2．如图 1，△ ABC 中，∠ ABC＝∠ BAC，D 是 BC 延长线上一动点，连接 AD，AE 平分∠ CAD 交 CD 于点 E，过点 E 作 EH⊥AB，垂足为点 H.直线 EH 与直线 AC 相交于点 F.设∠ AEH＝
，∠ ADC＝ .
（1）求证：∠ EFC＝∠ FEC； （2）①若∠ B＝30°，∠ CAD＝50°，则 ＝________， ＝________； ②试探究 与 的关系，并说明理由； （3）若将“D 是 BC 延长线上一动点”改为“D 是 CB 延长线上一动点”，其它条件不变，请在 图 2 中补全图形，并直接写出 与 的关系. 【答案】 （1）证明：∵ ∠ ABC＝∠ BAC,EH⊥AB. ∴ ∠ EFC=∠ AFH=90°－∠ BAC,∠ FEC=90°－∠ ABC, ∴ ∠ EFC＝∠ FEC.
一、初一数学几何模型部分解答题压轴题精选（难）
1．如图 1，点 为直线 上一点，过点 作射线 ，使
，将一直角三角
板的直角顶点放在点 处，一边 在射线 上，另一边 在直线 的下方.
（1）将图 1 中的三角板绕点 逆时针旋转至图 ，使一边 在
的内部，且恰好平
分
，问：此时直线 是否平分
？请直接写出结论：直线 ________（平
，
∴
.：(2)①∵ ∠ CAD=50°,AE 平分∠ CAD, ∴ ∠ =∠ AFH－∠ EAC=90°－∠ BAC－∠ EAC=90°－30°－25°=35°. ∵ ∠ ACB=∠ ABC+∠ BAC=60°,∠ CAD=50°, ∴ ∠ =180°－∠ ACB－∠ CAD=180°－60°－50°=70°. 故答案为:35°,70°. 【分析】(1)利用等角的余角相等的性质证明即可.(2)①利用外角定理和角平分线的性质求 解即可;②分别用∠ 和∠ 表示出∠ AEC 即可解.(3)画出图形,将所有的角度集中在△ CEF 的内角和上,列出等式求解即可.
分或不平分）
.
（2）将图 1 中的三角板绕点 以每秒 的速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程
中，第 秒时，直线 恰好平分锐角
，则 的值为________.（直接写出结果）
（3）将图 1 中的三角板绕点 顺时针旋转，请探究：当 始终在
的内部时（如图
3），
与
的差是否发生变化？若不变，请求出这个差值；若变化，请举例
∴ ∠ 1-∠ 2= ∠ P， ∵ ∠ 3=∠ P+∠ 2，
∴ ∠ G=∠ 3-∠ 1=∠ P+∠ 2-∠ 1= ∠ P= α.
【分析】（1）根据平行线的性质及平行公理，即可求解； （2）过点 P 作 PN∥ AB，根据平行公理得 PN∥ CD，得出∠ PFC=∠ FPN，由 AB∥ CD 得出 ∠ PEA=∠ NPE， 从而得出∠ FPN=∠ PEA+∠ FPE，即可求出∠ PFC=∠ PEA+∠ FPE，即可求解； （3）根据角平分线的定义得出∠ 1= ∠ PFC，∠ 2=- ∠ PEA，由∠ PFC=∠ PEA+∠ P，得出∠ 1∠ 2= ∠ P，由三角形的外角性质得出∠ G=∠ 3-∠ 1，∠ 3=∠ P+∠ 2，从而求出∠ G= α.
说明. 【答案】 （1） 平分
（2） 或 49
（3）解：不变，设
，
，
，
【解析】【解答】（1）直线 平分
；（2）
或
【分析】（1）根据图形得到直线 ON 平分∠ AOC ；（2）由三角板绕点 O 以每秒 5 ° 的 速度沿逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第 t 秒时，直线 ON 恰好平分锐角 ∠ AOC，求出 t 的值；（3）根据题意得到∠ AON=50°−y，∠ AOM−∠ NOC=x−y=40°.
3．如图
（1）如图 1，AB∥ CD，∠ AEP=40°，∠ PFD=130°。求∠ EPF 的度数。 小明想到了以下方法(不完整)，请填写以下结论的依据： 如图 1，过点 P 作 PM∥ AB， ∴ ∠ 1=∠ AEP=40°(________) ∵ AB∥ CD，(已知) ∴ PM∥ CD，(________) ∠ 2+∠ PFD=180°(________) ∵ ∠ PFD=130°，∴ ∠ 2=180°-130°=50° ∴ ∠ 1+∠ 2=40°+50°=90° 即∠ EPF=90° （2）如图 2，AB∥ CD，点 P 在 AB，CD 外，问∠ PEA，∠ PFC，∠ P 之间有何数量关系?请 说明理由； （3）如图 3 所示，在(2)的条件下，已知∠ P=α，∠ PEA 的平分线和 ZPFC 的平分线交于点 G，用含有 α 的式子表示∠ G 的度数是________。(直接写出答案，不需要写出过程)
4．已知，AB//CD,（1）如图，若 E 为 DC 延长线上一点，AF、CG 分别为∠ BAC、∠ ACE 的 平分线.
（1）求证：AF//CG. （2）若 E 为线段 DC 上一点（E 不与 C 重合），AF、CG 分别为∠ BAC、∠ ACE 的平分线， 画出图形，试判断 AF，CG 的位置关系，并证明你的结论.
（ 2 ） 35° ； 70° ； 解 ： ②
, 又∵
∴
.∴
（3）解：图形如下:
, 理 由 如 下 : 由 (1) 可 知 : ,
.
∵ ∠ ABC＝∠ BAC,∠ BHE=90°－∠ ABC,∠ F=90°－∠ BAC，
∴
.
又∵
，
∴ 在△ CEF 中有:∠ ECF+2∠ CEF=180°，
即
.
.
∵ 2∠ EAC=∠ DAC,
【答案】 （1）证明：∵ AB//CD
∴ ∠ BAC=∠ ACE， ∵ AF、CG 分别为∠ BAC、∠ ACE 的平分线，
【答案】 （1）两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；两直 线平行，同旁内角互补 （2）解：
理由如下：过点 作
，则
∴
∵
∴
∵ ∴
∴
即
.
（3） 【解析】【解答】（3）如图： ∵ EG 平分∠ PEA，FG 平分∠ PFC，
∴ ∠ 1= ∠ PFC，∠ 2= ∠ PEA，
∴ ∠ 1-∠ 2= ∠ PFC- ∠ PEA= （∠ PFC-∠ PEA）， ∵ ∠ PFC=∠ PEA+∠ P， ∴ ∠ PFC-∠ PEA=∠ P，