2( n 1) 3 2 n 3 5 5
2 n 3 5
1 ， bn 1 4
2( n 1) 3 5
1 5 ， 4
2
2
b 1 1 5 故 bn 是首项为 b1 ，公比为 q n1 , 4 bn 4
1 的等比数列，通项为： bn 4
列，求数列 an 的通项 an ?
2 解：由已知： 10Sn +1 an +1 5an +1 6
① ②
2 10Sn an 5an 6
2 2 由① - ②： 10an1 (an 1 an ) 5(an 1 an ) 2 2 移项合并： (an 1 an ) 5(an 1 an ) 0 ，即： ( an 1 an )( an 1 an 5) 0
由于正项数列 (an 1 an ) 0 ，所以： an1 an 5 0 ，即： an1 an 5 ； 由此得到 an 是公差为 5 的等差数列 . 设： an a1 5(n 1) ，则： a3 a1 10 ， a15 a1 70 ；
1 、等差数列 an 中，前三项依次为 由等差数列公式就可以通解 . 2 、前 100 个自然数（ 1 到 100 ）中，除以 7 余 2 的所有数之和 S 是？ 解：这些数构成的数列为： an 7(n 1) 2 7n 5 ； 在 100 之内， n 的最大数 m 为： 100 7m 5 ，即 m 15 ;
2 构成等比数列，则： a3 a2 a6 ，即： (a2 d )2 a2 (a2 4d ) ；
2 2 即： a2 2a2 d d 2 a2 4a2d . 因为 d 0 ，故： d 2a2 ；
所以： q
a3 a2 d 3a2 3. a2 a2 a2
由比例中项直接列式，导出 d 与 a2 的关系 .
1 6 、已知等差数列 an 的前 n 项和 S n ，且 a1 1 , S11 33 . 设 bn ， 4
求证： bn 是等比数列，并求其前 n 项和 Tn . 证明：通项： an a1 (n 1)d ，求和公式： Sn na1

相当于裂项法 .
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23 个 典 型 的 数 列 专 题
5 、等差数列 an ，其公差不为 0 ，其中， a2 、 a3 、 a6 依次构成等比数列，求公比 q ? 解：等差数列通项： an a1 (n 1)d ，则： a3 a2 d ， a6 a2 4d ，
通项公式和求和公式都要很熟啊 . 4 、数列 an 的通项公式 an 解：通项： an 则： Sn
k 1 n
1 ，若它的前 n 项和为 Sn 9 ，求： n ? n 1 n
1 n 1 n ； n 1 n

k 1 k n 1 1 9 ，于是： n 99
an
n(n 1) d； 2 1110 2 则： S11 11 d 33 ，即： 11 55d 33 ，故： d . 2 5
2 2n 3 1 于是： an 1 (n 1) ；则： bn 5 5 4
b 1 则： n1 bn 4
2 n 3 5
.
2 n
1 5 1 n 1 q 1 1 1 4 其求和公式 ： Tn b1 1 4 n 1 q 4 1 1 3 25 4

a1 x ? y b3
7 、若 x y ，且两个数列： x, a1 , a2 , y 和 x, b1 , b2 , b3 , y 均为等差数列，求： 解：设两个等差数列的公差分别为： d1 和 (1 15) 15 5 15 765 这些数之和 S 为： S (7n 5) 7 2 k 1
余数是常数的问题要转化为等差数列问题 . 3 、在等差数列 an 中，前 n 项和为 S n . 若 a1 0 ， S16 0 ， S17 0 ， 则 S n 最大时， n ? 解：等差数列通项为： an a1 (n 1)d ，求和公式为： Sn na1 则： S16 16a1
n(n 1) d； 2
15 16 15 d 0 ，即： a1 d 0 ， a1 7d 0 ，即： a8 0 ； 2 2 17 16 S17 17a1 d 0 ，即： a1 8d 0 ，即： a9 0 . 故 S n 最大时， n 8 . 2
23 个 典 型 的 数 列 专 题
23 个典型的数列专题解答
1 5 1 , , ，求： a105 ? x 1 6x x 5 1 1 解：由等差数列中项公式得： 2 ，则： x 2 . 6x x x 1 1 5 1 5 1 1 1 首项为： a1 ； ，公差为： d x 6 x 2 12 12 x 1 3 n 3 105 3 1 n 1 n 3 则数列通项为： an a1 (n 1)d . 故： a105 9. 12 3 12 12 12
yx yx , y b3 d2 . 3 4
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23 个 典 型 的 数 列 专 题
1 ( y x) a1 x 3 4 故： y b3 1 ( y x) 3 4
利用等差数列的等差性质来求本题 .
2 8 、已知正项数列 an 的前 n 项和 S n 满足： 10Sn an 5an 6 ，且 a1 、 a3 、 a15 成等比数