初升高数学衔接讲义前言【数学科是什么？】数学是研究数量、结构、变化以及空间模型等概念的一门学科。
【初中数学与高中数学学习方法上有什么变化？】初中：学习⇒ 模仿；高中：学习⇒ 模仿⇒ 自主探究。
⑴知识量的差异。
初中数学知识少、浅、难度容易、知识面窄。
高中数学知识广泛，将对初中的数学知识推广和引伸，也是对初中数学知识的完善。
量的剧增，要求有较高的自学能力。
初中有时间进行反复多次的练习，而高中，课程都在加深，一天的时间又不会加长，集中学习的时间相对比初中少，需要学生自主学习。
⑵模彷与创新的区别。
初中学生多是模彷做题，模彷老师思维推理较多，而高中，随着知识的难度加大和知识面的广泛，学生不能全部模彷，需要整合创新。
⑶学生自学能力的差异。
高中的知识面广，知识要全部要教师训练完高考中的习题类型是不可能的，只有通过较少的、较典型的一两道例题讲解去融会贯通这一类型习题，如果不自学、不靠大量的阅读理解，将会使学生失去一类型习题的解法。
另外，科学在不断的发展，考试在不断的改革，高考也随着全面的改革不断的深入，数学题型的开发在不断的多样化，近年来提出了应用型题、探索型题和开放型题，只有靠学生的自学去深刻理解和创新才能适应现代科学的发展。
⑷思维习惯上的差异。
思维习惯上的差异。
初中知识范围小，层次低，知识面窄，思维受局限，高中知识的多元化和广泛性，要求学生全面、细致、深刻、严密的分析和解决问题。
如从二维空间到三维空间的思想转化，个别学生难理解。
⑸定量与变量的差异。
初中数学中，题目、已知和结论用常数给出的较多，一般地，答案是常数和定量。
学生在分析问题时，大多是按定量来分析问题，这样的思维和问题的解决过程，只能片面地、局限地解决问题，在高中数学学习中我们将会大量地、广泛地应用代数的可变性去探索问题的普遍性和特殊性。
另外，在高中学习中我们还会通过对变量的分析，探索出分析、解决问题的思路和解题所用的数学思想（函数与方程思想、数形结合思想、分类讨论、化归思想）【如何学好高中数学？】1.态度上：要有毅力，切合实际。
2.方法上：锻炼好身体；学会自主学习。
3.措施上：⑴做好预习：⑵上课要在全神贯注认真听讲的同时，做好笔记：全神贯注就是全身心地投入课堂学习，耳到、眼到、心到、口到、手到。
耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要听同学们的答问，看是否对自己有所启发。
眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻的接受老师所要表达的思想。
心到：就是用心思考，跟上老师的数学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。
口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。
手到：就是在听、看、想、说的基础上划出课文的重点，记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维的见解。
⑶不留夹生饭：老师最喜欢会问问题的学生，并且态度要真诚，方法要恰当。
⑷按时完成作业，并适当多做一些典型题目：⑸做好错题本：⑹善于复习总结：目录前言1第一节数与式的相关知识与运算4§1.1.1 数与数的运算4§1.1.2 集合的定义与数集11§1.2 分式、比与比例15§1.3 绝对值与根式21第二节乘法公式与因式分解28§2.1 乘法公式28§2.2.1 公式法与提公因式法32§2.2.2 十字相乘法与分组分解法37第三节一元二次方程42§3.1 解一元二次方程42 §3.2.1 一元二次方程的根与系数的关系（1）46 §3.2.2 一元二次方程的根与系数的关系（2）49 第四节一元二次函数53§4.1 一元二次函数的图像与解析式53 §4.2 二次函数的最值58 第五节不等式的解法63§5.1 一元二次不等式的解法63⎭⎨⎪§5.2 简单的分式不等式和一元高次不等式的解法 70§5.3 一元二次方程的根的分布74第一节数与式的相关知识与运算【学习目标】§1.1 数集及其运算§1.1.1 数与数的运算1.能说出数的发展分类关系，并会用字母表示数集；2．掌握数的运算定律，会进行数的混合运算；3.掌握一些简单的速算方法；4.理解集合的定义与表示，会表示简单的集合。
