咼考数学易错题举例解析高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却很容易被忽略。
也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。
本文通过几个例子，剖析致错原因，希望能对同学们的学习有所帮助。
加强思维的严密性训练。
•忽视等价性变形，导致错误。
x>0 y>0x + y>0xy>0，但x>1y>2与x + y>3xy >2不等价。
【例1】已知f(x)x =ax + -b，若3f(1) 0, 3 f (2) 6,求f (3)的范围。
3 a b0①错误解法由条件得b32a26②②X 2 —① 6 a15③①X 2—②得8 b2④3 33③+④得103ab43J即10—f(3)43 33333错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数f(x) ax -，其值是同时b受a和b制约的。
当a取最大(小)值时，b不一定取最大(小)值，因而整个解题思路是错误的。
f⑴ a b正确解法由题意有 b、解得：f(2)2a -21 a §[2f(2)f (1)],bj[2f(1)f(2)],f (3) 3a b 16f(2)5-f (1).16 37把f (1)和f (2)的范围代入得一f (3)3 99 3 3在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有反思性。
只有牢固地掌握基础知识，才能反思性地看问题。
•忽视隐含条件，导致结果错误。
【例2】2 2 2⑴设、是方程x 2kx k 6 0的两个实根，则(1) ( 1)的最小值是49 十亠亠(A) (B) 8 (C) 18 (D)不存在449有的学生一看到，常受选择答案(4能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
⑵ 已知(x+2) 2+ * =1,求x 2+y 2的取值范围。
8 28错解 由已知得 y 2= — 4x 2— 16x — 12，因此 x 2+y 2= — 3x 2— 16x — 12= — 3(x+ )2+338 28 28 •••当x= — 3时，x 2+y 2有最大值"3"，即x 2+y 2的取值范围是(—8 , ~3"］。
分析 没有注意x 的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。
v 2V 2事实上，由于(x+2) 2+ 4 =1(x+2) 2=1 — 4 W 1— 3< X W — 1,从而当x= — 1时x 2+y 2有最小值1。
二 x 2+y 2的取值范围是［1, 28 ］。
注意有界性：偶次方 x 2> 0，三角函数—1 < sinx < 1，指数函数a x >0，圆锥曲线有界性等。
•忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。
11【例3】已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)2+(b+ )2的最小值。
a b111 12 J 1错解(a+ )2+(b+)2=a 2+b 2+ 2 + 2 +4 > 2ab+ +4 > 4 “，ab?— +4=8,a b a b ab i ab 11• (a+ )2+(b+)2的最小值是8.a b1分析 上面的解答中，两次用到了基本不等式a 2+b 2>2ab ，第一次等号成立的条件是a=b=丄，第二次等号2思路分析本例只有一个答案正确，设了 3个陷阱，很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的关系易得:2k,k 6,(1)2 ( 1)2 2( 2)24(k2 2( 49这正是思维缺乏反思性的体现。
如果A )的诱惑，盲从附和。
原方程有两个实根 4k 24( k 6) 0 k 2 或 k 3.当k 3时，(1)2(1)的最小值是8;2 时，(1)22( 1)的最小值是18。
这时就可以作出正确选择, 只有( B )正确。
错误原因：没有注意公式a n S n S n 1成立的条件是。
因此在运用a n S n S n 1时，必须检验n 1时的情形。
即: a nS (n 1)。
(2)实数a为何值时，圆x 2 2 2ax a2 1 0与抛物线错误解法将圆X22ax a20与抛物线1x有两个公共点。
21得x2(2a 丄)x2 1 0 (x 0).因为有两个公共点，所以方程①有两个相等正根，得2a17解之得a —8 0.1成立的条件是ab= ±，显然，这两个条件是不能同时成立的。
因此，8不是最小值。
ab11 11 11 2事实上，原式=a2+b2+p +p+4=( a 2+b2)+( p +p )+4=[(a+b) 2—2ab]+[( - + - )2—一]+4a b a b a b ab1=(1 —2ab)(1+ ^^)+4 ,a ba b 1 11 1 1由ab w ( )2=—得：1 —2ab > 1 —-=—,且> 16 , > 17,2 4 2 2 a2b2a2b21 25 1•••原式> -x 17+4= (当且仅当a=b= 时，等号成立)，2 2 21 1 25• (a + — )2+ (b + — )2的最小值是—。
a b 2•不进行分类讨论，导致错误【例4】⑴已知数列a n的前n项和S n 2n 1，求a n.错误解法a n S n S n 1(2n1) (2n 11) 2n2n 12n 1错误分析显然，当n 1时，a1S1 3 21 11。
