2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|1}P x x =„，集合1|1Q x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭„，则(P Q =I )A ．ϕB ．{1}C ．{|0}x x <D ．{|0x x <或1}x =2．（5分）设复数1z i =，21z i =+，则复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限3．（5分）设函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩„，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞4．（5分）已知椭圆22143x y +=，则与椭圆相交且以点(1,1)A 为弦中点的直线所在方程为()A ．3470x y ++=B ．2570x y +-=C ．3410x y -+=D ．3470x y +-=5．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅⋯⋯癸酉、甲戌、乙亥、丙子⋯⋯癸未、甲申、乙酉、丙戌⋯⋯癸巳⋯⋯癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为()A ．甲巳年B ．壬辰年C ．辛卯年D ．癸巳年6．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 ①m α⊂，//n α，则//m n ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ．上述四个命题中，正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．47．（5分）在ABC ∆中，1CA =，3CB =，2ACB π∠=，点M 满足3CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r，则(MA MB =u u u r u u u r g) A ．3B ．6C ．9D ．08．（5分）由直线1y x =-上的点向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为() A ．1B ．2C ．2D ．39．（5分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)(21)n n a n =--，则2019(S = ) A ．2019B ．2019-C ．4037-D ．403710．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为( )A ．174π B 1717C ．172πD 171711．（5分）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221y x -=，[1y ∈，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为( )A ．1B ．2C ．3D ．2.512．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()2()xf x f x '+=，12()22f e=，若对任意正数a ，b 都有2221311(())224644x abf b e a -<++，则x 的取值范围是( ) A ．(2,1)-- B ．(,1)-∞-C ．1(1,)2-D ．1(0,)2二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为 ． 14．（5分）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有 种不同分法．（结果用数字作答）15．（5分）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[ϕπ∈-，]π，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米)关于t （分钟）的解析式为 ．16．（5分）已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题： ①若直线BC 过点3(,0)8M ，则存在ABC ∆使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的重心；②若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形； ③存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，||2BM =，则ABC ∆的面积为23． 其中正确的序号为 ．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，26b =，2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，求二面角1D BC C --的大小．19．（12分）已知在正项数列{}n a 中，首项12a =，点1(,n n A a a +在双曲线221y x -=上，数列{}n b 中，点(n b ，)n T 在直线112y x =-+上，其中n T 是数列{}n b 的前n 项和．