松江区2016学年度第一学期高三期末考试数 学 试 卷（满分150分，完卷时间120分钟） 2017.1一．填空题（本大题满分54分）本大题共有12题，考生必须在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，第1～6题每个空格填对得4分，第7～12题每个空格填对得5分，否则一律得零分．1．设集合2{|}M x x x ==，{|lg 0}N x x =≤，则M N =I ▲． 2．已知a b R ∈、，是虚数单位，若2a i bi +=-，则 2()a bi += ▲ ． 3．已知函数()1xf x a =-的图像经过(1,1)点，则1(3)f -= ▲ ．4．不等式10x x ->的解集为 ▲ ．5．已知向量(sin ,cos )a x x =r , (sin ,sin )b x x =r ,则函数()f x a b =⋅r r的最小正周期为___▲ ．6．里约奥运会游泳小组赛采用抽签方法决定运动员比赛的泳道．在由2名中国运动员和6名外国运动员组成的小组中，2名中国运动员恰好抽在相邻泳道的概率为 ▲ ． 7．按下图所示的程序框图运算：若输入17=x ，则输出的值是 ▲ ．8．设230123(1)n nn x a a x a x a x a x +=+++++L ，若2313a a =，则n = ▲ ． 9．已知圆锥底面半径与球的半径都是1cm ，如果圆锥的体积与球的体积恰好也相等，那么这个圆锥的侧面积是 ▲ 2cm ．10．设(,)P x y 是曲线22:1259x y C +=上的点，12(4,0),(4,0)F F -，则12||||PF PF +的最大值= ▲ ．11．已知函数24313()283xx x x f x x ⎧⎪-+-≤≤=⎨->⎪⎩，若()()F x f x kx =-在其定义域内有3个零点，则实数k ∈ ▲ ．12．已知数列{}n a 满足11a =，23a =，若*12()n n n a a n N +-=∈，且21{}n a -是递增数列、2{}n a 是递减数列，则212limn n na a -→+∞= ▲ ．二、选择题(本大题满分20分)本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分. 13．已知a b R ∈、，则“0ab >”是“2b aa b+>”的 .A 充分非必要条件 .B 必要非充分条件 .C 充要条件 .D 既非充分也非必要条件14．如图，在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，点P 在截面1A DB 上，则线段AP 的最小值等于.A 13.B12.C33 .D 2215．若矩阵11122122a a a a ⎛⎫⎪⎝⎭ 满足：11122122,,,{0,1},a a a a ∈且111221220a a a a ＝　，则这样的互不相等的矩阵共有.A 2个 .B 6个 .C 8个 .D 10个16. 解不等式11()022x x -+>时，可构造函数1()()2xf x x =-，由()f x 在x R ∈是减函数，及()(1)f x f >，可得1x <．用类似的方法可求得不等式0arcsin arcsin 362>+++x x x x 的解集为.A (0,1] .B (1,1)- .C (1,1]- .D (1,0)-三．解答题（本大题满分76分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．17．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分如图，在正四棱锥P ABCD -中，PA AB a ==，E 是棱PC 的中点．（1）求证：PC BD ⊥；（2）求直线BE 与PA 所成角的余弦值．ECDBAP18．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分已知函数21()(21x x a f x a ⋅-=+为实数． （1）根据的不同取值，讨论函数)(x f y =的奇偶性，并说明理由； （2）若对任意的1x ≥ ，都有1()3f x ≤≤，求的取值范围.19．（本题满分14分）上海市松江区天马山上的“护珠塔”因其倾斜度超过意大利的比萨斜塔而号称“世界第一斜塔”．兴趣小组同学实施如下方案来测量塔的倾斜度和塔高：如图，记O 点为塔基、P 点为塔尖、点P 在地面上的射影为点H ．在塔身OP 射影所在直线上选点A ，使仰角45HAP ︒∠=，过O 点与OA 成120︒的地面上选B 点，使仰角45HBP ︒∠=（点A 、B 、O 都在同一水平面上），此时测得27OAB ∠=o，A 与B 之间距离为33.6米．试求： （1）塔高（即线段PH 的长，精确到0.1米）； （2）塔身的倾斜度（即PO 与PH 的夹角，精确到0.1o）.20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分已知双曲线2222:1x y C a b-=经过点(2,3)，两条渐近线的夹角为60︒，直线交双曲线于A 、B 两点．