佛山市普通高中高三教学质量检测（一）
数 学 (理科)
本试卷共4页,21小题,满分150分.考试用时120分钟.
注意事项：
1.答卷前,考生要务必填写答题卷上密封线内的有关项目.
2.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答案代号填在答题卷对应的空格内.
3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷各题目指定区域内；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.
4.请考生保持答题卷的整洁.考试结束后，将答题卷和答题卡交回.
参考公式: 圆台侧面积公式：()S r r l π'=+.
一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,满分40分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1．已知集合{}{}1,0,,01A a B x x =-=<<，若A
B ≠∅，则实数a 的取值范围是 A ．(,0)-∞ B ．(0,1)
C ．{}1
D ．(1,)+∞ 2．已知向量(1,1),2(4,2)=+=a a b ，则向量,a b 的夹角的余弦值为
A ．
31010 B ．31010
- C ．22 D ．22- 3．在等差数列{}n a 中，首项10,a =公差0d ≠，若1237k a a a a a =++++，则k = A ．22 B ．23
C ．24
D ．25
4．若一个圆台的的正视图如图所示，则其侧面积．．．
等于 A ．6 B ．6π
C ．35π
D ．65π
5．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数(2i)(1+i)z a =-
在复平面内对应的点为M ，则“a =1”是“点M 在第四象限”的
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
第4题图
6．函数cos ()sin ()y x x ππ22=+-+44的最小正周期为 A ．4π B ．2
π C ．π D ．2π 7．已知函数2221,0()21,0
x x x f x x x x ⎧+-≥=⎨--<⎩，则对任意12,x x R ∈，若120x x <<，下列不
等式成立的是
A. 12()()0f x f x +<
B. 12()()0f x f x +>
C. 12()()0f x f x ->
D. 12()()0f x f x -<
8．已知双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>与抛物线28y x =有一个公共的焦点F ，且两曲线的一个交点为P ，若5PF =，则双曲线的渐近线方程为
A ．30x y ±=
B ．30x y ±=
C ．20x y ±=
D ．20x y ±=
二、填空题:本大共7小题,考生作答6小题,每小题5分，满分30分）
(一)必做题(9～13题)
9. 某校高中年级开设了丰富多彩的校本课程，甲、乙两班各
随机抽取了5名学生的学分，用茎叶图表示（如右图）.
1s ，2s 分别表示甲、乙两班抽取的5名学生学分的标准差，
则1s 2s .（填“>”、“<”或“＝”）.
10. 如果1()n x x
展开式中，第四项与第六项的系数相等， 则n = ，展开式中的常数项的值等于 .
11. 已知直线22x y +=与x 轴，y 轴分别交于,A B 两点，
若动点(,)P a b 在线段AB 上，则ab 的最大值为__________.
12. 某程序框图如图所示，该程序运行后输出的的值是 ．
13．若点P 在直线03:1=++y x l 上，过点P 的直线2l
与曲线22
:(5)16C x y -+=只有一个公共点M ，
则PM 的最小值为__________. (二)选做题(14～15题,考生只能从中选做一题) 14．（坐标系与参数方程）在平面直角坐标系xOy 中，点P 的直角坐标为(1,3)-.若以原点O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，则点P 的极坐标可以是 ．
S 第12题图
第9题图
15．（几何证明选讲）如图，在ABC ∆中， DE //BC ，
EF //CD ，若3,2,1BC DE DF ===，
则AB 的长为___________．
三、解答题:本大题共6小题,满分80分,解答须
写出文字说明、证明过程或演算步骤.
16．（本题满分12分）
在ABC ∆中，已知45A =，
4cos 5
B =. (Ⅰ)求cos
C 的值；
(Ⅱ)若10,BC D =为AB 的中点，求CD 的长.
17．（本题满分14分）
某班同学利用国庆节进行社会实践，对[25,55]岁的人群随机抽取n 人进行了一次生活习惯是否符合低碳观念的调查，若生活习惯符合低碳观念的称为“低碳族”，否则称为“非低碳族”，得到如下统计表和各年龄段人数频率分布直方图：
（Ⅰ）补全频率分布直方图并求n 、a 、p 的值；
（Ⅱ）从[40,50)岁年龄段的“低碳族”中采用分层抽样法抽取18人参加户外低碳体验活动，其中选取3人作为领队，记选取的3名领队中年龄在[40,45)岁的人数为X ，求X 的分布列和期望EX .
18．（本题满分12分）
第15题图
设数列{}n a 是首项为()a a 11>0，公差为2的等差数列，其前n 项和为n S ，且123,,S S S 成等差数列.
（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）记2n n n a b =
的前n 项和为n T ，求n T .
19．（本题满分14分）
如图，已知E ，F 分别是正方形ABCD 边BC 、CD 的中点，EF 与AC 交于点O ， PA 、NC 都垂直于平面ABCD ，且4PA AB ==，
2NC =，M 是线段PA 上一动点．
（Ⅰ）求证：平面PAC ⊥平面NEF ；
（Ⅱ）若//PC 平面MEF ，试求:PM MA 的值；
（Ⅲ）当M 是PA 中点时，
求二面角M EF N --的余弦值．
20．（本题满分14分） 已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b
+=>>的离心率为3e =，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线20x y -+=相切，,A B 分别是椭圆的左右两个顶点， P 为椭圆C 上的动点.
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）若P 与,A B 均不重合，设直线PA 与PB 的斜率分别为12,k k ，证明：12k k 为定值；
（Ⅲ）M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，若
OP OM λ=，求点M 的轨迹方程，
并说明轨迹是什么曲线．
21．（本题满分14分）
已知三次函数()()32,,f x ax bx cx a b c R =++∈. （Ⅰ）若函数()f x 过点(1,2)-且在点()()
1,1f 处的切线方程为20y +=，求函数()f x 的解析式；
第19题图
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，若对于区间[]3,2-上任意两个自变量的值12,x x 都有12()()f x f x t -≤，求实数t 的最小值；
（Ⅲ）当11x -≤≤时，1)(≤'x f ，试求a 的最大值，并求a 取得最大值时()f x 的表达式.。