方程的意义基础知识讲解
【学习目标】
1．正确理解方程的概念，并掌握方程、等式及算式的区别与联系；
2. 正确理解一元一次方程的概念，并会判断方程是否是一元一次方程及一个数是否是方程的解；
3. 理解并掌握等式的两个基本性质.
【要点梳理】
要点一、方程的有关概念
1．定义：含有未知数的等式叫做方程.
要点诠释：
判断一个式子是不是方程，只需看两点：一.是等式；二.是含有未知数．
2．方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解.
要点诠释：
判断一个数（或一组数）是否是某方程的解，只需看两点：①.它（或它们）是方程中未知数的值；
②将它（或它们）分别代入方程的左边和右边，若左边等于右边，则它们是方程的解，否则不是．
3．解方程：求方程的解的过程叫做解方程.
4．方程的两个特征：（1）.方程是等式；（2）.方程中必须含有字母（或未知数）.
要点二、一元一次方程的有关概念
定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程.
要点诠释：“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件：
①首先是一个方程;②其次是必须只含有一个未知数;③未知数的指数是1;④分母中不含有未知数．
要点三、等式的性质
1．等式的概念：用符号“=”来表示相等关系的式子叫做等式.
2．等式的性质：
等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等.即：
如果，那么 (c 为一个数或一个式子) .
等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等.即：
如果
，那么；如果，那么.
要点诠释：
（1）根据等式的两条性质，对等式进行变形，等式两边必须同时进行完全相同的变形；
(2) 等式性质1中，强调的是整式，如果在等式两边同加的不是整式，那么变形后的等式不一定成立，
如x ＝0中，两边加上得x ＋，这个等式不成立; (3) 等式的性质2中等式两边都除以同一个数时，这个除数不能为零．
【典型例题】
类型一、方程的概念
1．下列各式哪些是方程？
①3x-2＝7； ②4+8＝12； ③3x-6；
④2m-3n ＝0； ⑤3x 2-2x-1＝0； ⑥x+2≠3；
⑦251x =+； ⑧28553x x -=． 【答案与解析】
解：②虽是等式，但不含未知数；③不是等式；⑥表示不等关系，故②、③、⑥均不符合方程的概念．①、④、⑤、⑦、⑧符合方程的定义，所以方程有：①、④、⑤、⑦、⑧．
【总结升华】方程的判断必须看两点，一个是等式，二是含有未知数．当然未知数的个数可以是一个，也可以是多个．
举一反三：
【变式】（2020春•宜宾县期中）下列四个式子中，是方程的是（ ）
A. 3+2=5
B. x=1
C. 2x ﹣3＜0
D. a 2+2ab+b 2
【答案】B ．
2．（2020春•孟津县期中）下列方程中，以x=2为解的方程是（ ）
A. 4x ﹣1=3x+2
B. 4x+8=3（x+1）+1
C. 5（x+1）=4（x+2）﹣1
D. x+4=3（2x ﹣1）
【答案】C ．
【总结升华】检验一个数是不是方程的解，根据方程解的概念，只需将所给字母的值分别代入方程的左右两边，若两边的值相等，则这个数就是此方程的解，否则不是．
举一反三：
【变式】下列方程中，解是x=3的是( )
A ．x+1＝4
B ．2x+1＝3
C ．2x-1＝2
D ．2173
x += 类型二、一元一次方程的相关概念
3．已知方程①32x x -=；②0.4x ＝11；③512
x x =-；④y 2-4y ＝3；⑤t ＝0；⑥x+2y ＝1．其中是一元一次方程的个数是( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5
【答案】B.
【解析】根据一元一次方程的定义判断，因为①不是整式方程（分母中含有未知数）；④未知
数的次数为2；⑥含有两个未知数．所以①、④、⑥都不是一元一次方程． 【总结升华】3x 和2x 是有区别的，前者的分母中含有字母，而后者的分母中不含字母， 3x
不是整式，2
x 是整式，分母中含有未知数的方程一定不是一元一次方程． 举一反三：
【变式】下列方程中是一元一次方程的是__________（只填序号）．
①2x-1＝4；②x ＝0；③ax ＝b ；④151x
-=-． 【答案】①②.
类型三、等式的性质
4．用适当的数或整式填空，使所得的结果仍为等式，并说明根据等式的哪一条性质，以及怎
样变形得到的．
(1)如果41153x -=，那么453
x =+________； (2)如果ax+by ＝-c ，那么ax ＝-c +________；
(3)如果4334
t -=，那么t ＝________． 【答案与解析】
解： (1). 11；根据等式的性质1，等式两边都加上11；
(2).（-by ）； 根据等式的性质1，等式两边都加上-by ；
(3).916-； 根据等式的性质2，等式两边都乘以34
-． 【总结升华】先从不需填空的一边入手，比较这一边是怎样变形的，再根据等式的性质，对
另一边也进行同样的变形．
举一反三：
【变式】下列说法正确的是( )．
A ．在等式ab ＝ac 两边都除以a ，可得b ＝c.
B ．在等式a ＝b 两边除以c 2+1，可得2211
a b c c =++.
C ．在等式b c a a
=两边都除以a ，可得b ＝c. D ．在等式2x ＝2a-b 两边都除以2，可得x ＝a-b.
【答案】B.
类型四、设未知数列方程
5．根据问题设未知数并列出方程：
一次考试共有25道选择题，做对一道得4分，做错或不做一道倒扣1分．若小明想考80分，他要做对多少道题？
【答案与解析】
解：设小明要做对x 道题，则有(25-x)道做错或没做的题，依题意有：4x-(25-x)×1＝80． 可以采用列表法探究其解
显然，当x ＝21时，4x-(25-x)×1＝80．
所以小明要做对21道题．
【总结升华】根据题意设出合适的未知量，并根据等量关系列出含有未知量的等式． 举一反三：
【变式】根据下列条件列出方程．
(l)x 的5倍比x 的相反数大10；
(2)某数的34
比它的倒数小4； (3)甲、乙两人从学校到公园，走这段路甲用20分钟，乙用30分钟，如果乙比甲早5
分钟出发，问甲用多少时间追上乙？
【答案】(1)5x-(-x)＝10；(2)设某数为x ，则1344
x x -=；(3)设甲用x 分钟追上乙，由题意得11(5)3020
x x +=．。