吉林大学2006年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、(共30分)判断题1、若函数()f x 在(),a b 上Riemann 可积,则()2f x ⎡⎤⎣⎦在(),a b 也Riemann 可积;2、若级数1n n a ∞=∑收敛,则级数1n n a ∞=∑也收敛;3、任何单调数列必有极限;4、数列(){}1n-的上、下极限都存在; 5、区间(),a b 上的连续函数必能达到最小值; 6、sin x 在整个实轴上是一致连续的;7、若函数(),f x y 沿着任何过原点的直线连续,则(),f x y 在()0,0连续; 8、若函数()f x 在点0x 取极小值,则()00f x '=; 9、若()00f x '=,()00f x ''<,则()f x 在点0x 取极大值; 10、向量场()222222,,x y y z z x ---是无源场。
二、(共20分)填空题1、设()()sin u x y x y z =+++,则grad ()u =;2、设(),,F x y y z z x →=+++,则div ()F →=; 3、设(),,F x yz y zx z xy →=---,则rot ()F →=;4、设s 表示单位球面2221x y z ++=,则第一型曲面积分()2sx ds =⎰⎰;5、数列()2211n n n ⎧⎫+-⎨⎬⎩⎭的下极限为();三、(共20分)计算下列极限1、1200611lim n n k k →∞=⎛⎫⎪⎝⎭∑;2、01limx x→;3、111lim 200620071n n n n n →∞⎛⎫+++⎪++++⎝⎭L ; 4、120lim 1nn x dx x x→∞++⎰。
四、(共20分)判断下列级数的敛散性1、1200620072005nn nn ∞=-∑; 2、1n n u ∞=∑,其中()2120,,1,2,1n n n u n u n u n ->≤=+L 五、(10分)设函数()f x 在[]0,1两次连续可微,满足()()010f f ==且()10f x dx =⎰。
证明:存在()0,1ξ∈使得()0f ξ''=。
六、(10分)计算第二型曲线积分其中C 为单位圆周221x y +=,方向为顺时针方向。
七、(10分)证明,对任意0x >,都有八、(10分)设,,,a b αβ均为常数,且对任意x 都有 证明:0a b αβ====九、(10分)证明,不存在[)0,∞上的正的可微函数()f x ,满足 十、(10分)试构造区间[]0,1上的函数序列(){}n f x ,具有如下性质: (1)对每个n ,()n f x 是[]0,1上的正的连续函数; (2)对每个固定的[]0,1x ∈,()lim 0n n f x →∞=;(3)()10lim n n f x dx →∞=+∞⎰高等代数与空间解析几何卷一、(共32分)填空1、平面上的四个点()(),1,2,3,4i i x y i =在同一个圆上的充要条件为_____。
(要求用含有,i i x y 的等式表示); 2、设方阵A 只与自己相似,则A 必为_____;3、设111222333a b c A a b c a b c ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭为可逆矩阵,则直线121212x y z a a b b c c ==---与直线232323x y za ab bc c ==---的位置关系为_____。
(要求填写相交、平行、重合、异面四者之一);4、设()1234,,,A αααα=为四阶正方矩阵,其中1234,,,αααα均为四维列向量;1242βααα=+-,1233ααα=-,且234,,ααα线性无关。
求线性方程组AX β=的通解_____;二、(16分)求二次曲面22224246120x y z xz x y z --+--+-=的主方向; 三、(17分)设V 为n 维欧式空间,12,,,n u u u L 与12,,,n v v v L 为V 中向量,12,,,n u u u L 线性无关,且对任意的(),,1,2,,i j i j n =L 均有i j i j u u v v =。
证明,必有V 上的正交变换σ,使得四、(17分)设V 为数域Ω上的n 维向量空间,,στ均为V 上的线性变换,且满足0στστ++=。
证明:σττσ=五、(17分)设A 为实对称矩阵,证明,必有实对称矩阵B ,使得A B +为正定矩阵。
六、(17分)设V 为数域Ω上的2n 维向量空间,σ为V 上的线性变换,且()Ker V σσ=。
证明,存在V 的一个适当基底及Jordan 形矩阵A ,使得σ在该基底下恰好对应矩阵A 。
七、(17分)设V 为实数域上的全体n 阶方阵在通常的运算下所构成的向量空间,σ为V 上的线性变换,且对任意的A ,()T A A σ=。
1、求σ的特征值;2、对于每一个特征值,求其特征子空间;3、证明V 恰为σ的所有特征子空间的直接和。
八、(17分)设()ij n n A a ⨯=为n 阶实方阵,若对任意的()1,2,,i i n =L 均有1,nii ij i j ia a =≠>∑,则称A 为对角占优矩阵。
证明,对角占优矩阵必为可逆矩阵。