（1）求双曲线C 的方程；（2）若过原点，P 为双曲线上异于A 、B 的一点，且直线PA 、PB 的斜率PA k 、PB k 均存在，求证：PA PB k k ⋅为定值；（3）若过双曲线的右焦点1F ，是否存在轴上的点(, 0)M m ，使得直线绕点1F 无论怎样转动，都有0MA MB ⋅=u u u r u u u r成立？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由．120°H PBOA21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分如果一个数列从第项起，每一项与它前一项的差都大于，则称这个数列为“H 型数列” ． （1）若数列{}n a 为“H 型数列”，且113a m =-，21a m=，34a =，求实数m 的取值范围； （2）是否存在首项为的等差数列{}n a 为“H 型数列”，且其前项和n S 满足2*()n S n n n N <+∈？若存在，请求出{}n a 的通项公式；若不存在，请说明理由．（3）已知等比数列{}n a 的每一项均为正整数，且{}n a 为“H 型数列”，23n n b a =，5(1)2nn n a c n -=+⋅，当数列{}n b 不是“H 型数列”时，试判断数列{}n c 是否为“H 型数列”，并说明理由．松江区2016学年度第一学期高三期末考试数学试卷（参考答案）2017.1一．填空题（本大题共54分）第1～6题每个空格填对得4分，第7～5题每个空格填对得5分1． {}1 2．34i - 3． 4．(0,1)(1,)+∞U 5．π 6．147． 143 8．11 9．17π 10．1011 ．3(0,)3 12．12-二、选择题 （每小题5分，共20分） 13． B 14．C 15. D 16．A三．解答题（共76分）17． 解: （1）证明：∵四边形ABCD 为正方形，且PA AB a == ∴,PBC PDC ∆∆都是等边三角形 ………………2分 ∵E 是棱PC 的中点，∴,BE PC DE PC ⊥⊥，又 BE DE E =I∴PC ⊥平面BDE ………………5分又BD ⊂平面BDE ∴PC BD ⊥ ………………6分 （2）连接AC ，交BD 于点O ，连OE ．四边形ABCD 为正方形，∴O 是AC 的中点………………8分 又E 是PC 的中点∴OE 为△ACP 的中位线，∴//AP OE∴∠BOE 即为BE 与PA 所成的角 ……………………10分在Rt △BOE 中，32BE a =，12EO PA a ==……12分 ∴3cos 3OE BOE BE ∠==……………………14分 18．解：（1）函数)(x f y =的定义域为R ，且212()2112x xx xa a f x --⋅---==++ ……………2分①若)(x f y =是偶函数，则对任意的都有()()f x f x =- ，即 2122112x x x xa a ⋅--=++ 即2(1)1xa a +=+ ∴1a =- ……………3分 ②若)(x f y =是奇函数，则对任意的都有()()f x f x =-- ，即 2122112x x x xa a ⋅--=-++ 即2(1)1xa a -=- ∴1a = ……………4分 ∴当1a =-时，()f x 为偶函数，当1a =时，()f x 为奇函数，当1a ≠±时，()f x 既非偶函数也非奇函数 ……………6分（2）由()1f x ≥ 可得 2121x xa +≤⋅- 即 212x a ≤- ……………8分∵当1x ≥时，122xy =单调递减，其最大值为1 ∴2a ≥ ……………10分 同理，由()3f x ≤ 可得 21323x xa ⋅-≤⋅+ 即 432x a -≤∵当 1x ≥时，142x y = 单调递减，且无限趋近于0，∴3a ≤……………13分∴23a ≤≤ ………………………14分19. 解：(1)设塔高,PH x =由题意知，45,45HAP HBP ∠=∠=o o, 所以,PAH PBH ∆∆均为等腰直角三角形∴AH BH x == ……………2分在AHB ∆中，AH BH x == ，27HAB ∠=o，36.6AB =∴16.8218.86cos cos 27ABx HAB ===∠︒……………6分(2)在BOH ∆中，120BOH ∠=o，1801202276OBH ∠=︒--⨯︒=︒o，18.86BH = ， 由sin sin OH BH OBH BOH=∠∠ ， 得18.86sin 6 2.28sin120OH ⨯︒==︒……………10分∴ 2.28arctan arctan 6.8918.86OH OPH PH ∠===︒……………13分所以塔高18.9米，塔的倾斜度为6.9o。

