x2 y 2 1 所截得的线段的中点，求直线 l 的方程． 36 9
例 9 已知椭圆 4 x2 y 2 1 及直线 y x m ．
（1）当 m 为何值时，直线与椭圆有公共点？ （2）若直线被椭圆截得的弦长为
2 10 ，求直线的方程． 5
例 10 已知椭圆
x2 y 2 1， 2
( A、 )
1 1 1 倍 B、 倍 C、 倍 D、7 倍 7 5 4 2 2 x y 1 的弦被点(4，2)平分，则这条弦所在的直线方程是（ ） 10、如果椭圆 36 9 A、 x 2 y 0 B、 x 2 y 4 0 C、 2 x 3 y 12 0 D、 x 2 y 8 0
B． ex0 a C． a ex0 D． ex0 a
例 4 已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点，过 F1 且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于 A、B 两点，若 ABF2 是正三角形，
则这个椭圆的离心率是（） A．
3 3
B．
2 3
C．
2 2
D．
3 2
）
例 5 若椭圆经过原点，且焦点为 F1（1，0） ，F2（3，0） ，则其离心率为 （ 3 2 1 1 A． B． C． D． 4 3 2 4
7 时，求椭圆的离心率 e 的取值 2
1 x2 y 2 1 的离心率为 ，则 m =（ 2 2 m 3 2
C．
）.
B．
8 3
D．
2 3
）
0 2．设 F 1 、 F2 是椭圆的两个焦点，若椭圆上存在点 P，使 F 1PF 2 120 ，则椭圆的离心率 e 的取值范围是（
A． [
3 ,1) 2
2
[补例练习] 1、已知椭圆的对称轴为坐标轴，离心率 e
2 ，短轴长为 8 5 ，求椭圆的方程． 3
）
x2 y 2 1 的左、右焦点是 F1 、 F2 ，P 是椭圆上一点，若 PF1 3 PF2 ，则 P 点到左准线的距离是（ 2、椭圆 4 3
A．2 B.4 C.6 D.8 ）
3、设 F1、F2 为椭圆 A．
x2 y 2 1 的焦点，P 是椭圆上的点， PF1 PF2 =5，则 cos F1PF2 等于（ 8 4
1 10
C．
3 5
B．
1 10
D．
3 5
）
4、设 F2 是椭圆 A． a ex0 ⑵求离心率：
x2 y 2 1(a b 0) 的右焦点，P（ x0 , y0 ）是椭圆上的点，则 PF2 =（ a 2 b2
顶点 几何 性质 范围 对称性
B1 0, b ， B2 0, b ； x ≤a ， y ≤b ；
关于 x , y 轴均对称，关于原点中心对称；
a, b, c 的关系
c a 2 b2
1
数学组 4、直线与椭圆的位置关系:
高中数学
将直线方程与椭圆方程联立组成方程组，消元后得到一个一元二次方程.根据判别式：当Δ ＝0 时，直线与椭圆相 切；当Δ ＞0 时，直线与椭圆相交；当Δ ＜0 时，直线与椭圆相离. 焦点弦长公式：直线与椭圆方程相交通过联立方程应用韦达定理来求解得：
例 6 如图 43-3，B（ c, 0 ） ，C（ c, 0 ） ， AH BC ，垂足为 H，且 BH 3HC .
（1）若 AB AC =0，求以 B、C 为焦点并且经过点 A 的椭圆的离心率；
3
数学组
高中数学
（2）D 分有向线段 AB 的比为 ，A、D 同在以 B、C 为焦点的椭圆上，当 5 范围. [补例练习] 1．若焦点在 x 轴上的椭圆 A． 3
定义
标 准 方 程
x2 y 2 椭圆 C1 ： 2 2 1 （ a b 0 ）； a b
焦点坐标
y 2 x2 椭圆 C2 ： 2 2 1 （ a b 0 ）； a b
F1 c,0 ， F2 c,0 A1 a,0 ， A2 a,0 ；
F1 0, c ， F2 0, c A1 0, a ， A2 0, a ； B1 b,0 ， B2 b,0 ； x ≤b ， y ≤a ；
B、8 C、5 )
x2 y 2 B. 1 25 9 D. x2 y 2 1 (y 0) 25 9
4、椭圆
A、5 或 3
D、6 ）
5．已知椭圆的长轴长是 8，离心率是
3 ，则此椭圆的标准方程是 （ 4
B．
A．
x2 y 2 1 16 9 x2 y 2 1 16 7
x2 y 2 y 2 x2 1或 1 16 9 16 9 x2 y 2 y 2 x2 1或 1 16 7 16 7
B． 3 C． 7
2
5
D． 4
数学组 高中数学 8、椭圆的短轴长，焦距长，长轴长组成等差数列，则此椭圆的离心率为 ( )
A.
