a2
2
2 a2 x2 2 a2 x2
a2 x2.
例10 求函数 y ln x 2 1 ( x 2)的导数. 3 x2
解 y 1 ln( x 2 1) 1 ln( x 2),
h0
h
lim u( x h)v( x) u( x)v( x h)
h0
v( x h)v( x)h
lim [u( x h) u( x)]v( x) u( x)[v( x h) v( x)]
h0
v( x h)v( x)h
u( x h) u( x) v( x) u( x) v( x h) v( x)
解 dy 10( x 2 1)9 ( x 2 1)
dx 10( x2 1)9 2x 20x( x2 1)9 .
例9 求函数 y x a2 x2 a2 arcsin x 的导数 .
2
2
a (a 0)
解
y ( x
a2
x2
)
a2 (
arcsin
x )
2
2
a
1 a2 x2 1 x2
则复合函数 y f {[ ( x)]}的导数为
dy dy du dv . dx du dv dx
例7 求函数 y ln sin x 的导数.
解 y ln u, u sin x.
dy dy du 1 cos x cos x cot x
dx du dx u
sin x
例8 求函数 y ( x2 1)10 的导数 .
y在
I
y
(
2
,
)内单调、可导 2
,
且 (sin y) cos y 0, 在 I x (1,1)内有
((aarcsin x)
1 (sin y)
1 cos
y
1 1 sin2 y
1 .
1 x2
同理可得 (arccos x) 1 .
1 x2
(arctan
x
)
1
1 x
2
;
(
arccot
x)
1
i 1
f1( x) f2 ( x) fn( x)
n
n
fi( x) fk ( x);
i 1
k 1
ki
例1 求 y x3 2x2 sin x 的导数 .
解 y 3x 2 4x cos x.
例2 求 y sin 2x ln x 的导数 .
解 y 2sin x cos x ln x
2008／11／10
§3.2 导数的计算(求导法则)
一、求导的四则运算
定理 如果函数u( x), v( x)在点 x处可导,则它 们的和、差、积、商(分母不为零)在点 x处也 可导, 并且
(1) [u( x) v( x)] u( x) v( x);
(2) [u( x) v( x)] u( x)v( x) u( x)v( x);
sin x
x(cos
x)
cos2 x sin2 x cos2 x
1 cos2
x
sec2
x
即 (tan x) sec2 x.
同理可得 (cot x) csc2 x.
例4 求 y sec x 的导数 .
解
y (sec x) ( 1 ) cos x
(cos cos 2
x) x
sin x cos2 x
由y f ( x)的单调性可知 y
,
y
y 0 (x 0),
f ( x)连续,
又知 ( y) 0
f ( x) lim y lim 1 1
x0 x y0 x ( y)
即 f ( x) 1 .
y
( y)
例5 求函数 y arcsin x 的导数.
解
x
sin
在点u0 ( x0 )可导 , 则复合函数 y f [( x)]在点
x0可导, 且其导数为
dy dx
x x0
f (u0 ) ( x0 ).
即 因变量对自变量求导,等于因变量对中间变
量求导,乘以中间变量对自变量求导.(链式法则)
证
由y
f (u)在点u0可导 ,
lim y u0 u
f (u0 )
(3)
[u( x)] v( x)
u(
x)v(
x) u( v2(x)
x)v(
x)
(v( x) 0).
证(1)、(2)略.
证(3) 设 f ( x) u( x) , (v( x) 0),
v( x)
f ( x) lim f ( x h) f ( x)
h0
h
u( x h) u( x)
lim v( x h) v( x)
故 y u
f (u0 )
( lim 0) u0
则 y f (u0 )u u
lim x 0
y x
lim [
x0
f
(
u0
)
u x
u] x
f
(u0
)
lim
x 0
u x
lim
x 0
lim
x 0
u x
f (u0 )( x0 ).
推广 设 y f (u), u (v), v ( x),
lim
h
h
h0
v( x h)v( x)
u(
x)v( x) u( [v( x)]2
x)v(
x)
f ( x)在x处可导.
推论
n
n
(1) [ fi ( x)] fi( x);
i 1
i 1
(2) [Cf ( x)] Cf ( x);
(3)
n
[
fi ( x)] f1 ( x) f2 ( x) fn ( x)
1 x2
.
例6 求函数 y log a x 的导数.
解 x a y在I y (,)内单调、可导 ,
且 (a y ) a y ln a 0, 在I x (0,)内有,
(loga
x)
1 (a y
)
a
y
1 ln
a
1. x ln a
三、复合函数的求导法则
定理 如果函数u ( x)在点 x0可导 , 而y f (u)
y 2cos x cos x ln x 2sin x ( sin x) ln x 2 sin x cos x 1 x
2 cos 2x ln x 1 sin 2x. x
例3 求 y tan x 的导数 .
解 y (tan x) (sin x )
cos x
(sin
x)
cos x cos2
sec x tan x.
同理可得 (csc x) csc x cot x.
二、反函数的导数
定理
如果函数
x
(
y)在某区间
I
内单调、可导
y
且( y) 0 , 那末它的反函数 y f ( x)在对应区间
I
内也可导
x
,
且有
f
(
x)
1 ( y)
.
即 反函数的导数等于直接函数导数的倒数.
证 任取x I x , 给x以增量x (x 0, x x I x )