求出数列{}n a 的通项公式，数列{}n b 的通项公式可通过联立方程组求解；（2）可利用错位相减法对前n 项和进行处理进而求解.试题解析：（1）7123a a a =，即)6()2(1121d a a d a +=+，化简得121a d =或0=d . 当121a d =时，9292123231113==⨯⨯+=a a a S ，得21=a 或1=d ， ∴1)1(2)1(1+=-+=-+=n n d n a a n ，即1+=n a n ； 当0=d 时，由93=S ，得31=a ，即有3=n a . （2）由题意可知nn n b 2⋅=，∴nn n n b b b T 22221221⋅+⋅⋅⋅+⨯+⨯=+⋅⋅⋅++=①13222)1(22212+⋅+⋅-+⋅⋅⋅+⨯+⨯=n n n n n T ②，①-②得：22)1(222221132-⋅--=⋅-+⋅⋅⋅+++=-++n n nn n n T ，∴22)1(1+⋅-=+n n n T .考点：1.等差数列的综合；2.等比数列的综合；3.错位相减法的运用.方法五 倒序相加法例5.设=⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛+=1110113112111,244)(f f f f x f x x则( ) A ．4 B ． 5 C ． 6 D ． 10 【答案】B 【解析】考点：倒序相加法求和.【变式演练7】已知函数321(),().212x F x x x -=≠- （1）求122009()()()201020102010F F F +++的值；（2）已知数列11{}2,()n n n a a a F a +==满足,求证数列11n a ⎧⎫⎨⎬-⎩⎭是等差数列；（3）已知nn n b 212-=，求数列{}n n a b 的前n 项和n S . 【答案】(1) S=60272. (2)见解析；（3）n S =1242n n-+-。