x
(12)
为用位移分量和变温T表示的应力分量公式。 又平面平衡微分方程为：
ji, j Fbi 0
(13)
在此体力为零，
将式（13）代入（12）并化简得：
2u 1 2u 1 2 v T (1 ) 0 2 2 x 2 y 2 xy x
u' x
v' y
u.’v’为微分方程的特解。
代入微分方程（14）并化简得：
3 3 T (1 ) x 3 xy 2 x
3 3 T (1 ) x y 3 yx 2
即为
2 2 T ( 2 2 ) (1 ) x x x y

'' xy
E v '' u '' ( ) 2(1 ) x y
从而得总的位移分量： u = u’+ u’’ v = v’+ v’’ 并满足位移边界条件。
总的应力分量： ' ' x x x'
' ' y y y'
' '' xy xy xy
一
基本概念
1.温度场 在同一时间，物体内各点处温度值 的总体。一般说来，温度场是位移和时间的函数。
即
T=T（x,y,z,t）
若T=T（x,y,z），即温度场不随时间的变化而变化， 称为稳定温度场。
若T=T（x,y,t），即温度随时间和平面内的两位置 坐标变化而变化，称为平面温度场。 2. 等温面 任一瞬间，同一温度场内温度相同 的各点之间的连线，构成等温面，沿等温面移动， 温度不变；沿等温面的法线方向移动，温度的变化 率最快。 3. 温度梯度 沿着等温面的法线方向，指向温 度增大的方向，其大小等于 ，取沿等温面法线方向 的单位矢量为n0。则
2 v '' 1 2 v '' 1 2 u '' 0 2 2 x 2 2 xy y
相应与位移补充解的应力分量，可由式（13）令T=0 得出 E u '' v '' ''
x
'' y
1 2
(
x

y
)
E u '' v '' ( ) 2 x y 1
T T n0 n
(1)
n0为沿等温面法线方 向的单位矢量。
温度梯度在各坐标轴的分量为:
(2)
4. 熱流密度 单位时间内通过等温面面积的热 量，称为热流速度，用 dQ 表示，通过单位等温面 面积的热流速度称为热流密度，即 q 熱流密度
dQ q dt S
S 等温面面积
熱流密度的矢量表示为
q x d xd yd zdt x
由式
T q x x
q x 2T d xd yd zdt 2 d xd yd zdt x x
同样可得：
由ADD’A’ 和BCC’B’ 两面传入的静热量为：
2T 2 d xd yd zdt y
由ABCD 和A’B’C’D’ 两面传入的静热量为：
(10)
xy
E xy 2(1 )
其中
1 ui u j ij x x 2 j i

(11)
将式（11）代入式（10）得：
E u v E T ( ) 1 2 x y 1 E v u E T y ( ) 1 2 y x 1 E v u xy ( ) 2(1 ) x y
(T)t=0=f(x,y,z)
边界条件有四种形式： 第一类边界条件 已知物体表面上任 一点在所有瞬间的温度，即： Ts=f(t) 其中Ts表示物体表面的温度。 第二类边界条件 已知物体表面上任一点 点处的法向热流密度，即：
(qn)s=f(t)
第三类边界条件 已知物体边界上任一点在 所有瞬间的对流放热情况，按照热量的运流规律， 在单位时间内从物体表面传向周围介质的热流密 度和两者的温差成正比。即： (qn)s=β(Ts-Te)
2 2 T ( 2 2 ) (1 ) y x y y
又u.v都是常量，所以取： 2 2
2 (1 )T 2 x y
(16)
时， φ（x,y）满足(14)式，因此可以作为微分方 程(14)的一组特解。
将
u x
v
y
由于弹性体所受的外在约束及弹性体内各部 分之间相互约束，上述形变不能自由发生，产 生温度应力。 因而总的形变分量为：
x
1 [ y ( x z )] T E 1 z [ z ( y x )] T E
1 [ x ( y z )] T E
T q n
热流密度在坐标轴上的投影
q x T cos(n, x) n
T q y cos(n, y ) n
(6)
T q z cos(n, z ) n
式（6）与式（2）比较得
T q x x
(7)
T q y y
T q z z
v u 1 u v ) s l1 ( ) s l2 (1 )T y x 2 y x
(15)
l2 (
把式（14）（15）与通常平面问题相比较可知： 在温度应力的平面应力问题中，温度应力等于假想 体力
Fb x E T , 1 x
E T 1 y
T 2T 2 T 2 T c d x d y d z d t ( 2 2 2 ) d x d y d z d t t x y z
化简得：
T 2T 2T 2T W ( 2 2 2) t c x c y z
记
a
c
称为温度系数,上式可简写为：
dQ q n0 dt S
(3)
5. 热传导基本定率 度成正比且方向相反。 q T λ为导热系数 .
热流密度与温度梯
(4)
由上述公式(1)、(3)、(4)得
dQ dt T S n
(5)

