为 k2)的阻力作用 求质点运动的速度与时间的函数关系
解
由牛顿定律 Fma
得
m
dv dt
k1t
k2v
即 dv k2 v k1 t dt m m
由通解公式得
v
e
k2 m
dt
(
k1
t
e
k2 m
dt
dt
C)
e
k2 m
t
(
k1
t
e
k2 m
t
dt
C)
m
m
e
k2 m
t
(
k1
te
k2 mLeabharlann tk1me
k2 m
y edx( 2xedxdxC) ex(2 xexdxC)
ex(2xex2exC)Cex2x2
由 y|x00 得 C2 故所求曲线的方程为 y2(exx1)
4 设有一质量为 m 的质点作直线运动 从速度等于零的时刻起 有一个与运动方向一
至、大小与时间成正比(比例系数为 k1)的力作用于它 此外还受一与速度成正比(比例系数
即 d(y1) y1 sin x cosx dx
y1 edx[ (sin xcos x)edxdxC]
ex[ (cosxsin x)exdxC]Cex sin x
原方程的通解为 1 Cex sin x y
(2) dy 3xy xy2 dx
解 原方程可变形为
1 y2
dy dx
3x
u(u 1) x2(1u u2)
即 1 du x dx
u3 x2(1u
u2)
分离变量得
1 x
dx
(u13
1 u2
1)du u
两边积分得
ln
x
C1
1 2u2
1 u
ln
u
将 uxy 代入上式得原方程的通解
ln
x
C1
1 2x2 y2
1 xy
ln
xy
即
2x2y2ln y2xy1Cx2y2(C2C1)
习题 124 1 求下列微分方程的通解
(1) dy y ex dx
解 y edx( ex edxdxC) ex( ex exdxC) ex(xC)
(2)xyyx23x2
解 原方程变为 y 1 y x3 2
x
x
y
e
1 x
dx
[
(x
3
2)e
1 x
dx
dx
C]
x
1 x
[
(x
3
2x)xdxC]
y
e
2x dx
x2 1 (
cxo2 sx1e
2x dx
x2 1 dx
C)
x211[ cxo2 sx1(x2 1)dxC] x211(sinxC)
(6)
d d
3
2
解 e3d ( 2e3d d C)
e3 ( 2e3 d C)
e3 (2 e3 C) 2 Ce3
3
3
(7) dy 2xy 4x dx
(10) (y2 6x) dy 2y 0 dx
解 原方程变形为 dx 3 x 1 y dy y 2
x
e
3 y
dy
[
(
1
y)e
3 y
dy
dy
C]
2
y3( 1 2
y
1 y3
dy
C)
y3( 1 C) 1 y2 Cy3
2y
2
2 求下列微分方程满足所给初始条件的特解
(1)
dy dx
sin x
sin x
由 y |x2 4
得 C1
故所求特解为 y 1 (5ecosx 1) sin x
(4)
dy dx
3y
8
y|x02
解 y e3dx( 8e3dxdxC)
e3x(8 e3xdxC) e3x(8e3x C) 8 Ce3x
3
3
由 y|x02
得C2 3
故所求特解为 y 2 (4e3x) 3
因此
f
(x)
e
1 2x
dx
(
1e
1 2x
dx
dx
C)
1
(
xdxC) 2 x C
x
3x
由 f(1)1 可得 C 1 3
故
f (x) 2 x 1 3 3x
7 求下列伯努利方程的通解
(1) dy y y2(cosxsin x) dx
解 原方程可变形为
1 y2
dy 1 cosxsin x dx y
6 设曲 yf (x)dx[2xf (x) x2]dy 在右半平面(x0)内与路径无关 其中 f(x)可导 且 L
f(1)1 求 f(x) 解 因为当 x0 时 所给积分与路径无关 所以
[yf (x)] [2xf (x) x2]
y
x
即 f(x)2f(x)2xf(x)2x
或 f (x) 1 f (x) 1 2x
解 y etanxdx( sin 2xetanxdxdxC)
elncosx( sin 2xelncosxdxC)
cosx(
2sin
xcosx
1 cosx
dxC)
cos x(2cos x+C)C cos x2cos2x
(5)(x21)y2xycos x0
解
原方程变形为
y
2x x2 1
y
cosx x2 1
y
tan
x
s
ecx
y|x00
解 y etanxdx( secxetanxdxdxC)
1 cosx
(secxcosxdxC)
1 cosx
(x
C)
由 y|x00 得 C0 故所求特解为 yxsec x
(2)
dy dx
y x
s
in x
x
y|x1
解
y
e
1 x
dx(
sin
x
e
1 x
dxdxC)
x
1 x
程 并求其通解
解 原方程可变形为
dy yf (xy) dx xg(xy)
在代换 vxy 下原方程化为
x
dv dx x2
v
vf (v) x2g(v)
即
g(v) du 1 dx
v[g(v) f (v)] x
积分得
g(v) v[g(v) f
du (v)]
ln
x
C
对上式求出积分后 将 vxy 代回 即得通解
解 令 uxy 则原方程化为
1 du 1 1 即 dxudu dx u
两边积分得
x
1 2
u2
C1
将 uxy 代入上式得原方程的通解
x
1 2
(x
y)2
C1
即(xy)22xC(C2C1)
(3)xyyy(ln xln y) 解 令 uxy 则原方程化为
x(1 x
du dx
u x2
)
u x
u x
ln
u
即 1 dx 1 du x ulnu
两边积分得
ln xln Clnln u 即 ueCx
将 uxy 代入上式得原方程的通解
xyeCx 即 y 1 eCx x
(4)yy22(sin x1)ysin2x2sin xcos x1
解 原方程变形为
y(ysin x1)2cos x 令 uysin x1 则原方程化为
du cosx u2 cosx dx
解 由回路电压定律知
20sin5t 2 di 10i 0 即 di 5i 10sin5t
dt
dt
由通解公式得
i e5dt( 10sin5te5dtdt C) sin5t cos5t Ce5t
因为当 t0 时 i0 所以 C1 因此
i sin5t cos5t e5t e5t 2sin(5t ) (A) 4
(5)
dy dx
23x2 x3
y
1
y|x10
解
y
e
23x2 x3
dx
(
1e
23x x3
2
dx
dx
C)
1
x3e x2 (
1 x3
e
1 x2
dxC)
x3e
1 x2
(1 2
e
1 x2
C)
由 y|x10
得C 1 2e
故所求特解为
y
1
x3(1
e
1 x2
1
)
2
3 求一曲线的方程 这曲线通过原点 并且它在点(x y)处的切线斜率等于 2xy 解 由题意知 y2xy 并且 y|x00 由通解公式得
即
1 u2
du
dx
两边积分得
1 xC u
将 uysin x1 代入上式得原方程的通解
1 xC ysin x1
即
y
1sin
x
1 xC
(5)y(xy1)dxx(1xyx2y2)dy0 解 原方程变形为
dy dx
y(xy 1) x(1 xy x2 y2)
令 uxy 则原方程化为
1 x
du dx
u x2
解 y e2xdx( 4xe2xdxdxC)
ex2 ( 4xex2dxC)
ex2 (2ex2 C) 2Cex2
(8)yln ydx(xln y)dy0
解 原方程变形为 dx 1 x 1 dy yln y y
x