2017-2018学年江苏省盐城中学高三（上）期末数学试卷一、填空题1．（3分）已知集合A={﹣1，2，3，4}，B={x|﹣2≤x≤3}则A∩B=．2．（3分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是．3．（3分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距为．4．（3分）某校对全校1200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容易为200的样本，已知女生抽了95人，则该校的男生数是．5．（3分）运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为．6．（3分）将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，则两次向上点数之和不小于10的概率为．7．（3分）在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7=9，则其前9项和S9的值为．8．（3分）若，则a+b的最小值是．9．（3分）已知椭圆与圆，若椭圆C1上存在点P，由点P向圆C2所作的两条切线PA，PB且∠APB=60°，则椭圆C1的离心率的取值范围是．10．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β11．（3分）已知，且sin（α+β）=cosα，则tan（α+β）=．12．（3分）已知函数f（x）=x+lnx﹣，其中e为自然对数的底数，若函数f（x）与g（x）的图象恰有一个公共点，则实数m的取值范围是．13．（3分）已知函数f（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是．14．（3分）已知△ABC的周长为6，且BC，CA，AB成等比数列，则的取值范围是．二、解答题15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，△ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD上的点．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面EAC⊥平面PCD．16．如图，在，点D在边AB上AD=DC，DE⊥AC，E为垂足．（1）若△BCD的面积为，求CD的长；（2）若，求角A的大小．17．我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC 上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x 米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．18．给定椭圆，称圆为椭圆C的“伴随圆”．已知点A（2，1）是椭圆G：x2+4y2=m上的点．（1）若过点的直线l与椭圆G有且只有一个公共点，求l被椭圆G 的伴随圆G1所截得的弦长：（2）B，C是椭圆G上的两点，设k1，k2是直线AB，AC的斜率，且满足4k1•k2=﹣1，试问：直线B，C是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由．19．已经函数f（x）=（x2﹣3x+3）e x的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）求证m＜n；（3）若不等式（为k正整数）对任意正实数x恒成立，求k的最大值．（解答过程可参考使用以下数据ln7≈1.95，ln8≈2.08）20．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，其中n∈N*，λ，μ为非零常数．（1）若λ=3，μ=8，求证：{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是公差不等于零的等差数列．①求实数λ，μ的值；②数列{a n}的前n项和S n构成数列{S n}，从{S n}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列．