（1）求数列{}n a 、{}n b 的通项公式； （2）求使得1|1|2020n T -<成立n 的最小值； （3）若n n n c a b =g ，求证：数列{}n c 为递减数列．20．（12分）已知抛物线2:4C y x =上一点(2,1)A ，D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧． （1）求证：DA 平分MDN ∠；（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 21．（12分）已知函数()f x lnx ax =-，0a >．（1）若()f x a -„对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在01(x x ∈，2)x ，使0()k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：22231(2)()()224n n ln ln ln n n +++⋯+>+． （二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y经过伸缩变换2x y y ⎧'⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=． （1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，0c >设函数()||||f x x b x c a =-+++，x R ∈． （1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集； （2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a +++++++…．2019-2020学年黑龙江省哈尔滨三中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）设集合{|1}P x x =„，集合1|1Q x x ⎧⎫=⎨⎬⎩⎭„，则(P Q =I )A ．ϕB ．{1}C ．{|0}x x <D ．{|0x x <或1}x =【解答】解：Q 111{|1}{|0}{|0}{|1x x Q x x x x x x x x--====剟厖或0}x <又{|1}P x x =Q „， {|0P Q x x ∴=<I 或1}x =故选：D ．2．（5分）设复数1z i =，21z i =+，则复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于( ) A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限【解答】解：复数1z i =，21z i =+，则复数12(1)1z z z i i i ==+=-+g ． 复数对应的点的坐标(1,1)-，复数12z z z =g 在复平面内对应的点位于第二象限． 故选：B ．3．（5分）设函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩„，则满足(1)(2)f x f x +<的x 的取值范围是( )A ．(-∞，1]-B ．(0,)+∞C ．(1,0)-D ．(,0)-∞【解答】解：函数2,0()1,0x x f x x -⎧=⎨>⎩„，的图象如图：满足(1)(2)f x f x +<，可得：201x x <<+或210x x <+„， 解得(,0)x ∈-∞． 故选：D ．4．（5分）已知椭圆22143x y +=，则与椭圆相交且以点(1,1)A 为弦中点的直线所在方程为()A ．3470x y ++=B ．2570x y +-=C ．3410x y -+=D ．3470x y +-=【解答】解：设(,)A x y ，(,)B x y ''，由题意知22x x y y '+=⎧⎨'+=⎩，则2222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨''⎪+=⎪⎩， 两式相减得：2222043x x y y ''--+=，整理得：3()34()4y y x x x x y y ''-+=-=-''-+， 所以34k =-，直线方程为：31(1)4y x -=--，即3470x y +-=，故选：D ．5．（5分）“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”，子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”．“天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按照干支顺序相配，构成了“干支纪年法”，其相配顺序为：甲子、乙丑、丙寅⋯⋯癸酉、甲戌、乙亥、丙子⋯⋯癸未、甲申、乙酉、丙戌⋯⋯癸巳⋯⋯癸亥，60为一个周期，周而复始，循环记录．按照“干支纪年法”，中华人民共和国成立的那年为己丑年，则2013年为()A ．甲巳年B ．壬辰年C ．辛卯年D ．癸巳年【解答】解：从1949年到2009年，总共经过了60年； 从2009年到2013年，总共经过了5年； 所以天干中的己变为癸，地支中的丑变为巳，即2020年是“干支纪年法”中的癸巳年． 故选：D ．6．