……………14分20. 解：（1）由题意得 224913a b b a⎧-=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ……………2分解得 2213a b ⎧=⎨=⎩……………3分∴双曲线C 的方程为221.3y x -=...............4分 （2）证明：设A 点坐标为00(,)A x y ，则由对称性知B 点坐标为00(,)B x y -- (5)分设(,)P x y ，则2200022000PA PBy y y y y y k k x x x x x x -+-⋅=⋅=-+-……………7分 2200221313y x y x ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 得2222003()y y x x -=- ……………8分 120°HB POA所以22223PA PB y y k k x x -⋅==-……………10分 （3）当直线的斜率存在时，设直线方程为(2)y k x =-，与双曲线方程联立消y 得0344)3(2222=++--k x k x k ，∴2300k ⎧-≠⎨∆>⎩ 得 23k ≠ 且 2122212243433k x x k k x x k ⎧+=⎪⎪-⎨+⎪⋅=⎪-⎩……………12分 设11(,)A x y 、22(,)Bx y ∵1212()()MA MB x m x m y y ⋅=--+u u u r u u u r212122222121222222222()()(2)(2)(1)(2)()4(1)(43)4(2)433x m x m k x x k x x k m x x m kk k k k m m kk k =--+--=+-+++++++=-++--2223(45)3m k m k -+=+- ……………………14分 假设存在实数m ，使得0MA MB ⋅=u u u r u u ur ，故得2223(1)(45)0m k m m -+--=对任意的23k ≠恒成立，∴2210450m m m ⎧-=⎪⎨--=⎪⎩，解得 1.m =-∴当1m =-时，0MP MQ ⋅=u u u r u u u u r.当直线l 的斜率不存在时，由(2,3),(2,3)P Q -及(1,0)M -知结论也成立综上，存在1m =-，使得0MA MB ⋅=u u u r u u u r. …………………………………16分23． 解：（1）由题意得2132a a -=>， ………………1分32142a a m -=->， 即 12120m m m--=>，………………3分 解不等式得 1(,0)(,)2m ∈-∞+∞U ； …………………4分（2）假设存在等差数列{}n a 符合要求，设公差为d ，则2d >，由 11a =，得 (1)2n n n S n d -=+， …………………5分由题意得：2(1)2n n n d n n -+<+对n N *∈均成立， 即：21n d n <-对n N *∈均成立， …………………7分因为222211n n n =+>--，且2lim 21n nn →∞=-，所以2d ≤，与2d >矛盾， 因此，这样的等差数列{}n a 不存在． …………………10分（3）设数列{}n a 的公比为，则11n n a a q -=，因{}n a 的每一项均为正整数，且1(1)20n n n n n a a a q a a q +-=-=->>，所以10a >，且1q >， 因111()n n n n n n a a q a a a a +---=->-， 即：在1{}n n a a --中，“21a a -”为最小项，同理，在1{}n n b b --中，“21b b -”为最小项， …………………11分由{}n a 为“H 型数列”，可知只需212a a ->， 即 1(1)2a q ->，又因为{}n b 不是“H -数列”， 且“21b b -”为最小项，所以212b b -≤， 即1(1)3a q -≤，由数列{}n a 的每一项均为正整数，可得 1(1)3a q -=，所以11,4a q ==或13,2a q ==， …………………12分1)当11,4a q ==时，14n n a -=， 则13542(1)21n n n n c n n -+-==+⋅+， 令*1()n n n d c c n N +=-∈，则43322221(1)(2)n n n n nd n n n n +++=-=⋅++++， 令*1()n n n e d d n N +=-∈，则43122(2)(3)(1)(2)n n n n n e n n n n +++=⋅-⋅++++322202(1)(3)n n n n n n +++=⋅>+++， 所以{}n d 为递增数列， 即 121n n n d d d d -->>>>L ，即 111221n n n n n n c c c c c c c c +---->->->>-L ， 因为213288233c c -=-=>，所以，对任意的*n N ∈都有12n n c c +->， 即数列{}n c 为“H 型数列”； …………………16分2)当13,2a q ==时，132n n a -=⋅，则153248(1)21n n n c n n --⋅==+⋅+，显然，{}n c 为递减数列，2102c c -<≤，故数列{}n c 不是“H 型数列”；综上：当14n n a -=时，数列{}n c 为“H 型数列”，当132n n a -=⋅时，数列{}n c 不是“H 型数列” ．…………………18分。