式（5）表明，导热系数等于单位温度梯度下 通过等温面单位面积的热流速度。
由式（1）和（4）知
xy
2(1 ) xy E
因此和平面应力的热物理方程比较，将上述各方 程中的 E E换成 2 ν换成
1
1
α(1+ α ) α换成 则得到在平面应变条件下的相应方程。
第五节 微分方程的求解
在求解微分方程（14）时，应分两步进行。
1. 求出微分方程的任一组特解。
2. 不计变温T, 求出微分方程的一组补充解， 并使它和特解叠加以后满足边界条件。 为了求得微分方程的一组特解，引用一个 函数φ（x,y），使
T 2T 2T 2T W a( 2 2 2 ) t c x y z
这就是热传导微分方程。
第三节 温度场的边值条件 为了能够求解热传导微分方程，从而求得温 度场，必须已知物体在初始瞬间的温度分布，即 所谓初始条件，同时还要知道初始瞬间以后物体 表面与周围介质之间热交换的规律, 即所谓边界 条件。二者合成边值条件。 初始条件一般表示如下：
2 v 1 2 v 1 2u T (1 ) 0 2 2 y 2 x 2 xy y
(14)
又据平面问题的应力边界条件得：
l1 ( u v 1 u v ) s l2 ( ) s l1 (1 )T x y 2 y x
第一节 第二节 第三节 第四节 第五节 第六节
温度场与热传导的基本概念 热传导方程 温度场的边值条件 按位移求解温度应力的平面问题 微分方程的求解 轴对称温度场平面热应力问题
第七节
第八节
稳定温度场的差分解
应力函数差分解
第一节
温度场与热传导的基本概念
当弹性体的温度变化时，其体积将会有改变的 趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各部分之间 的相互约束，这种体积改变的趋势不能自由地发生， 从而产生应力，称为温度应力。
十一章 热应力
当弹性体的温度变化时，其体积将会有改 变的趋势，但是弹性体受外在约束及其本身各 部分之间的相互约束，这种体积改变的趋势不 能自由地发生，从而产生应力，称为温度应力。 为了决定弹性体内的温度应力,首先要按照热 传导理论,计算弹性体内各点在各瞬时的温度, 得到前后温度场的变温,然后根据热弹性力学, 根据弹性体内的变温来求出各点的温度应力。
式（7）表明，热流密度在任一方向上的分量， 等于导热系数乘以温度在该方向的递减率。
第二节 热传导微分方程的推导 1. 热平衡原理 在任意一段时间内，物体 的任一微小部分所积蓄的热量等于传入该微小 部分的热量加上内部热源所供给的热量。 2. 热传导微分方程的推导
如图取微小六面体 dxdydz,假定该六面体的
2T 2 d xd yd zdt z
因此，传入微小六面体的总静热量为：
2T 2 T 2 T ( 2 2 2 ) d x d y d z d t x y z
假定物体内部有正热源供热，在单位时 间单位面积供热为W,则物体在时间dt内产生 的热量为Wdxdydzdt 根据热量平衡原理得：
Fb y
和假想面力
px l1
ET p y l2 1
ET 1
所引起的应力。
平面应变时假定τyz=τzx=εz=0，由式（8）可得 物理方程：
1 2 x ( x y ) (1 )T E 1
1 2 y ( y x ) (1 )T E 1
其中：β 放热系数