（5分）设m ，n 是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面 ①m α⊂，//n α，则//m n ； ②//αβ，//βγ，m α⊥，则m γ⊥； ③n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β； ④若//m α，//n β，//m n ，则//αβ． 上述四个命题中，正确的个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4【解答】解：若m α⊂，//n α，则m 与n 平行或异面，①错误；若//αβ，//βγ，则由平行公理得//αγ，又因为m α⊥，所以m γ⊥，故②正确； 若n αβ=I ，//m n ，//m α，则//m β或m β⊂，故③错误； 若//m α，//n β，//m n ，则α与β平行或相交；故④错误， 故选：A ．7．（5分）在ABC ∆中，1CA =，3CB =，2ACB π∠=，点M 满足3CM CB CA =+u u u u r u u u r u u u r，则(MA MB =u u u r u u u r g) A ．3B ．6C ．9D ．0【解答】解：建立平面直角坐标系如图所示，由题意知，(0,0)C ，(3,0)B ，(0,1)A ； ∴(3,0)CB =u u u r ，(0,1)CA =u u u r， ∴3(3,3)CM CB CA =+=u u u u r u u u r u u u r，∴(3,2)MA CA CM =-=--u u u r u u u r u u u u r， (0,3)MB CB CM =-=-u u u r u u u r u u u u r，则30(2)(3)6MA MB =-⨯+-⨯-=u u u r u u u rg ．故选：B ．8．（5分）由直线1y x =-上的点向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，则切线长的最小值为()A ．1B ．2C D 【解答】解：根据题意，设P 为直线1y x =-上一点，过点P 向圆22(2)(3)1x y -+-=引切线，T 为切线，圆22(2)(3)1x y -+-=的圆心为C ，其坐标为(2,3)，半径1r =，则切线长||PT ==， 要使切线长最小，必须是||PC 的值最小，又由||PC 的最小值d ==则切线长||PT 1=； 故选：A ．9．（5分）数列{}n a 的前n 项和为n S ，且(1)(21)n n a n =--，则2019(S = ) A ．2019B ．2019-C ．4037-D ．4037【解答】解：(1)(21)n n a n =--，可得20191357911(40341)(40361)(40381)S =-+-+-+-⋯--+--- 22240372100940372019=++⋯+-=⨯-=-．故选：B ．10．（5分）已知某几何体的三视图如图，则该几何体的外接球的表面积为( )A．174πB．1717πC．172πD．1717π【解答】解：由题意可知几何体是三棱锥，是正方体的一部分如图：底面BCD是等腰三角形，边长为：2，5，5，外接圆的半径为r，可得222(2)1r r=-+，解得54r=，三棱锥的外接球的半径为R，2225934(2)1616R r r=+-=+=，外接球的表面积为：34174162ππ⨯=．故选：C．11．（5分）一个工业凹槽的轴截面是双曲线的一部分，它的方程是221y x-=，[1y∈，10]，在凹槽内放入一个清洁钢球（规则的球体），要求清洁钢球能擦净凹槽的最底部，则清洁钢球的最大半径为()A ．1B ．2C ．3D ．2.5【解答】解：由题意画出曲线的图象，设小球的截面圆心为：0(0,)y ，设双曲线上的点(,)x y ，点到圆心的距离的平方22222220000()1()221r x y y y y y y y y y =+-=-+-=-+-，对称轴02y y =若2r 最小值在(0,1)时取得，则小球触及最底部，故二次函数的对称轴在1y =的左边，所以012y „，02y „， 所以0211r <-=„， 故选：A ．12．（5分）已知定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()2()xf x f x '+12()22f e=，若对任意正数a ，b 都有2221311(())224644x abf b e a -<++，则x 的取值范围是( ) A ．(2,1)-- B ．(,1)-∞- C ．1(1,)2-D ．1(0,)2【解答】解：令2()()x g x e f x =，则2()()xg x f x e =，且222()2()()[2()()]x x x g x e f x e f x e f x f x e x '=+'=+'=则22222()()2()2()2()()()x x x x x g x e g x e g x g x e x g x f x e e '-'--'===g g ，令()2()h x ex g x =，则()2()22x xh x ex g x xx'=-'=，令()0h x '>，解得102x <<；令()0h x '<，解得12x >， ∴121112122()()2()2()02222e e eh x h e g ef ==-==„，()0f x ∴'„在(0,)+∞上恒成立，()f x ∴在(0,)+∞上递减；又222222111114()4644464882ab ab ab f b e a b e a ++=+++==…， ∴131(())()222x f f -<，∴13()022131()222x x ⎧->⎪⎪⎨⎪->⎪⎩，解得1x <-． 