3 3
B.
4 5
C.
3 5
D.
3 2
y 2 x2 1 的焦点为 F1 和 F2 ，点 P 在椭圆上，如果线段 PF1 的中点在 x 轴上，那么 | PF2 | 是 | PF1 | 的 9、椭圆 12 3
2
5.
椭圆上的点与两焦点构成的三角形的面积： S b tan 通径长 MN

2
.
6.
2b 2 （其中 MN 是通过焦点 F （或 F2 ) 且与长轴垂直的弦）. 1 a
2
数学组
高中数学
二、典型例题及针对练习
例 1 已知椭圆方程
x2 y 2 1 a b 0 ， 长轴端点为 A1， A2， 焦点为 F1， F2， P 是椭圆上一点， 求： F1PF2 ． a 2 b2
B． (
3 ,1) 2
C． (0,
3 ) 2
D． (0,
3 ] 2
3．点 P（-3，1）在椭圆
x2 y 2 1(a b 0) 的左准线上，过点 P 且方向为 a (2, 5) 的光线，经直线 y 2 反射 a 2 b2
） C．
后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（ A．
.
6、点与椭圆的位置关系：设点 P x0，y0 ，椭圆方程为
x2 y 2 1 ，则： a 2 b2
1 P在椭圆外 PF1 PF2 2a 2 2 x0 y0 2 1 1 P在椭圆上 PF1 PF2 2a （其中 F1、F2 为椭圆焦点）. 2 a b 1 P在椭圆内 PF PF 2a 1 2
（1）求过点 P ， 且被 P 平分的弦所在直线的方程；
4
1 1 2 2
数学组 （2）求斜率为 2 的平行弦的中点轨迹方程； （3）过 A 2， 1 引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；
高中数学
（4）椭圆上有两点 P、Q，O 为原点，且有直线 OP、OQ 斜率满足 kOP kOQ
． F1 PF2 的面积（用 a、b、 表示） ⑴求椭圆方程：
例 2 已知椭圆 mx2 3 y 2 6m 0 的一个焦点为（0，2）求 m 的值． 例 3 已知动圆 P 过定点 A 3， 0 ，并且在定圆 B： x 3 y 2 64 的内部与其相内切，求动圆圆心 P 的轨迹方程．
7、常用结论：
x0 x y0 y x2 y 2 2 1. 2 1 上，则过 P 0 的椭圆的切线方程是 2 a2 b a b 2 2 x y 2. 若 P 0 ( x0 , y0 ) 在椭圆 2 2 1 外 ，则过 Po 作椭圆的两条切线切点为 P1、P2，则切点弦 P1P2 的直线方程是 a b x0 x y0 y 2 1. a2 b
AB 1 k 2 x1 x2 ；
若 y1 , y2 分别为 A、B 的纵坐标，则 AB 1 ( ) 5、椭圆的参数方程： （补充）
1 k
2
y1 y2 .
x2 y 2 1 （ a b 0 ）的参数方程为： a 2 b2
（ 表示离心角） 如：
x2 y 2 1 的参数方程为 25 16
3 3
B．
1 3
2 2
D．
1 2
.
4．已知 m, n, m n 依次成等差数列，又 m ， n ， mn 依次成等比数列，则椭圆
x2 y 2 1 的离心率 e = m n
例 7 当 m 为何值时，直线 l：y＝x＋m 与椭圆 x2 y 2 4 相切、相交、相离？
例 8 已知 P(4,2)是直线 l 被椭圆
（）
x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 x2 y 2 1 （B） 1 （C） 1 （D） 1 25 16 25 9 16 25 9 25
)
B(4,0) ，△ABC 的周长为 18，则顶点 C 的轨迹方程是( 3、若△ABC 的两个顶点坐标 A(4,0) ，
y 2 x2 A. 1 25 9 C. y 2 x2 1 ( y 0) 25 9 x2 y 2 1 的焦距等于 2，则 m =( m 4
椭圆的第二定义——平面内，到一定点 F 与到一定直线 l 的距离之比为一常数 e，且 0 e 1 的动点的轨迹叫做 椭圆. 注：此定义中的定点即为椭圆的焦点，而定直线为对应的准线.这个地方的焦点和准线一定要对应，结合第一定 义中的，焦点坐标和准线方程，我们可以算出比值 e 就是定义中的离心率，e= 焦半径公式：椭圆上的点到椭圆焦点的距离. 焦半径 MF 【M（ x0 , y0 ）在椭圆上， F 1 、 F2 分别为左、右焦点】. 1 a ex0 , MF 2 a ex0 ； 2、 椭圆的标准方程:
C．
D．