大连理工大学2000年数学分析真题 (2)大连理工大学2001年数学分析真题 (4)大连理工大学2002年数学分析真题 (6)大连理工大学2003年数学分析真题 (8)大连理工大学2004年数学分析真题 (10)大连理工大学2005年数学分析真题 (12)大连理工大学2006年数学分析真题 (14)大连理工大学2008年数学分析真题 (16)大连理工大学2009年数学分析真题 (18)大连理工大学2010年数学分析真题 (20)大连理工大学2011年数学分析真题 (22)大连理工大学2013年数学分析真题 (24)大连理工大学2014年数学分析真题 (25)大连理工大学2015年数学分析真题 (28)大连理工大学2016年数学分析真意 (30)大连理工大学2017年数学分析真题 (32)大连理工大学2000年数学分析真题一.从以下的第一到第八题中选取6题解答，每题10分 1.证明：()xx f 1=于区间()10，δ（其中0<0δ<1）一致连续，但是于（0,1）内不一致连续。
2.证明：若()x f 于[a ，b]单调，则()x f 于[a ，b]内Riemann 可积。
3.证明：Dirichlet 函数：()()⎪⎩⎪⎨⎧==有理数为无理数q px q x x f ,1,0在所有无理点连续，在有理点间断。
4.证明：若()()b a C x f ,∈，（指（a ，b ）上的连续函数，且任意()()b a ,,⊂βα，()⎰=βα0dx x f ，那么()()b a x x f ,0∈≡，。
5.证明：∑∞=-1n nx ne 于（0,+∞）不一致收敛，但是对于0>∀δ，于[)+∞,δ一致收敛。
6.证明：()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=0,00,1sin 4x x xx x f ，在0=x 处有连续的二阶导数。
7.利用重积分计算三个半长轴分别为a,b,c 的椭球体的体积。
8.计算第二类曲面积分：⎰⎰∑++zdxdy ydzdx xdydz ，其中，∑是三角形()10,,=++>z y x z y x ，，法方向与z y x ,,轴成锐角为正。
9.假设∞→=n n a a lim ，证明22lim 221a n na a a a nn n=+++∞→ 。
11.计算曲面积分⎰⎰++=Sdxdy z dzdx y dydz x I 333，S 为椭球面1222222=++cz b y a x 的外侧。
12.设()[]()⎰-==-∈>11,,3,2,111,10 n dx x C x n n ，， ，φφφ，对于任意的c>0，()x n φ在[][]1,,1,1c -上一致收敛于0。
证明：对于任意()[]1,1-∈C x g ，()()()⎰-∞→=110lim g x x g n n φ13.证明：一个严格递增函数的间断点只能是第一类间断点14.()y x f ,于()[]b a ,,⨯+∞∞-连续，()()⎰+∞∞-=dx y x f y I ,于[)b a y ,∈收敛，但是()⎰+∞∞-dx b x f ,发散，证明，()y I 于[)b a y ,∈非一致收敛。
大连理工大学2001年数学分析真题数学分析试题一.从以下的1到8题中选答6题1.证明：()2x x f =在区间[0，M]内一致连续（M 为任意正数），但是在[0,+∞]不一致连续2.证明：若()x f 在[a,b]内连续，那么()x f 在[a,b]内Riemann 可积。
3.证明：若α>1，那么广义积分dx x αsin 1⎰+∞收敛4.证明：若()x f ，()x g 为区间(a,b)上的连续函数，对任意的()()b a ,,⊂βα有：()()⎰⎰=βαβαdx x g dx x f ，那么，()()x g x f ≡于(a,b)5.证明：若∑∞=1n n a 收敛，那么∑∞=-1n nx n e a 在[0,∞)一致收敛6.已知：()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,00,2x x e x f x ，求()0f ''7.已知：()()()()⎰+-+-++=atx atx d aat x at x t x u ααψφφ212,其中，ψ和φ分别是可以求导一次和求导两次的已知函数，计算()()22222,,x t x u a t t x u ∂∂-∂∂ 8.计算，半径为R 的球的表面积二.从9到14题中选取6题9.已知：()0lim ='∞→x f x ，求证()0lim=∞→xx f x 10.证明：()dx x f a⎰+∞收敛，且()λ=+∞→x f x lim ，那么0=λ11.计算曲面积分⎰⎰++=Sdxdy z dzdx y dydz x I 333，S 为旋转椭球面1222222=++cz b y a x 的外侧12.设()[]()()()1011001,0≤≤==∈x f f f C x f ， ，，，求证()()x f x S n ''=对于任意小于1的正数δ，在区间(]δ-1,0一致收敛，但是不在(0,1)一致收敛13.设()[]()()()1011001,0≤≤==∈x f f f C x f ， ，，，求证：()0lim 1=⎰∞→dx x f n n14.证明：若()[] ,,2,1,=∈n b a C x u n ，且()∑∞=1n n b u 发散，那么()∑∞=1n n x u 不在[a,b)一致收敛一.（60分）从以下8题中选答6题，每题6分。