故选：B ．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）若双曲线的渐近线方程为2y x =±，且焦点在y 轴上，则双曲线的离心率为． 【解答】解：Q 双曲线的焦点在y 轴上，∴设双曲线的方程为22221(0,0)y x a b a b-=>>可得双曲线的渐近线方程是ay x b =±，结合题意双曲线的渐近线方程是2y x =±，得2ab=， 2b a ∴=，可得：2224()c a a -=，即2245c a =，此双曲线的离心率e =．． 14．（5分）将5本不同的书分给甲、乙、丙三人，一人三本，其余两人每人一本，则有 60 种不同分法．（结果用数字作答）【解答】解：第一步：一人三本的方法：13235554333021C C C ⨯==⨯=⨯g g ， 第二步，剩余的分给另外两人：222A =， 所以共有：30260⨯=种方法； 故答案为：60．15．（5分）如图，摩天轮上一点P 在t 时刻距离地面高度满足sin()y A t b ωϕ=++，[ϕπ∈-，]π，已知某摩天轮的半径为50米，点O 距地面的高度为60米，摩天轮做匀速转动，每3分钟转一圈，点P 的起始位置在摩天轮的最低点处．则y （米)关于t （分钟）的解析式为250sin()6032y t ππ=-+ ．【解答】解：（1）由题意， 50A =，60b =，3T =；故23πω=， 故250sin()603y t πϕ=++； 则由50sin 6010ϕ+=及[ϕπ∈-，]π得，2πϕ=-；故250sin()6032y t ππ=-+． 故答案为：250sin()6032y t ππ=-+． 16．（5分）已知ABC ∆的三个顶点A 、B 、C 均在抛物线2y x =上，给出下列命题： ①若直线BC 过点3(,0)8M ，则存在ABC ∆使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的重心；②若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形； ③存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心； ④若边AC 的中线//BM x 轴，||2BM =，则ABC ∆的面积为23． 其中正确的序号为 ①② ．【解答】解：①若直线BC 过点3(,0)8M ，则当A 为坐标原点时，(0,0)A ，设1(B x ，1)y ，2(C x ，2)y ，则由重心坐标公式可得，ABC ∆的重心的横坐标为121131(0)3344x x ++=⨯=，纵坐标为0，∴抛物线2y x =的焦点1(4，0)为ABC ∆的重心，故①正确；②若直线BC 过点(1,0)N ，取(4,2)B ，则202413BC k -==-， 过B 且与BC 垂直的直线方程为32(4)2y x -=--，联立2382y x y x ⎧=-+⎪⎨⎪=⎩，解得42x y =⎧⎨=⎩或64983x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩． ∴若直线BC 过点(1,0)N ，则存在点A 使ABC ∆为直角三角形，故②正确；设以1(4，0)为圆心的圆的方程为2221()4x y r -+=，联立22221()4x y r y x⎧-+=⎪⎨⎪=⎩，得221681160x x r ++-=． Q 12102x x +=-<，∴方程221681160x x r ++-=至多有一个正根，即圆为2221()4x y r -+=与抛物线2y x =至多有两个交点，∴不存在ABC ∆，使抛物线2y x =的焦点恰为ABC ∆的外心，故③错误；④如图，根据题意设2(A a ，)a ，2(B b ，)b ，2(C c ，)c ，不妨设0a <，M Q 为边AC 的中点，22(2a c M +∴，)2a c +，又//BM x 轴，则2a cb +=， 故2222222()()||||||22244a c a c a c a c BM b +++-=-=-==，2()8a c ∴-=，即22a c -=-设A 到BM 的距离为h ，故122||2||2||||2222ABC ABM a cS S BM h a b a a c ∆∆+==⨯=-=-=-=g D 错误．∴正确的序号为①②．故答案为：①②．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤，第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．（12分）ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且3a =，b =，2B A =． （Ⅰ）求cos A 的值； （Ⅱ）求c 的值．【解答】解：（Ⅰ）ABC ∆Q 中，3a =，b =2B A =，∴由正弦定理得：3sin sin 2A A =，即2sin cos sin 3A A A =，cos A ∴=； （Ⅱ）由（1）知cos A =(0,)A π∈，sin A ∴，又2B A =， 21cos cos22cos 13B A A ∴==-=，(0,)B π∈，sin 3B ∴=， 在ABC ∆中，1sin sin()sin cos cos sin 3C A B A B A B =+=+=，3sin 5sin a Cc A∴===． 18．（12分）如图，直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．