0时，圆与抛物线有两个公共点。
错误分析(如图2 — 2 — 1 ; 2— 2 —2)显然，当a正确解法 若q 1，则有S 3 3a 1, S 6 6a 1,S 9 9a 1.但印 0 ,即得S 3 S e 2S 9,与题设矛盾,要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程①有一正根、一负根；或有两个相等正根。
当方程①有一正根、一负根时，得2 解之，得 1 a 1.a 210.17 22221因此，当a 或1 a 1时，圆x y 2ax a 1 0与抛物线yx 有两个公共点。
8 21 思考题：实数a 为何值时，圆x2 y 2 2ax a 2 1 0与抛物线y 2x ， 2（1）有一个公共点；（2）有三个公共点；（3）有四个公共点；（4）没有公共点。
•以偏概全，导致错误以偏概全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现出 思维的不严密性。
整理得 q 3(2q 6 q 3 1)= 0.【例5】（1）设等比数列a n 的全n 项和为S n 若S 3S62 S9，求数列的公比q .错误解法S3S62 S9，aM1 q 3) ad q 6) a,1 q 9)由q 0得方程 2q6q 310.(2q 3 1)(q 31) 0, 4或 q 1。
2错误分析在错解中,a 1(1 q 3)a,1 6\也21 qa,1整理得 3 63q (2q q1）= 0时，应有a 1 0 和 q 在等比数列中，a 1 0是显然的，但公比 q 完全可能为1，因此, 在解题时应先讨论公比 q 1的情况，再在q 1的情况下,对式子进行整理变形。
y kx 122 22，消去 y 得(kx 1) 2x 0.整理得 k x (2k2)x1 0.y 2x11直线与抛物线仅有一个交点， 0,解得k —.所求直线为y — x 1.22错误分析此处解法共有三处错误：第一，设所求直线为 y kx 1时，没有考虑k 0与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线 的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相切 的情况，只考虑相交的情况。
原因是对于直线与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项系 数不能为零，即k 0,而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
即直线垂直x 轴，因为过点(0,1)，所以x 0,即y 轴，它正好与抛物线y 2 2x 相切。
2 2 1又依题意S3S 62S9印(1 q 3)a,1 q 6)引(1 q 9)q 3(2q 6 q 3 1 = 0 ,即33(2q1)(q1) 0,因为q3 1，所以q 1 30,所以2q1 0.解得q说明此题为 1996年全国高考文史类数学试题第 21)题, 不少考生的解法同错误解法，根据评分标准而痛失2分。
(2)求过点 (0,1)的直线，使它与抛物线 y 2 2x 仅有一个交点。
错误解法设所求的过点(0,1)的直线为ykx 1,则它与抛物线的交点为正确解法①当所求直线斜率不存在时, ②当所求直线斜率为零时，直线为y = 1平行x 轴，它正好与抛物线 y 22x只有一个交点。
③一般地，设所求的过点(0,1)的直线为y kx 1 (kkx 1 2x所求直线为y -x 1.2k2x2(2k 2)x 1 0.令0,解得k =21 综上，满足条件的直线为：y 1, x 0, y 2x 1.《章节易错训练题》1、已知集合 M = ｛直线｝ , N = ｛圆｝，贝U M A N 中元素个数是 A （集合元素的确定性）f （x ） f （y ）。
证明：f （x ）为奇函数。
（特殊与一般关系）（单调性、单调区间）（漏反函数定义域即原函数值域）(A) ( — 2 2 ,2 2 )(B) [ — 2.2 ,2 2(C) ( — ，— 2 2 ) U (2 2,+ )(D) ( — ，— 2 2 ] U [2 , 2 ,+ )12、若 x > 0 , y > 0 且 x+2y=1，那么 2x+3y 2的最小值为B （隐含条件）号） (A ) (4,)(B )4,(C )( ,4)( D),45、若不等式x 2— log 1ax<0 在(0, ）内恒成立，则实数 a 的取值范围是 A （等号）1 (A) [16,1) (B) (1, +)1 (C)(16 ,1)1(D) § ,1) U (1,2)6、若不等式 (—1)n a(—1)n +<2 + (n1 对于任意正整数 n 恒成立，则实数 a 的取值范围是A （等号3333(A) [ — 2 ,2 )(B)(— 2, 2 )(C) [ — 3, )(D) ( — 3 ,㊁)4、命题A: a ） v 0,若A 是B 的充分不必要条件，则)7、已知定义在实数集 R 上的函数f （x ）满足：f ⑴1 ;当x 0时，f （x ） 0 ;对于任意11、函数 f (x) = log 1 (x 2 + a x + 2) 2值域为R ，则实数 a 的取值范围是 D （正确使用0和厶＜0）(A) 2（B ）3(D) 0(A)(B) 0 或 1(C) 0 或 2 (D) 0 或 1 或 22、已知 A = {x | x 2 + tx + 1 = 0 }，若 A A R * =，则实数 t 集合T =。