1.证明：若()[)+∞∈,a C x f ，且 ()x f x +∞→lim 存在，则()x f 在[)+∞,a 上一致连续。
2.证明： ()xx f 1=在[]1，δ上一致连续（δ为<1的任何正数），但在（0,1]内不一致连续。
3.讨论级数()()∑∞=2ln ln ln 1n n n n γβα的敛散性。
4.证明：若正项级数∑∞=1n n x 收敛，则∑∞=12n n x 也收敛，反之不然。
5.证明：11lim 0=⎥⎦⎤⎢⎣⎡→x x x 。
6.证明Riemann 函数在每点[]1,00∈x 的极限为零。
7.证明函数列(),,2,1122 =+=n x n xx S n ，于()+∞∞-,一致收敛。
8.证明函数列(),,2,1122 =+=n xn nxx S n ，于()+∞∞-,非一致收敛。
9.设()x f 于()+∞∞-,上有界，且()0≥''x f ，证明()x f 必为常数。
10.设()x f 在()+∞,0有定义， ()A x f x =+∞→lim ，且对任何0>x 都有()()x f x f =2，证明()A x f =。
11.设()x f 于[a,+∞)绝对可积，证明：()()uxdx x f u I asin ⎰+∞=于()+∞∞-∈,u 上一致连续。
12.设()x f 于任何有限区间可积，且()λ=+∞→x f x lim 。
证明：()⎰=+∞→xx dt t f x1limλ。
13.设()x f 单调递增，于任何有限区间可积，且()⎰=+∞→xx dt t f x1limλ，证明()λ=+∞→x f x lim。
14.计算第二型曲面积分⎰⎰++=Sdxdy z dzdx y dydz x I 222，S为球面()()()2222R c z b y a x =-+-+-的外侧。
一.（100分）以下各题为必答题，每题10分。
1.设{}n x ，{}n y 都是有界数列，证明 ()n n n n n n n y x y x +≤+∞→∞→∞→lim lim lim2.叙述下列极限的柯西收敛原理 （1）()x f ax +→lim ；（2）()x f x ∞→lim3.证明：()x x f sin =在()+∞∞-,上一致连续，但()2sin x x g =在()+∞∞-,上不一致连续。
4.设()⎪⎩⎪⎨⎧=≠=-0,00,21x x e x f x ，证明：对任何自然数n ，有()()00=n f 。
5.设()x f 在()+∞∞-,上连续，且()A x f x =+∞→lim ，证明()A dx nx f n =∞→lim 。
6.设正项级数∑∞=1n n a 收敛。
证明：对任何r>1，∑∞=1n rn a 收敛。
逆命题成立否？7.设()x f 在[a,+∞)上一致连续，且广义积分()dx x f a⎰+∞收敛，证明()0lim =+∞→x f x 。
8.证明：函数列()()() ,2,11=-=n x x x f n n 在[0,1]上一致收敛到0，但函数列()()() ,2,11=-=n x x g n n 在[0,1]上非一致收敛。
9.将()2x x f =在[0，π)上展开为正弦级数。
10.将二重积分()dxdy by ax f y x +⎰⎰≤+122化为定积分，其中a,b 是不全为零的实数。
二.（50分）从以下11-20题中选答5题，每题10分。
11.设0lim ,2,10==>∞→n n n x n x ，， 。
证明：存在无数多个下标n ，使对所有自然数k ，都有k n n x x +>。
12.设C 是一跳无重点，逐段光滑的闭曲线且坐标原点在闭曲线的内部。
计算积分⎰+-Cyx ydxxdy 22。
13.设()()0,0,>>=y x x y x f y 。
问()()()y x f y x ,lim0,0,←是否存在。
14.试确定常数a,b,c ，使得函数()22,,cz bxy axy z y x f ++=在()1,2,1-沿x 轴正向的方向导数取最大值64.15.设()x f 在[0,1]上可微，()00=f ，且()()x f x f ≤'。
证明：()[]()1,00∈=x x f ， 。
16设()x f 在区间(a,b)中有连续的导数()x f '。
证明：函数列()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡-⎪⎭⎫⎝⎛+=x f n x f n x f n 1在(a,b)中内闭一致收敛于()x f '。
17.设()x f 在[a,b]上连续，()x g 在[a,b]上可积，且()x f >0，证明()()[]()x f dx x g x f b a x nn ban ,1max lim ∈∞→=⎪⎭⎫ ⎝⎛⎰。
18.已知22π=-∞+⎰dx ex 。
计算积分xdx e x αcos 2-+∞⎰。
19.设(){}10,10,<<<<=y x y x D ，并且函数()dy dx cy bxy ax y x g ++++=222,（a,b,c,d 是常数）在D 的边界上非正，亦即()()D y x y x g ∂∈≤,0,， 。