（1）证明：DE ⊥平面11BCC B ；（2）已知直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，求二面角1D BC C --的大小．【解答】解：（1）证明：直三棱柱111ABC A B C -中，90BAC ∠=︒，AB AC =，D 、E 分别为1AA 、1B C 的中点．以A 为原点，AB 为x 轴，AC 为y 轴，1AA 为z 轴，建立空间直角坐标系，设2AB AC ==，1AA t =，则(2B ，0，0)，(0C ，2，0)，1(2B ，0，)t ，(0D ，0，)2t ，(1E ，1，)2t，(2BC =-u u u r，2，0)，1(0BB =u u u r ，0，)t ，(1DE =u u u r ，1，0)， Q 0BC DE =u u u r u u u rg ，10BB DE =u u u r u u u r g ，BC DE ∴⊥，1BB DE ⊥， 1BC BB B =Q I ，DE ∴⊥平面11BCC B ．（2）解：1(0A ，0，)t ，1(2B C =-u u u u r ，2，)t -，1(0AA =u u u r，0，)t ， Q 直线1B C 与1AA 所成的角为45︒，21111211||2|cos ,|||||8B C AA B C AA B C AA t t∴<>===+u u u u r u u u ru u u u r u u u r g u u u u r u u u r g g ，解得22t =(0D ∴，02)，1(0C ，2，22)，(2BC =-u u u r，2，0)，(2BD =-u u u r ，02)，1(2BC =-u u u u r ，2，22)，设平面BDC 的法向量(n x =r，y ，)z ，则220220n BD x z n BC x y ⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩u u u r r g u u u r r g ，取1x =，得(1n =r ，12)， 设平面1BCC 的法向量(m x =r，y ，)z ，则1220 2222m BC x ym BC x y z⎧=-+=⎪⎨=-++=⎪⎩u u u rrgu u u u rrg，取1x=，得(1m=r，1，0)，设二面角1D BC C--的大小为θ．则||2cos||||42m nm nθ===r rgr rg g，4πθ∴=．∴二面角1D BC C--的大小为4π．19．（12分）已知在正项数列{}na中，首项12a=，点1(,n nA a a+在双曲线221y x-=上，数列{}nb中，点(nb，)nT在直线112y x=-+上，其中nT是数列{}nb的前n项和．（1）求数列{}na、{}nb的通项公式；（2）求使得1|1|2020nT-<成立n的最小值；（3）若n n nc a b=g，求证：数列{}nc为递减数列．【解答】（1）解：由题意，点1(,)n nA a a+在双曲线221y x-=上，则11n na a+-=．∴数列{}na是以2为首项，1为公差的等差数列，2(1)11na n n∴=+-=+g，*n N∈．又Q点(nb，)nT在直线112y x=-+上，则112n nT b=-+．当1n=时，111112b T b==-+，解得123b=；当2n …时，11111122n n n n n b T T b b --=-=-++-， 整理，得113n n b b -=．∴数列{}n b 是以23为首项，13为公比的等比数列，1212()333n n n b -∴==g ，*n N ∈．（2）解：由（1），得11211112233n n n n T b =-+=-+=-g ．则111|1||11|332020n nn T -=--=<， 即32020n >．63729=Q ，732187=， n ∴的最小值为7．（3）证明：由（1），得22(1)(1)33n n n n n n c a b n +==+=g g ． 1112(2)2(1)420333n n n n n n n n c c ++++++∴-=-=-<，*n N ∈． 1n n c c +∴<对任意*n N ∈恒成立．∴数列{}n c 为递减数列．20．（12分）已知抛物线2:4C y x =上一点(2,1)A ，D 与A 关于抛物线的对称轴对称，斜率为1的直线交抛物线于M 、N 两点，且M 、N 在直线AD 两侧． （1）求证：DA 平分MDN ∠；（2）点E 为抛物线在M 、N 处切线的交点，若EMN DMN S S ∆∆=，求直线MN 的方程． 【解答】解：（1）由题意如图，由题意抛物线的对称轴为y 轴，可知(2,1)D -， 设直线MN 的方程为y x b =+，(,)M x y ''''，(,)N x y ''，联立直线与抛物线的方程整理得：2440x x b --=，4x x '+=，4xx b '=-， 所以11(1)(2)(1)(2)2(1)()4(1)2(4)4(1)4(1)022(2)(2)(2)(2)(2)(2)DN DM y y x b x x b x x x b x x b b b b k k x x x x x x x x '''''-''-+-''++''+-+''+++''+--+++-+=+====''''+''++''++''++''+，所以DN DM k k =-， 所以DA 平分MDN ∠；（2）由24y x =，24x y =，所以2xy '=，所以在M 处的切线方程为：22()2424x x x x y x x x ''''''''=-''+=-①， 同理在N 处的切线方程为：224x x y x ''=-②，①②联立和（1）解得：22x x x '+''==，4x x y b '''==-，所以E 的坐标为：(2,)b -，由（1）直线:0MN x y b -+=及题意得：22=，整理得：231450b b +-=，解得：13b =或5-，又因为且M 、N 在直线AD 两侧，经检验13b =符合题意， 所以直线MN 的方程为13y x =+．