则m等于 A.8
( B.7
) C.6 D.5
x2 y2 【解析】选A.因为椭圆 m 2 10. m 2 0， m 2 10 m，
=1的焦点在x轴上,
因为焦距为4, 所以c2=m-2-10+m=4,解得m=8.
椭圆就越圆.
2.在求焦点在x轴上椭圆的相关量的范围时,要注意应 用以下不等关系:-a≤x≤a,-b≤y≤b,0<e<1. 3.焦点三角形 椭圆上的点P与焦点F1,F2若构成三角形,则称△PF1F2为 焦点三角形.焦点三角形问题注意与椭圆定义、正弦定 理、余弦定理的联系.
【教材母题变式】
x2 y2 1.已知椭圆 =1的焦点在x轴上,焦距为4, m 2 10 m
(2)选B.设|PF1|=m,|PF2|=n, 则m2+n2=4(36-16)=80,即(m+n)2-2mn=80, 又m+n=2×6=12,所以mn=32, S△PF F 1 mn 16.
1 2
2
【巧思妙解】选B.因为PF1⊥PF2,所以△PF1F2的面积
S△PF1F2 =16×tan 45°=16.
x2 y2 x2 y2 2.曲线 =1与曲线 =1(k<144) 169 144 169 k 144 k
的
(
) B.短轴长相等 D.焦距相等
A.长轴长相等 C.离心率相等
x2 y2 【解析】选D.曲线 =1中c2=169-k 169 k 144 k
(144-k)=25,所以c=5,所以两曲线的焦距相等.
x 2 y2 (3)已知椭圆 =1上一点P到椭圆一个焦点F1的 25 16
距离为3,则P到另一个焦点F2的距离为 A.2 B.3 C.5 D.7
(
)
x2 【解析】(1)选A.因为椭圆方程为 +y2=1,所以椭圆 4
的长半轴长a=2,由椭圆的定义可得|AF1|+|AF2|=2a=4, 且|BF1|+|BF2|=2a=4,所以△ABF2的周长为|AB|+|AF2| +|BF2|=|AF1|+|BF1|+|AF2|+|BF2|=4a=8.
第六节 椭
圆
第一课时 椭圆的概念及其性质
【教材基础回顾】
1.椭圆的定义
的和 等于常数(大 (1)平面内与两个定点F1,F2的距离_____ 于|F1F2|)的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆 焦点 两焦点间的距离叫做椭圆的_____. 焦距 的_____,
(2)集合P={M||MF1|+|MF2|=2a},|F1F2|=2c,其中a,c为 常数且a>0,c>0. ①当2a>|F1F2|时,M点的轨迹为椭圆; ②当2a=|F1F2|时,M点的轨迹为线段F1F2; ③当2a<|F1F2|时,M点的轨迹不存在.
3.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m>0),则此椭圆的离心 率为 (
1 A. 3
)
3 B. 3 2 C. 2 1 D. 2
2 2 x y 【解析】选B.由题意得椭圆的标准方程为 1， m m 2 3
m ,b2= m , 3 2 2 m c 所以c2=a2-b2= ,e2= 2 1 ,e= 3 . 3 6 a 3
2ab a 2 b2
=a,整理得a2=3b2,
2 c 即a2=3(a2-c2)⇒2a2=3c2,即 2 2 ，e c 6 . a 3 a 3
【母题变式溯源】
题号
1 2 3 4
知识点
椭圆的标准方程 椭圆的几何性质 椭圆的离心率 椭圆的离心率
源自教材 P49· A组T2 P80· A组T3(1) P46· 例4 P49· A组T5
考向一
椭圆的定义及应用
x2 2 【典例1】(1)过椭圆 +y =1的左焦点F1作直线l交椭 4
圆于A,B两点,F2是椭圆右焦点,则△ABF2的周长为 ( A.8 B.4 2 C.4 D.2 2 )
2 2 x y (2)(2018·汕头模拟)若椭圆 =1上一点P与椭 36 16
圆的两个焦点F1,F2的连线互相垂直,则△PF1F2的面积 为 A.36 ( ) B.16 C.20 D.24
2.椭圆的标准方程和几何性质
图形
x 2 y2 2 1 2 ___________ a b y2 x 2 2 1 2 ___________ a b
标准方程
(a>b>0)
(a>b>0)
图形
-a a ___≤x≤__, -b b ___≤y≤__ 坐标轴 对称轴:_______ -b b ___≤x≤__, -a a ___≤y≤__ 原点 对称中心:_____
所以a2=
x 2 y2 4.(2017·全国卷Ⅲ)已知椭圆C: 2 2 =1(a>b>0)的 a b
左、右顶点分别为A1,A2,且以线段A1A2为直径的圆与直 线bx-ay+2ab=0相切,则C的离心率为
6 A. 3 3 B. 3 2 C. 3 1 D. 3
(
)
【解析】选A.直线bx-ay+2ab=0与圆相切,所以圆心到 直线的距离d=
性 质
范围
对称性
图形 (-a,0) (a,0) A1_______,A _____ 2 (0,-b) (0,b) B1_______,B _____ 2 (0,a) A1(0,-a) ______,A2______ (b,0) B1(-b,0) ______,B2______ 2b 2a 短轴B B 的长为___ 长轴A1A2的长为___, 1 2 2c |F F |=___
(3)选D.因为a2=25,所以2a=10, 所以由定义知,|PF1|+|PF2|=10, 所以|PF2|=10-|PF1|=7.
【技法点拨】 椭圆定义的应用技巧 (1)椭圆定义的应用主要有:求椭圆的标准方程,求焦点 三角形的周长、面积及弦长、最值和离心率等. (2)定义和余弦定理结合:求解关于焦点三角形的周长 和面积问题.
c (0,1) e= a ∈______
1 2
顶点
轴
焦距 离心率
【金榜状元笔记】 1.椭圆方程中的a,b,c (1)a,b,c关系:a2=b2+c2.
2 2 b c a b b 2 ,所以离心率e (2)e与 :因为e= 1 ( ) a a a a b b 越大,则 越小,椭圆就越扁;离心率e越小,则 越大, a a