【知识梳理】 一、数的知识1.数的发展过程：自然数 ⇒ 整数⎫ ⎫ ⎫ 分数 ⎬ ⇒ 有理数⎪⇒ 实数⎪ ⎭ ⎬ ⎪⇒ 复数 ⎪⎬ 无理数 ⎭ ⎪虚数⎪自然数： 。
正整数： 。
整数： 。
偶数： 。
奇数： 。
分数： 。
有理数： 。
无理数： 。
虚数：。
⎧定义： 相反数 ⎪代数意义： ⎩几何意义：倒数：。
⎨几 ⎧代数意义 绝对值 ⎪ ⎪何意义 ⎩非负性数轴： 。
素数（质数）： 。
合数（合成数）：。
最大公约数：自然数 a , b , c , 的最大公约数常常记为 (a , b , c , ) 最小公倍数：自然数 a , b , c , 的最大公约数常常记为 [a , b , c , ] 2.罗马数系、阿拉伯数系、中文数系： ⑴罗马数系： 罗马数字有下面七个基本符号：I(1)， V(5)， X(10)，L(50)，C(100)，D(500)，M(1000)罗马数字表示规则:①.重复相加如："III"表示"3"；"XXX"表示"30"②.右加左减如"VI"表示"6"，“XC"表示“90"③.上加横线，这个数就扩大 1000 倍如：“ XV "表示 "15,000"，“ CLXV "表示"165,000"罗马数系的缺点：①.没有O 这个数字；②.与进位制无关；③.书写繁难。
⑵.阿拉伯数系把1、2、3、4……9、0 这10 个数字统称为“阿拉伯数字”，仅此10 个。
它们最早产生于古代的印度。
大约公元750 年一位印度天文学家拜访了巴格达王宫，把印度制作的天文表献给了当时国王，因为印度数字和计算方法简单又方便，所以很快由阿拉伯人所接受并且传播到欧洲各个国家，在漫长的传播过程中，印度创造的数字就被称为“阿拉伯数字”了。
目前阿拉伯数字成为了全球通用的数字体系。
⑶.中文数系一、二、三、四、五、六、七、八、九、十、百、千、万、亿、兆、京、垓、秭、穰、坸、涧、正、载。
阿拉伯数字传入中国大约在十三世纪，但迟迟未被采用，直到二十世纪初，人们在文化生活中才开始大量使用阿拉伯数字。
汉字大写数字：壹、贰、叁、肆、伍、陆、柒、捌、玖、拾、佰、仟二、数的运算中学阶段数的运算包括加、减、乘、除、乘方、开方、三角求值、指数运算、对数运算、幂的运算、以及由它们构成的混合运算。
1.运算顺序：。
2.运算性质与运算定律：⑴加法运算律: 。
⑵乘法运算律：。
⑶减法运算律：。
⑷除法运算律：。
⑸乘方、开方、指数运算律：。
①、同底数幂的乘法：（字母表达式为）。
②、同底数幂的除法：底数不变，指数相减。
（字母表达式为）③、幂的乘方：底数不变，指数相乘。
（字母表达式为）④、积的乘方：等于各因数分别乘方的积。
（字母表达式为）⑤、商的乘方（分式乘方）：分子分母分别乘方，指数不变。
（字母表达式为）3.简便运算：⑴加减运算①聚“10”相加法：例如：19+23+31+77=②基准数求和：例如：108+109+95+104+91+92③凑整法：⑵乘除运算：①利用运算律简便运算：②利用商不变的性质简便运算：（3）、要背会的数的平方、立方：112 =；122 =；132 =；142 =；152 =；162 =；172 =；182 =；192 =；23 =；33 =；43 =；53 =；63 =；73 =；83 =；93 =；24 =；25 =；26 =；27 =；28 =；29 =；210 =；（4）、特殊数的简便运算：①某数乘以11 的巧算：两头拉开，相邻两数依次相加放中间。
②十位数字相同，个位数字的和为10 的两位数相乘的巧算：③个位数字相同，十位数字的和为10 的两位数相乘的巧算：④高斯求和法（倒序相加法）：⑤四则运算：【典型例题】例题1.一个数等于它的倒数的4 倍，这个数是（）例题2.计算下列各式⑴32 + 59 + 68 ⑵284 +136 + 316 + 264⑶ 6.38 + 0.73 + 5.98 + 23.62 + 4.27 ⑷62 + 59 + 60 + 57 + 58 + 61+ 63 + 64⑸1278 - 324 - 476 ⑹136 + 97 +199 + 3998例题3.