试问：是否存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．三、附加题21．已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），圆C的参数方程是（θ为参数），直线l与圆交于两个不同的点A，B，点P 在圆C上运动，求△PAB的面积的最大值．23．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．2017-2018学年江苏省盐城中学高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、填空题1．（3分）已知集合A={﹣1，2，3，4}，B={x|﹣2≤x≤3}则A∩B={﹣1，2，3} ．【解答】解：∵集合A={﹣1，2，3，4}，B={x|﹣2≤x≤3}，∴A∩B={﹣1，2，3}．故答案为：{﹣1，2，3}．2．（3分）复数z=（1+2i）（3﹣i），其中i为虚数单位，则z的实部是5．【解答】解：z=（1+2i）（3﹣i）=5+5i，则z的实部是5，故答案为：5．3．（3分）在平面直角坐标系xOy中，双曲线的焦距为10．【解答】解：双曲线，则a2=16，b2=9，∴c2=a2+b2=16+9=25，∴c=5，∴2c=10，故答案为：104．（3分）某校对全校1200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容易为200的样本，已知女生抽了95人，则该校的男生数是630．【解答】解：某校对全校1200名男女学生进行健康调查，采用分层抽样法抽取一个容易为200的样本，设该校的男生数为x，∵女生抽了95人，∴，解得x=630．∴该校的男生数为630．故答案为：630．5．（3分）运行如图所示的伪代码，则输出的结果S为9．【解答】解：模拟程序运行，可得S=1，I=1满足条件I＜5，S=3，I=2满足条件I＜5，S=5，I=3满足条件I＜5，S=7，I=4满足条件I＜5，S=9，I=5不满足条件I＜5，退出循环，输出S的值为9．故答案为：9．6．（3分）将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，则两次向上点数之和不小于10的概率为．【解答】解：将一枚质地均匀的骰子连续抛掷两次，向上的点数的情况有62=36种，其中点数和不小于10的情况有：4+6，6+4，5+5，5+6，6+5，6+6，共6种，故两次向上点数之和不小于10的概率为=，故答案为：．7．（3分）在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7=9，则其前9项和S9的值为27．【解答】解：在等差数列{a n}中，若a3+a5+a7=9，故有3a5 =9，a5 =3．则其前9项和S9==9a5 =27，故答案为27．8．（3分）若，则a+b的最小值是9．【解答】解：∵，∴=，a+4b＞0，ab＞0．∴=，即a+4b=ab．且a，b＞0．∴+=1，∴a+b=（a+b）=5++≥5+2=9，当且仅当a=2b=6时取等号．则a+b的最小值是9．故答案为：9．9．（3分）已知椭圆与圆，若椭圆C1上存在点P，由点P向圆C2所作的两条切线PA，PB且∠APB=60°，则椭圆C1的离心率的取值范围是[，1）．【解答】解：连接OA，OB，OP，如图所示；依题意知，O、P、A、B四点共圆，∵∠BPA=60°，∠APO=∠BPO=，在直角三角形OAP中，∠AOP=，∴cos∠AOP==，∴|OP|==2b，∴b＜|OP|≤a，∴2b≤a，∴4b2≤a2，即4（a2﹣c2）≤a2，∴3a2≤4c2，即≥，∴≥；又0＜e＜1，∴≤e＜1，∴椭圆C1的离心率取值范围是[，1）．故答案为：[，1）．10．（3分）设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的序号是①②．