21．（12分）已知函数()f x lnx ax =-，0a >．（1）若()f x a -„对0x ∀>恒成立，求实数a 的取值集合；（2）在函数()f x 的图象上取定点1(A x ，1())f x ，2(B x ，212())()f x x x <，记直线AB 的斜率为k ，证明：存在01(x x ∈，2)x ，使0()k f x '=成立；（3）当*n N ∈时，证明：22231(2)()()224n n ln ln ln n n +++⋯+>+． 【解答】解：（1）()f x a -„对0x ∀>恒成立，即0lnx ax a -+„对任意0x >都成立， 构造函数()(0)g x lnx ax a x =-+>，则()0max g x „，11()axg x a x x-'=-=， 令()0g x '=，解得1x a=， 当1(0,)x a ∈时，()0g x '>；当1(,)x a∈+∞，()0g x '<；故11()()10max g x g ln a a a==-+„，即10(0)lna a a -+>…，设h （a ）1(0)lna a a =-+>，则11()1ah a a a-'=-=， 令h '（a ）0=，解得1a =，当(0,1)a ∈时，h '（a ）0>；当(1,)a ∈+∞时，h '（a ）0<； 故h （a ）max h =（1）0=，即h （a ）10lna a =-+„，而又需10lna a -+…，故1a =； （2）证明：作辅助函数211121()()()()()()f x f x F x f x f x x x x x -=----，则2121()()()()f x f x F x f x x x -'='--，显然12()()F x F x =，由导数的几何意义可知，存在01(x x ∈，2)x ，使得210021()()()()0f x f x F x f x x x -'='-=-，即21021()()()f x f x f x x x -'=-，即0()f x k '=，即得证．（3）证明：由（1）知，1lnx x -„，则11ln x x-…，取11()n n N x n +=∈g ，则111n ln n n +>+，则2211111()(1)(1)(2)12n ln n n n n n n +>>=-+++++， ∴2223111111111(2)()()2233412222(2)n nln ln lnn n n n n +++⋯⋯+>-+-+⋯⋯+-=-=++++，即得证．（二）选考题：共10分．请考生在第22，23题中选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系xOy 中，将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y经过伸缩变换2x y y⎧'⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线2C 的图形．以坐标原点O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，已知直线:(cos sin )8l ρθθ-=． （1）求曲线2C 的普通方程和直线l 的直角坐标方程；（2）点P 为曲线2C 上的任意一点，求点P 到直线l 的距离的最大值及取得最大值时点P 的坐标．第21页（共21页）【解答】解：（1）将曲线1cos :(sin x C y θθθ=⎧⎨=⎩为参数）上任意一点(,)P x y经过伸缩变换2x y y⎧'=⎪⎨'=⎪⎩后得到曲线22sin x C y θθ⎧'=⎪⎨'=⎪⎩的图形．整理得22134x y +=．（2）设点,2sin )P θθ，直线:(cos sin )8l ρθθ-=转换为直角坐标方程为：80x y --=．所以点,2sin )P θθ到直线80x y --=，的距离d ==，当sin()1θα+=-时，max d =+，此时点(P ．[选修4-5：不等式选讲]23．已知0a >，0b >，0c >设函数()||||f x x b x c a =-+++，x R ∈．（1）若2a b c ===，求不等式()7f x >的解集；（2）若函数()f x 的最小值为2，证明：4199()2a b c a b b c c a +++++++…．【解答】解：（1）当2a b c ===时，22,2()|2||2|26,2222,2x x f x x x x x x +>⎧⎪=-+++=-⎨⎪-+<-⎩剟．()7f x >Q ，∴2272x x +>⎧⎨>⎩或2272x x -+>⎧⎨<-⎩， ∴52x <-或52x >，∴不等式的解集为55(,)(,)22-∞-+∞U ．（2）()|||||()()|||f x x b x c a x b x c a b c a b c a =-+++--++=++=++Q …， ()2min f x b c a ∴=++=， ∴4191419()(222)2a b c a b b c c a a b b c c a ++=++++++++++21922=…， ∴4199()2a b c a b b c c a +++++++…。