大连理工大学2005硕士研究生考试试题数学分析试题及解答 一、 计算题 1、 求极限：1222 (i),lim nn n n a a na a a n →∞→∞+++=其中 解：1212222...(1)(1)limlim lim ()(1)212n n n n n n a a na n a n a aStolz n n n n +→∞→∞→∞+++++===+-+利用公式2、求极限：21lim(1)x x x e x-→∞+ 解：2222221(1)1lim (1)lim()1111(1)(1)(ln(1))1lim lim111111(())21lim 121(1)112lim (1)lim()lim()x x x xx x x x x x x x x x x x x x x x e x ee x x x x x xo e x xx x e xe e x x e x e e e-→∞→∞→∞→∞→∞-→∞→∞→∞++=+-++-+=--+-+==--+-∴+===3、证明区间（0，1）和（0，+∞）具有相同的势。

证明：构造一一对应y=arctanx 。

4、计算积分21Ddxdy y x+⎰⎰，其中D 是x=0,y=1,y=x 围成的区域 解：112022000111011ln()|ln(1)ln [(1)ln(1)(1)ln ]|2ln 2y yDdxdy dxdy x y dy y x y x y dy ydyy y y y y y ==+++=+-=++-+-+=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰5、计算第二类曲线积分：22C ydx xdyI x y--=+⎰，22:21C x y +=方向为逆时针。

解：2222220022222tan 2222cos ,[0,2)1sin 211sin cos 4cos 222113cos 22cos 2213(2)(1)812arctan 421(2)(1)2311421C x x y ydx xdy I d d x y x x x x d x dx x x x x ππθθθπθθθθθθθθ+∞+∞=-∞-∞=⎧⎪∈⎨=⎪⎩---=−−−→=-+++-+-++−−−−−→-=--++++=-⎰⎰⎰⎰⎰换元万能公式代换226426212xdx d x x ππ+∞+∞-∞-∞+=-++⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰⎰6、设a>0,b>0,证明：111b ba ab b ++⎛⎫⎛⎫≥ ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭。

证明：1111()1111(1)111()'()1[ln(1)]0()()()b b xb b bbxa a ab f x b b x a a b f b b b a a b f b b b a b a b a b f x Taylor x x x a b f x ++++-⎛⎫⎛⎫⎛⎫≥=+ ⎪ ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭⎝⎭+-⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭-⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭---⎛⎫=++-> ⎪+-⎝⎭，构造函数展开可以证明所以递增，从而得证二、 设f(x)为[a,b]上的有界可测函数，且2[,]()0,a b f x dx =⎰证明：f(x)在[a,b]上几乎处处为0。

证明：反证法，假设A={x|f(x)≠0}，那么mA>0。

122[,]1{|()},,0()0,n n n n n n a b A x f x A A A mA n mA f x dx n +∞==>=>>>⎰ 。

必然存在某个矛盾三、 设函数f(x)在开区间（0，+∞）内连续且有界，是讨论f(x)在（0，+∞）内的一致连续性。

讨论：非一致连续，构造函数：1()sin()()00,0,0,|'"|11|sinsin |.1'"211',"|'"|(21)(21)11|sin sin |1'"f x xf x f x x x x x x x x x n x x n n n n x x εδδεεδπππε=→∀>>∃>-≤-<<==-=≤++-=>显然，连续且有界。

但是在时非一致连续反证法：如果一致连续，对当取令。

当足够大的时候四、 设242,(,)(0,0)(,)0,(,)(0,0)x yx y f x y x y x y ⎧≠⎪=+⎨⎪=⎩，讨论函数的连续性和可微性。

解：1）连续性：连续24220004limlim01x x y y x y y x yy x →→→→==++2）可微性：可微00222224200002224(,0)(0,0)(0,0)lim 0(0,)(0,0)(0,0)lim 0(,)(,)(,)lim limlim11x x y x x y x x y y x y f x f f xf y f f yf x y f x y f x y x yx y x y x y x y yx x →→→→→→→→-==-==--=+++==++五、 设f(x)在（a,b ）内二次可微，求证：2()(,)()2()()"()24a b b a a b f a f f b f ξξ+-∃∈--=，满足证明：2()()()2()()'()()(),(,)2()()"(),(,)222,()()()"()22b ag x f x f x Cauchy g x g a b ag f f a x x a Lagrange b a b a b af f f b a b ag x g a f ζζζζζζξξζζζξ-=+---==+-∈----+-=∈++-=-=令，利用中值定理：利用中值定理：令=原式六、 f(x)在R 上二次可导，00"()0,,()0x R f x x R f x ∀∈>∃∈<，lim '()0,lim '()0x x f x f x αβ→-∞→+∞=<=>，证明：f(x)在R 上恰有两个零点。