①若m⊥α，n∥α，则m⊥n②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ③若α⊥β，α⊥γ，则β⊥γ；④若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α∥β【解答】解：由m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，知：在①中，若m⊥α，n∥α，则由线面垂直的性质得m⊥n，故①正确；在②中，若α∥β，β∥γ，则由面面平行的判定定理得α∥γ，又m⊥α，则由线面垂直的判定定理得m⊥γ，故②正确；在③中，若α⊥β，α⊥γ，则β与γ相交或平行，故③错误；在④中，若α∩γ=m，β∩γ=n，m∥n，则α与β相交或平行，故④错误．故答案为：①②．11．（3分）已知，且sin（α+β）=cosα，则tan（α+β）=﹣2．【解答】解：∵sinβ=，＜β＜π，∴cosβ=﹣=﹣，又sin（α+β）=cosα=cos[（α+β）﹣β]=cos（α+β）cosβ+sin（α+β）sinβ=﹣cos（α+β）+sin（α+β），∴sin（α+β）=﹣cos（α+β），∴tan（α+β）=﹣2．故答案为：﹣2．12．（3分）已知函数f（x）=x+lnx﹣，其中e为自然对数的底数，若函数f（x）与g（x）的图象恰有一个公共点，则实数m的取值范围是m ≥0或m=．【解答】解：若函数f（x）与g（x）的图象恰有一个公共点，则x+lnx﹣有且只有一个根，即有且只有一个根，令h（x）=，则h′（x）=2x+lnx+1﹣，令h′（x）=0，则x=，当x∈（0，）时，h′（x）＜0，h（x）为减函数；当x∈（，+∞）时，h′（x）＞0，h（x）为增函数；故当x=时，h（x）取最小值，又由=0，=+∞，故当m≥0或m=时满足条件，故答案为：m≥0或m=．13．（3分）已知函数f（x）=x2+（1﹣a）x﹣a，若关于x的不等式f（f（x））＜0的解集为空集，则实数a的取值范围是[﹣3，2] ．【解答】解：f（x）=x2+（1﹣a）x﹣a=（x+1）（x﹣a）=（x+）2﹣a﹣，其值域为[﹣a﹣，+∞）由f（f（x））＜0，即f（x）2+（1﹣a）f（x））﹣a=（f（x）+1）（f（x）﹣a）＜0，当a≤﹣1时，（f（x）+1）（f（x）﹣a）＜0的解集为（a，﹣1）要使不等式f（f（x））＜0的解集为空集，则﹣a﹣≥﹣1，解得：﹣3≤a≤1∴﹣3≤a≤﹣1．当a＞﹣1时，（f（x）+1）（f（x）﹣a）＜0的解集为（﹣1，a）要使不等式f（f（x））＜0的解集为空集，则﹣a﹣≥a，解得：﹣3≤a≤2∴﹣1＜a≤2．综上可得实数a的取值范围是：﹣3≤a≤2．故答案为：[﹣3，2]14．（3分）已知△ABC的周长为6，且BC，CA，AB成等比数列，则的取值范围是．【解答】解：△ABC的边长为a，b，c，周长为6，所以a+b+c=6，且BC，CA，AB成等比数列，所以b2=ac，所以：，解得：0＜b≤2．根据三角形的三边长a﹣c＜b，所以：（a﹣c）2＜b2，整理得：b2＞（a+c）2﹣4ac由于a+b+c=6，b2=ac，则b2+3b﹣9＞0，解得：．所以=accosB，=，=，=，=﹣（b+3）2+27，由于，所以：，故答案为：二、解答题15．如图，在四棱锥P﹣ABCD中，PC⊥底面ABCD，AD∥BC，AD=2BC=2，△ABC 是以AC为斜边的等腰直角三角形，E是PD上的点．求证：（1）AD∥平面PBC；（2）平面EAC⊥平面PCD．【解答】证明：（1）∵AD∥BC，BC⊂平面PBC，AD⊄平面PBC，∴AD∥平面PBC．解：（2）∵PC⊥底面ABCD，AC⊂底面ABCD，∴PC⊥AC由题意可知，AD∥BC，且AD=2BC=2，△ABC是等腰直角三角形，∴，∴CD2+AC2=AD2，即AC⊥CD又∵PC∩CD=C，∴AC⊥平面PCD，∵AC⊂平面EAC，∴平面EAC⊥平面PCD．16．如图，在，点D在边AB上AD=DC，DE⊥AC，E为垂足．（1）若△BCD的面积为，求CD的长；（2）若，求角A的大小．【解答】解：（1）由已知在，得，又，∴．在△BCD中，由余弦定理得：，∴．（2）在△CDE中，∵AD=DC，∴A=∠DCE，∴，在△BCD中，又∠BDC=2A，得，，∴，解得：，所以．17．我校为进行“阳光运动一小时”活动，计划在一块直角三角形ABC的空地上修建一个占地面积为S（平方米）的矩形AMPN健身场地．如图，点M在AC 上，点N在AB上，且P点在斜边BC上．已知∠ACB=60°，|AC|=30米，|AM|=x 米，x∈[10，20]．