二连杆机械手系统的总动能和总位能分别为：
K K1 K2
1 2
(m1
m2 )d1212
1 2
m2
d
2 2
(1
2 )
2
m2 d1d 2
cos 2 (12
12 )
(4.3)
P P1 P2
(m1 m2 )gd1 cos1 m2 gd2 cos(1 2 )
(4.4)
4.1 刚体动力学
7
4.1.2 动力学方程的两种求法
2
4.1.1 刚体的动能与位能KFra bibliotek1 2
M1 x&12
1 2
M0 x&02
P
1 2
k( x1
x0 )2
M1 gx1
M
0 gx0
D
1 2
c(
x&1
x&0 )2
错误！
W Fx1 Fx0
F
x0
F
x1
k
c
M0
图4.1 一般物体的动能与位能
4.1 刚体动力学
3
4.1.1 刚体的动能与位能
x 0, x1 为广义坐标
4
4.1.1 刚体的动能与位能
x0 0, x0和x1均为广义坐标，有下式：
M1 x1 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M1 g F M 0 x0 c( x1 x0 ) k( x1 x0 ) M 0 g F
或用矩阵形式表示为：
M1
0
0 M0
x1 x0
连杆代号，n为连杆数目。
4.1 刚体动力学
12
牛顿-欧拉动态平衡法
质量 m1和m2的位置矢量 r1和r（2 见图4.3）为：
y
r1 r0 (d1 cos1 )i (d1 sin1 ) j (d1 cos1)i (d1 sin1) j
v1
T1
x
d1
r2 r1 [d2 cos(1 2 )]i [d2 sin(1 2 )] j
cos 2
D22
m2
d
2 2
耦合惯量
D12
m2
d
2 2
m2d1d2
cos 2
m2
(d
2 2
d1d2
cos 2 )
向心加速度系数
D111 0
D122 m2d1d 2 sin 2 D211 m2d1d 2 sin 2
D222 0
4.1.2 动力学方程的两种求法
9
拉格朗日功能平衡法
哥氏加速度系数 D112 D121 m2d1d2 sin 2
机器人学基础
1
4.1 刚体动力学
拉格朗日函数L被定义为系统的动能K和位能P之
差，即:
LKP
(4.1)
系统动力学方程式，即拉格朗日方程如下：
Fi
d dt
L qi
L qi
,i
1,2,
n
(4.2)
式中，q i 为表示动能和位能的坐标，qi为相应的速 度，而Fi为作用在第i个坐标上的力或是力矩。
第四章 机器人动力学
D212 D221 0
重力项
D1 (m1 m2 )gd1 sin1 m2 gd2 sin(1 2 ) D2 m2 gd2 sin(1 2 )
4.1.2 动力学方程的两种求法
10
拉格朗日功能平衡法
表4.1给出这些系数值及其与位置 2的关系。
负 载
2
cos 2
表4.1
D11
D12
D22
[m2
d
2 2
m2 d1d 2
cos 2 ]2
c11
(2m2 d1d 2
sin 2 )12
(m2d1d2 sin 2 )22 [(m1 m2 )gd1 sin1 m2d2 g sin(1 2 )] (4.12)
I1
If
地 0
1
6
2
1
6
2
面 90
0
4
1
1
4
3
空 180
-1
2
0
1
2
2
载 270
0
4
1
1
4
3
地 0
1
18
8
面 90
0
10
4
满 180
-1
2
0
载 270
0
10
4
4
18
2
4
10
6
4
2
2
4
10
6
外 空 间 负 载
0 90 180 270
1 0 -1 0
402
200
100
402
2
202
100
100
202 102
拉格朗日功能平衡法
二连杆机械手系统的拉格朗日函数L为：
LKP
1 2
(m1
m2 )d1212
1 2
m2
d
2 2
(12
212 22 )
m2d1d2 cos 2 (12 12 ) (m1 m2 )gd1 cos1 m2 gd2 cos(1 2 )
求得力矩的动力学方程式：
(4.5)
T1 T2
第四章 机器人动力学
分析机器人操作的动态数学模型，主要采用 下列两种理论：
动力学基本理论，包括牛顿—欧拉方程。 拉格朗日力学，特别是二阶拉格朗日方程。
对于动力学，有两个相反的问题：
其一是已知机械手各关节的作用力或力矩，求各 关节的位移、速度和加速度，求得运动轨迹。 其二是已知机械手的运动轨迹，即各关节的位移、 速度和加速度，求各关节所需要的驱动力或力矩。
D11
D21
D12 D22
12
D111 D211
D122 D222
1222
D112
D212
D121 D221
1221
D1 D2
(4.10)
4.1 刚体动力学
8
拉格朗日功能平衡法
比较可得本系统各系数如下：
有效惯量
D11
(m1
m2 )d12
m2
d
2 2
2m2 d1d 2
2
0
100
2
2
202
100
100
202 102
4.1.2 动力学方程的两种求法
11
4.1.2 动力学方程的两种求法
牛顿-欧拉动态平衡法 错误！
二连杆系统的动力学方程的一般形式为：
W d K K D P
,i 1,2, n
qi dt qi qi qi qi
(4.11)
式中的W、K、D、P和qi等的含义与拉格朗日法一样；i为
θ1
v2
r1 m1 T2
d2
[d1 cos1 d2 cos(1 2 )]i [d1 sin1 d2 sin(1 2 )] j
θ2
r2
m2
图4.3 二连杆机械
4.1.2 动力学方程的两种求法
13
2．牛顿-欧拉动态平衡法
可得:
T1
[(m1
m2 )d12
m2
d
2 2
2m2 d1d 2
cos 2 ]1
c c
c
c
x1 x0
k k
k
k
x1
x
0
F F
4.1 刚体动力学
5
4.1.1 刚体的动能与位能
二连杆机械手的动能和位能
y
T1
x
d1
θ1 (x1, y1)
m1
T2
d2
g
θ2
m2
(x2, y2)
图4.2 二连杆机器手（1）
4.1 刚体动力学
6
4.1.1 刚体的动能与位能
d dt
K x1
K x1
D
x1
P x1
W x1
其中，左式第一项为动能随速度（或角速度） 和时间的变化；第二项为动能随位置（或角度） 的变化；第三项为能耗随速度变化；第四项为 位能随位置的变化。右式为实际外加力或力矩。 表示为一般形式：
M1 x1 c1 x1 dx1 F M1 g
4.1 刚体动力学