证明：1111110()0lim '(),,0,'()2()()().22()()0()0"()0'()()()0(x x f x f x x x x f x x x f x f x x x f x x x f x x f x f x f x f x f x αααα→-∞→-∞>=<<<<>+--<+>→+∞>>⇒⇒< (1)先证：当的时候，所以，当的绝对值足够的时候不妨设当时，当的时候，(2)同理,当的时候，又为递增函数先单调减少，在单调递增，根据连续函数的介值定理，在00,),(,)x x -∞+∞各有一个零点七、 设函数f(x)和g(x)在[a,b]内可积，证明:对[a,b]内任意分割0111||0:...,,[,],0,1,2,....lim ()()()()n i i i i n bi i i ai a x x x b x x i f g x f x g x dxξηξη+-∆→=∆=<<<=∀∈=∆=∑⎰有证明：1||011101110()()lim ()()|()()()()||()[()()]|max{|()|}|()()|()|()()|n bi i iai n n n i i i i i i i i i i i i i n i i i iii n n i i i i i i f x g x dx f g x f g x f g x f g g x f g g x g x g g x ξξξξξηξξηξξηξηω-∆→=---===-=--===∆∆-∆=-∆≤-∆-∆≤∑⎰∑∑∑∑∑根据定义由于可积，所以11||00()lim |()()()()|0i i n n i i i i i i i i x f g x f g x ωξξξη--∆→==∆→∴∆-∆=∑∑∑，为振幅，从而得证八、 求级数：0(1)31nn n ∞=-+∑解：3130030333330011133000(1)(1)()(1,1]3131(1)()(1,1](1)()1()()'(1)()31111(1)1()13lim (31111n n n nn n nnn n n M MMn nn n nM M n x x x n n x x x x x n x x dx dx n x x x +∞∞==∞=+==+∞→+∞=--=-++-----=-=++---===-++++∑∑∑∑∑∑⎰⎰在内收敛在内一致收敛，所以可以逐项求导120211200210233)1ln(1)1()111()3136122()42ln 2121ln 2arctan |333333x dx x x x d x x d x x x x x π--++-=-+--++--=+=+⎰⎰⎰九、 讨论函数项级数222222(1)1((1))n x n x n x n e n e +∞---=--∑在(0,1)和(1,+∞)的一致收敛性讨论：22222222(1)21((1))lim()n x n x n x n n x n e n e x n e +∞----→∞=--=∑ 1） 0<x<1222lim()01,|()0|0n x n n n n x n ex S x n n-→∞==-=级数收敛，但不一致收敛。

取不趋近于，所以不一致收敛2） x>12222222222222222224lim()01()'(12)00,1,4ln ,,()n x n x x x n x n n n x n x n e xeex xeen n xn e e e e e ex N n N S x εεε-→∞-------==-<≤∴≤≤<∴∀>∀>∃=-∀><即十、 计算222x dydz ydzdx z dxdy ∑++∑⎰⎰，其中为圆锥曲面222z x y =+被平面z=0,z=2所截部分的外侧。

解：22222222222()(cos sin )(cos sin )4Vzzx dydz y dzdx z dxdy x y z dxdydzr r z rd drdzdz r dr d zdz rdr d πππθθθθθθθπ∑++=++=++=++=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰十一、设f(x)在[0,1]上单调增加,f(0)>=0,f(1)<=1,证明：3[0,1],()f ξξξ∃∈=证明：3333333333{|(),[0,1]}inf ()(),()0,()()()''0,M x f x x x m MM f m m f m m f m m r x m f x xf x f m r x m y x x x m r =≤∈==<=-∀<<>->+-=∀-+>显然非空,下证:反证法：如果命题不成立，那么显然不妨设由于是连续函数，所以，对r>0存在与单调性矛盾。