吉林大学2007年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、(共30分)判断题1、Riemann 函数在任何有限区间上都是Riemann 可积的;2、若无穷积分()0f x dx ∞⎰收敛,则无穷积分()0f x dx ∞⎰也收敛;3、任何单调递增且有下界的数列必有极限;4、有界数列的上、下极限都存在;5、连续函数一定是有界函数; 6在整个实轴上是一致连续的;7、若函数(),f x y 在()0,0处的两个偏导数,则(),f x y 在()0,0连续; 8、1sin x在()0,1内有无穷多个极大极小值点;9、若()00f x '=,则()f x 在点0x 必取极大值或极小值;10、向量场()222222,,y z z x x y ---是无源场。
二、(共20分)填空题1、设()222arctan u x y z =++,则grad ()u =;2、设()sin ,cos ,F x y x y z →=++,则div ()F →=; 3、设()222,,F x yz y zx z xy →=---,则rot ()F →=;4、设s 表示单位球面2221x y z ++=,则第一型曲面积分()()3sx y z ds ++=⎰⎰;5、数列()11nn n +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的上、下极限的和为();三、(共20分)计算下列极限1、222222lim 12n n n n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭L ; 六、(10分)计算第二型曲面积分其中∑为球面2221x y z ++=的内侧。
吉林大学2008年攻读硕士学位研究生入学考试试题数学分析卷一、 二、3、211y xdx e dy ⎰⎰4、()22234L xy x y ds +-⎰,L 为椭圆22143x y +=,周长为a 。
三、1、设()f x 于(),-∞+∞上二次连续、可微,存在不低于整数x 的常数0r >,使得()f x r '≥。
记((0),)f η∈+∞,证明:存在,ξ使()f ξη=2、()f x 和()g x 皆为区间[],a b 上的连续函数,(,)K x y 在[,][,]a b a b ⨯上二次连续,1()(,)()()bn n a f x K x y f y dy g x λ-=+⎰,其中λ为常数。
证明(1)、sup (,)1ba K x y dy λ<⎰时,()n f x 于(,)ab 一致收敛。
(2)、()f x 满足()(,)()ba f x K x y dy g x λ-=⎰ 3、()f x 在(),-∞+∞上具有连续的一阶导数。
()(0)(0)()()x x f f t f x t dt ϕϕ''=+-⎰求证:0()()()xx f t f x t dt ϕ=-⎰4、11,0(),1,2,...10,1n nx x nf x n x n⎧-≤≤⎪⎪==⎨⎪≤≤⎪⎩ 证明:()n f x 在(0,1)上不一致收敛,且11lim ()lim ()n n oo n n f x dx f x dx →∞→∞=⎰⎰5、()f x 在(),-∞+∞上具有连续的一阶导数,又0()()()xx f t f x t dt ϕ=-⎰,证明:0()()(0)()()xx f x f f t f x t dt ϕ''=+-⎰高等代数与空间解析几何卷一、1、求点(1,1,0)P 到平面1x y z ++=的距离。
2、求曲面2224x y yz ++=在点(1,1,1)P 处的切平面。
3、写出内积、外积和混合积的定义。
4、设1122()222n n n n n f x x x x x a ----=+++++L 为在有理数域上大于1的多项式,给出a 的两个非零值,使得相应的两个多项式分别可约,不可约。
5、在复数域上,当g 取何值时,多项式3()3f x x x g =++有重因式。
6、011101110A =,求正交矩阵P 及对角矩阵D ,使得T P AP D =7、V 是实数域上三元列向量空间,2021011a A a =,为n 阶正定矩阵。
定义T uv u Av =,,u v V ∀∈,则当a 满足什么条件时,V 为欧式空间。
8、当,a b 为何值时,5个平面230,04k k k k a x y z b k +++=≤≤经过一条直线。
9、求V 上的线性变换,στ,使**1,1σττσ=≠1、 设(),()f x g x 为有理数域上的两个非零多项式,且有无穷多个整数n ,使得()()f n g n 都是整数,证明:()()f xg x 是整数多项式。
2、 P 在曲线2221ax by cz ++=的充要条件是22221a b c dαβγ=++,其中d 是向量OP uuu r 的长度,,,αβγ是向量OP uuu r的方向余弦。
3、 V是数域Ω上的向量空间,σ是V 上的线性变换,记:*a σ=,a ∈Ω当且仅当V 是σ的特征子空间。
4、 假设A 是正定矩阵,证明:存在唯一的正定矩阵B ,使得2A B =。
5、 设V是数域Ω上的n 阶矩阵构成的向量空间,A V ∈,()f x 是A 的极小多项式,令{}()|()()U h A h x x =∈Ω,证明: (1)U 是V 的子空间,而且dim dim ()U f x =(2)()f x ∀不可约,则U 的每个非零元素都是可逆矩阵。