设矩形AMPN健身场地每平方米的造价为元，再把矩形AMPN以外（阴影部分）铺上草坪，每平方米的造价为元（k为正常数）．（1）试用x表示S，并求S的取值范围；（2）求总造价T关于面积S的函数T=f（S）；（3）如何选取|AM|，使总造价T最低（不要求求出最低造价）．【解答】解：（1）在Rt△PMC中，显然|MC|=30﹣x，∠PCM=60°，∴，矩形AMPN的面积，x∈[10，20]，由x（30﹣x）≤（）2=225，当x=15时，可得最大值为225，当x=10或20时，取得最小值200，于是为所求．（2）矩形AMPN健身场地造价T1=，又△ABC的面积为，即草坪造价T2=，由总造价T=T1+T2，∴，．（3）∵，当且仅当即时等号成立，此时，解得x=12或x=18，答：选取|AM|的长为12米或18米时总造价T最低．18．给定椭圆，称圆为椭圆C的“伴随圆”．已知点A（2，1）是椭圆G：x2+4y2=m上的点．（1）若过点的直线l与椭圆G有且只有一个公共点，求l被椭圆G 的伴随圆G1所截得的弦长：（2）B，C是椭圆G上的两点，设k1，k2是直线AB，AC的斜率，且满足4k1•k2=﹣1，试问：直线B，C是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，试说明理由．【解答】解：（1）∵点A（2，1）是椭圆G：x2+4y2=m上的点．∴22+4•12=m，∴m=8，即椭圆，∴a2=8，b2=2，∴伴随圆当直线l的斜率不存在时：不满足l与椭圆G有且只有一个公共点当直接l的斜率存在时，设直线，与椭圆G：x2+4y2=8联立，得：由直线l与椭圆G有且只有一个公共点，得解得k=±1，由对称性取直线即圆心到直线l的距离为直线l被椭圆G的伴随圆G1所截得的弦长为：．（2）设直线AB，AC的方程分别为y﹣1=k1（x﹣2），y﹣1=k2（x﹣2）设点B（x1，y1），C（x2，y2）联立G：x2+4y2=8，得，则，得，同理，斜率，同理，∵4k1•k2=﹣1，∴，∴B，O，C三点共线，故直线BC过定点O（0，0）．19．已经函数f（x）=（x2﹣3x+3）e x的定义域为[﹣2，t]，设f（﹣2）=m，f（t）=n．（1）试确定t的取值范围，使得函数f（x）在[﹣2，t]上为单调函数；（2）求证m＜n；（3）若不等式（为k正整数）对任意正实数x恒成立，求k的最大值．（解答过程可参考使用以下数据ln7≈1.95，ln8≈2.08）【解答】解：（1）因为f'（x）=（x2﹣3x+3）•e x=x（x﹣1）•e x令f'（x）＞0，得：x＞1或x＜0；令f'（x）＜0，得：0＜x＜1所以f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减要使f（x）在[﹣2，t]为单调函数，则﹣2＜t≤0所以t的取值范围为（﹣2，0]（2）证：因为f（x）在（﹣∞，0），（1，+∞）上递增，在（0，1）上递减，所以f（x）在x=1处取得权小值e又，所以f（x）在[﹣2，+∞）的最小值为f（﹣2）从而当t＞﹣2时，f（﹣2）＜f（t），即m＜n（3）等价于x2+4x+1＞k（xlnx﹣1）即记，则由g'（x）=0得x=k+1，所以g（x）在（0，k+1）上单调递减，在（k+1，+∞）上单调递增所以g（x）≥g（x+1）=k+6﹣kln（k+1），g（x）＞0对任意正实数x恒成立，等价于k+6﹣kln（k+1）＞0，即记，则所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，又，所以k的最大值为6．20．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=，其中n∈N*，λ，μ为非零常数．（1）若λ=3，μ=8，求证：{a n+1}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是公差不等于零的等差数列．①求实数λ，μ的值；②数列{a n}的前n项和S n构成数列{S n}，从{S n}中取不同的四项按从小到大的顺序组成四项子数列．试问：是否存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017？若存在，求出所有满足条件的四项子数列；若不存在，请说明理由．