计算下列各式：⑴125⨯ 7 ⨯ 4 ⨯ 8⨯ 25 ⑵72 ⨯1.25 ⑶ 168⨯ 87 +13⨯16823000⑸4500 ÷125 ÷15 ⑹132 ⨯ 500 ÷ 250⑷25⎛ 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 1 ⎫⎛ 1 1 1 1 ⎫ ⎛ 1 1 1 ⎫⑺ 1+++ ⎪ ⨯ +++ ⎪ - 1++++ ⎪ ⨯ ++⎪⎝ 2 3 4 ⎭ ⎝ 2 3 4 5 ⎭⎝ 2 3 4 5 ⎭ ⎝ 2 3 4 ⎭例题4.计算下列各式的值：⑴72 ⨯11 ⑵49 ⨯11 ⑶254 ⨯11 ⑷9876 ⨯11练习.计算下列各式的值⑴27 ⨯11 ⑵56 ⨯11 ⑶357 ⨯11 ⑷6789 ⨯11⎝ ⎭例题 5.计算下列各式的值⑴ 22 ⨯ 28⑵ 13⨯17⑶ 25⨯ 25⑷ 79 ⨯ 71例题 6.计算下列各式的值⑴ 72 ⨯ 32⑵ 45⨯ 65⑶ 24 ⨯ 84⑷ 66 ⨯ 46练习：计算下列各式的值⑴ 73⨯ 33⑵ 47 ⨯ 67 ⑶ 25⨯ 85 ⑷ 61⨯ 41例题 7.求下列各式的值⑴ 1+ 2 + 3 + 4 + + 20⑵ 2 + 4 + 6 + 8 + +100【反馈练习】2x + 31.已知函数 y =（x 为整数），则 y 的最小值为。
x 2.已知 4a -1 与 3 - a 互为相反数，则实数 a 的值为。
3.计算下列各式的值。
⑴ 164 - 59 + 36⑵⎛ 1 - 1 + 1 - 1 - 1 ⎫ ⨯ 72 2 3 6 4 9 ⎪⑶ 162 - 259 + 360 - 357 + 458 - 61+ 63 - 262 ⑷ 12.5⨯10.8⑸ 293⨯ 8.584 - 293 + 2.416 ⨯ 293⑹ 37500 ÷ 4 ÷ 25⑺ 125⨯ 8 ÷ 5 ÷ 4⑻ 299 ÷ 299299 300⑼ [ －（ ＋ ）]×⑽ 999 8 9 + 99 8 9 + 9 8 + 19 3⑾ （1+0.23+0.34）×（0.23+0.34+0.56）-（1+0.23+0.34+0.56）×（0.23+0.34）⑿ 334 ⨯11- 54 ⨯ 56 + 35⨯ 75⒀ 999×222+333×3344.计算（﹣2）100+（﹣2）99 所得的结果是（）A 、﹣299B 、﹣2C 、299D 、2 5.当 m 是正整数时，下列等式成立的有（）（1）a 2m =（a m ）2；（2）a 2m =（a 2）m ；（3）a 2m =（﹣a m ）2；（4）a 2m =（﹣a 2）m ．A 、4 个B 、3 个C 、2 个D 、1 个6.下列运算正确的是（）A 、2x+3y=5xyB 、（﹣3x 2y ）3=﹣9x 6y 3C 、 4x 3 y 2⋅ (- 1xy 2 ) = -2x 4 y 42D 、（x ﹣y ）3=x 3﹣y 37.计算：x 2•x 3=；（﹣a 2）3+（﹣a 3）2=．8.若 2m =5，2n =6，则 2m+2n =．9.下列等式中正确的个数是（）①a 5+a 5=a 10； ②（﹣a ）6•（﹣a ）3•a =a 10； ③﹣a 4•（﹣a ）5=a 20； ④ 25+25=26． A 、0 个B 、1 个C 、2 个D 、3 个10.已知 9n+1﹣32n =72，求 n 的值．11.若（a n b m ）3=a 9b 15，求 2m+n 的值．§1.1.2 集合的定义与数集【集合的定义】1.集合的定义： 一般地，我们把研究对象统称为（element ）,把一些元素组成的总体叫做 （set ）.2.集合元素的特征探究：“好心的人”与“1,2,1”是否构成集合？ 对于一个给定的集合，集合中的元素是，是 ，是 ，即集合元素三特征. 只要构成两个集合的元素是一样的，我们称这两个集合. 试试：分析下列对象，能否构成集合，并指出元素：1 不等式 x - 3 > 0 的解；② 3 的倍数；③ 方程 x 2 - 2x + 1 = 0 的解； ④ a ，b ，c ，x ，y ，z ； ⑤ 最小的整数； ⑥ 周长为 10 cm 的三角形； ⑦ 中国古代四大发明；⑧ 全班每个学生的年龄；⑨ 地球上的四大洋；⑩ 地球的小河流.3.集合的分类按照集合中元素个数的多少，我们把集合分为和。