H 2 L2
0
0
CI
M 12
0 0
W2 H2 0
0
L2 W 2
Z
结果是对角矩阵，此时坐标系{C}的坐标轴是刚体的
惯性主轴。
L X
H Y
W
6
刚体的牛顿-欧拉方程
在动力学分析过程中，把刚体的运动分解为质心的平移运动和绕质心的转动 。一般将连体坐标系的原点固定在刚体的质心，这样坐标原点的运动描述刚 体的平移运动，坐标系的转动描述刚体绕质心的旋转运动。
m2 L1LC 2 s2
K
1
1 2
q&T
M
1
q&
0
m2
L1LC 0
2
s2
&&12
m2
L1LC
2
s2
&12 &1&2
M&q& 2mm22LL11LLCC22ss22&&22
m2
L1LC 0
2
s2&2
&&12
m2
L1LC
2
s2&2 12
1 0
&&12
m2L1LC2s2 2&1&2 &22 m2 L1LC 2 s2&1&2
&1
其中
M11 IC1 IC2 m1L2C1 m2 L12 L2C2 2L1LC2c2
&2
M11 M 21
M M
12 22
&&12
M 21 M12 IC2 m2 (L2C2 L1LC2c2 ) M 22 IC2 mL2C2
取固定在基座处的坐标原点为势能零点，系统的总势能为，
第6章 机器人动力学
机器人的运动是通过在关节轴上施加驱动力来实现的。机器人运动与驱动 力的关系称为机器人动力学，是本章要讨论的主要问题。
机器人动力学问题分为两类：
一类是已知作用在机器人上驱动力随时间的变规律，求机器人的运动规 律（位置、速度和加速度轨迹），称为机器人正动力学问题；
另一类是已知机器人随时间的运动规律，求期望的驱动力，称为机器人
L mgl sin
代入到拉格朗日方程得系统的动力学方程
ml 2&& mgl sin
计算结果与采用牛顿欧拉方法计算的结果相同。
Ic1 Ic2
例6-5 如图6-7所示两连杆平面机械臂。连杆 长都分别为L1和L2，连杆质量分别为m1和m2，质
Y
心到杆端点距离分别为Lc1和Lc2，两杆绕质心转动
惯量分别为Ic1和Ic2，两个关节上作用驱动力矩1和
式（6-14）或（6-15）称为第二类拉格朗日方程。
8
y
例6-4 如图6-6所示单摆由一根无质量杆末端连接一集中质 量m，杆长为l，其上作用力矩，建立系统的动力学方程。
x
l
解：① 牛顿-欧拉方法
单摆运动可以简化为刚体的定轴转动，其动力学方程为 I&& N
转动惯量和合外力矩计算如下， I ml2 N mgl sin
d dt
M
q q&
P q
K q
M&q&
Mq&&
1 2
q&T
M q
q&
P q
M (q)q&& C(q,q&) G τ
616
其中M是对称正定质量矩阵，C是离心力和柯氏力项，G是重力项。C和G如下：
C&T 2
M q
q&
,
G
P q
下面计算各量的具体值，
K
2
1 2
&1
&2
2m2 L1LC 2 s2
V
AI xy dv
I xx I xy
I xz
I xy I yy I yz
I I
xz yz
Izz
I yy V x2 z2 dv
I xz
xz dv
V
（6-8）
Izz V x2 y2 dv
I yz
yz dv
V
其中dv表示单元体，表示单元体密度，单元体的位置Ar =[x y z]T。
两杆的转动角速度分别为 1 &1 , 2 &1 &2
因此，两杆的动能为，
K1
1 2
m1
x&C21 y&C21
1 2
IC1&12
1 2
IC1 m1L2C1
&12
1
K2 2 m2
x&C2 2 y&C2 2
1 2 IC2
&1 &2 2
11
1 2
m2
L12&12
式（6-11）和（6-12）一起称为刚体的牛 顿-欧拉方程。分析机械臂的动力学问题时 ，首先对每个连杆列出牛顿-欧拉方程，同 时需要分析连杆间的速度、加速度传递关 系以及力的传递关系。
ω
vc
C
F
N
7
拉格朗日方程
上节介绍牛顿-欧拉方程是采用几何矢量方法建立每个连杆的动力学方程，方程 中会出现约束力项。拉格朗日方程采用解析方法建立系统的动力学方程，在理 想约束条件下，动力学方程中不出现约束力项。
刚体质心的平动用牛顿第二定律描述
F Mv&c
6-11）
其中M表示刚体质量，F表示作用在刚体上的合外力矢量，v&c 表示质心速度矢量。
刚体绕质心的转动用欧拉方程描述
N CIω& ω CIω （6-12）
其中CI表示刚体在质心坐标系{C}下表示的惯性张量，N表示作用在刚体上的合
外力矩矢量，表示角速度矢量，ω&表示角加速度矢量。
定义拉格朗日函数
L=K-P
其中K是系统动能，P是系统势能，系统动力学方程为
d L L
Fi
dt
() q&i
qi
,
i
1, 2,K
,n
(6-14)
其中qi是描述系统位置的坐标，称为广义坐标，Fi是作用在qi上的广义力。分量 形式的方程(6-14)也可以写成矢量形式如下：
F
d dt
(Lq&)
L q
(6-15)
Z
度为r，质量为M，计算其惯性张量。
H
解：单元体dv=dxdydz，根据（6-8）得：
Y
W
L X
4
Z
H
Ixx V
y2 z2 dv H 0
LW 00
y2 z2
dxdydz
Y W L
W H L y2 z2 dydz W H L3 / 3 Lz2 dz
00
0
X
mg
因此，系统的动力学为
ml2&& mgl sin
② 拉格朗日方程 选择为描述单摆位置的广义坐标，
x l sin , y l cos x& l&cos , y& l&sin
系统的动能 K 1 mv2 m x&2 y&2 m l2&2 cos2 l2&2 sin2 1 ml2&2
选择1 和 2为描述连杆位置的广义坐标，先 1 用广义坐标表示质心的位置，
m1
1
X
xC1 Lc1c1 , yC1 LC1s1
xC2 L1c1 LC2c12 , yC2 L1s1 LC2s12
再对时间求导得到质心的速度
x&C1 LC1s1&1 , y&C1 LC1c1&1
x&C2 L1s1&1 LC2s12 &1 &2 , y&C2 L1c1&1 LC2c12 &1 &2
L2C 2
&1
&2
2
2L1LC 2c2&1
&1
&2
1 2
IC2
&1 &2 2
1 2
IC
2
m2
L12 L2C2 2L1LC2c2
&12
1 2
I C 2
mL2C 2
&22
I C 2
m2 L2C2
m2 L1LC 2c2
&1&2
系统的总动能可以表示为
K
K1
K2
1 2
q&T Mq&
1 2
22
2
2
取坐标原点为势能零点，则系统的势能 P mgy mgl cos
系统的拉格朗日函数
L
K
P
1 2
ml 2&2
mgl
cos
9
Fi
d dt
L () q&i
L qi
,
i
1, 2,K
,n
(6-14)
根据614式计算相应的导数
L
1 2
ml 2&2
mgl
cos
d
dt
L
&
d dt
ml2& ml2&&
P m1gLC1s1 m2 g(L1s2 LC2s12 )
系统的拉格朗日函数为 L K P
直接代入到拉格朗日方程614，即可得到系统的动力学方程。当然，导数 的计算过程是比较复杂的。下面分析方程的结构，
12
拉格朗日方程可以表示为
d dt
L q&
L q
d dt
K q&