【解答】（1）证明：λ=3，μ=8时，a n+1==3a n+2，化为：a n+1+1=3（a n+1），∴：{a n+1}为等比数列，首项为2，公比为3．∴a n+1=2×3n﹣1，可得：a n=2×3n﹣1﹣1．（2）解：①设a n=a1+（n﹣1）d=dn﹣d+1．由a n+1=，可得：a n+1（a n+2）=+4，∴（dn﹣d+3）（dn+1）=λ（dn﹣d+1）2+μ（dn﹣d+1）+4，令n=1，2，3，解得：λ=1，μ=4，d=2．经过检验满足题意，可得：λ=1，μ=4，a n=2n﹣1．②由①可得：S n==n2．设存在首项为S1的四项子数列，使得该子数列中点所有项之和恰好为2017．则这四项为：三个奇数一个偶数，或者三个偶数一个奇数．1°三个奇数一个偶数：设S1，S2x+1，S2y+1，S2z是满足条件的四项，则1+（2x+1）2+（2y+1）2+（2z）2=2017，化为2（x2+x+y2+y+z2）=1007，矛盾，舍去．2°三个偶数一个奇数，设S1，S2x，S2y，S2z是满足条件的四项，则1+（2x）2+（2y）2+（2z）2=2017，化为x2+y2+z2=504．由504为偶数，x，y，z中一个偶数两个奇数或者三个偶数．（i）若x，y，z中一个偶数两个奇数，不妨设x=2x1，y=2y1+1，z=2z1+1，则2=251，矛盾．（ii）若x，y，z均为偶数，不妨设x=2x1，y=2y1，z=2z1，则++=126，则x1，y1，z1中有两个奇数一个偶数．不妨设x1=2x2，y1=2y2+1，z1=2z2+1，则=31．∵y2（y2+1），z2（z2+1）均为偶数，∴x2为奇数．不妨设0≤y2≤z2．当x2=1时，则+y2++z2=30，+y2≤14，检验可得：y2=0，z2=5，x2=1．当x2=3时，则+y2++z2=22，+y2≤10，检验可得：y2=1，z2=4，x2=3．当x2=5时，则+y2++z2=6，+y2≤2，检验可得：y2=0，z2=2，x2=5．即{S1，S4，S8，S44}，{S1，S12，S24，S36}，{S1，S4，S20，S40}为全部满足条件的四元子列．三、附加题21．已知矩阵M=，其中a∈R，若点P（1，﹣2）在矩阵M的变换下得到点P′（﹣4，0）（1）求实数a的值；（2）求矩阵M的特征值及其对应的特征向量．【解答】解：（1）由=，∴2﹣2a=﹣4⇒a=3．（2）由（1）知M=，则矩阵M的特征多项式为令f（λ）=0，得矩阵M的特征值为﹣1与4．当λ=﹣1时，∴矩阵M的属于特征值﹣1的一个特征向量为；当λ=4时，∴矩阵M的属于特征值4的一个特征向量为．22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程是（t为参数），圆C的参数方程是（θ为参数），直线l与圆交于两个不同的点A，B，点P 在圆C上运动，求△PAB的面积的最大值．【解答】解：直线l的参数办程是（t为参数），化为普通方程为x+y ﹣1=0，圆C的参数方程是（θ为参数），化为普通方程为x2+y2=1，由求得．或，故A（1，0）、B（0，1）．设点P（cosθ，sinθ），0≤θ＜2π，则点P到直线l的距离为d==，故当θ=时，d最大为1+，故△PAB的面积的最大值为AB•d==．23．某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．（1）求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；（2）假定演唱一首原创新曲观众与乐队的互动指数为a（a为常数），演唱一首经典歌曲观众与乐队的互动指数为2a，求观众与乐队的互动指数之和X的概率分布及数学期望．【解答】解：（1）设“至少演唱 1 首原创新曲”为事件A，则事件A 的对立事件为：“没有 1 首原创新曲被演唱”．所以P（A）=1﹣P（）=1﹣=．答：该乐队至少演唱 1 首原创新曲的概率为．（2）设随机变量x 表示被演唱的原创新曲的首数，则x 的所有可能值为0，1，2，3．依题意，X=ax+2a（4﹣x）=8a﹣ax，故X 的所有可能值依次为8a，7a，6a，5a．则P（X=8a）=P（x=0）==．P（X=7a）=P（x=1）==．P（X=6a）=P（x=2）==．P（X=5a）=P（x=3）==．．从而X 的概率分布为：所以X 的数学期望E（X）=8a×+7a×+6a×+5a×=a．。