( M x tan ) 1 x tan M P dx EI tan
xM P dx
图乘法求位移公式为:
图乘法的 适用条件是 什么?
EI tan 1 xc yc EI EI
ip

yc
EI
例. 试求图示梁B端转角.
A
P
B B
MP
A
M 1 B 1
B
c
y c
ql 2 / 2
ql 2 / 8
例 4. 图示梁 EI 为常数，求C点竖向位移 。 q ql 2 / 8 ql 2 / 2
MP
A
l/2 C
1
q q
l/2
B
l/2
Mi
c
y c
C ql / 2 ql 2 / 8
ql 2 / 8 ql 2 / 4 ql 2 / 8
ql / 2
§3.4 图乘法及其应用
(Graphic Multiplication Method and its Applications)
刚架与梁的位移计算公式为：
iP MM P ds EI
在杆件数量多的情况下,不方便. 下面介绍 计算位移的图乘法.
一、图乘法
MM P ds EI 1 图乘法是Vereshagin于 M M P ds (对于等 截面杆) EI 1925年提出的，他当时 1 为莫斯科铁路运输学院 MM P dx (对于直杆) EI 的学生。
1 1
B
Mi
l
ql / 4
2
l
ql 2 / 4
1/ l
0 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
q
MP
ql / 4
1 2 ql 2 1 CD EI EI 3 8 2 ql 3 ql / 4 ( ) 24 EI
yc
三、应用举例
例 3. 已知 EI 为常数，求A点竖向位移 A 。 1 q q l
1
Mi
1/ 2
1 1 Pl 1 Pl 2 B ( l ) ( EI 2 4 2 16 EI
)
取 yc的图形必 须是直线,不能是曲 线或折线.
三、图形分解
求 B
A
MP
60
20
40 B
20
EI
20kN m 40kN m 10 m
1
Mi
1 1 2 B ( 10 60 EI 2 3 1 100 20 10 ) ( ) 2 EI
求B点水平位移,EI=常数。
2Pl 2l
A
MP
A
P
Pl l
l
B
MP
1
l
B
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
1 1 2 1 2l 3l B [ l Pl l Pl l l Pl l (l ) Pl l ] EI EI 2 3 2 3 2 11Pl 3 ( ) 3EI
yc
练习
求C、D两点相对水平位移 CD 。
P
Pl EI
C
D
P
l
EA A
MP
1
l l
1
EI Pl
B
l
Mi
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
N i N Pl 1 1 2 1 B Pl l l 4 (2 P)( 2) l EI EA EI 2 3 EA 4 Pl 3 4 Pl () 3EI EA
三、图乘法小结
1. 图乘法的应用条件： （1）等截面直杆，EI为常数； （2）两个M图中应有一个是直线；
y c 应取自直线图中。 2. 若 与 y c 在杆件的同侧， yc取正值；
（3） 反之，取负值。
3. 如图形较复杂，可分解为简单图形.
三、应用举例
例 1. 已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD。
若把二力杆换成弹簧,该如何计算?
B支座处为刚度k的弹簧，该如何计算C点竖向位移？
A
l
P C
2 l
B k
2
A
l 2
=1 C
l
B k
2
Si
l 4
SP P / 2
MP
Pl 4
y c
已知： E、I、A为常数，求 Cy 。
D
P A C B
a
l
2
l
2
解：作荷载内力图和单位荷载内力图
NP P / 2
A
l 2
D P
Ni 1 / 2
D
a
B
2
Pl 4
A
l
1 C
2
a
B
l 2
l 4
C l
MP
M
2 1 l Pl 2 l 1 1 P Pl 3 Pa Cy [( ) ] a () EI 2 2 4 3 4 EA 2 2 48 EI 4 EA
A
B
h
q
2
q
ql / 8
MP
1
1
h h
Mi
l
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图 yc 1 2 ql 2 CD lh EI EI 3 8 qhl 3 ( ) 12 EI
三、应用举例
例 2. 已知 EI 为常数，求铰C两侧截面相对转角 C 。 l q
A
C
1
例:求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角 B
q
A
1 2 ql 8 1 2
1
B
MP 图
M
图
解:
1 2 1 2 1 B [( l ql ) ] EI 3 8 2 1 ql 3 （ ） 24 EI
三、图形分解
求 B
MP
20
A
B
20kN m
20 A
40 B
EI
1 1 B 10 1 (20 EI 2 2 500 20 ) ( ) 3 3EI
1
Mi
1/ 2 2 / 3
1 1 2 B ( 10 20 EI 2 3 1 500 10 20 ) ( ) 2 3EI
当两个图形均 为直线图形时,取那 个图形的面积均可.
11ql 4 ( ) 12 EI
已知 EI 为常数，求B截面转角。
2kN/m
B
6kN
1
4
3m
MP
12
Mi
A
4m 2m
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
B yc
1 1 1 2 1 ( 4 12 1 4 4 ) EI EI 2 3 3 2 )
8 ( 3EI
已知 EI 为常数，求C、D两点相对水平位移 CD,并画出变形图。
ql
C
D
l
A
q
B
ql
1
q
1
l
ql 2
l
l
MP
Mi
解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
CD
yc
1 1 1 2 ql 2 2 2 2 ( l ql l l ql l l l) EI EI 2 3 2 3 8
MP
l
解: By

MM P EI ds
y c
EI 1 1 2 ( Pl l l Pl l l ) EI 2 3 4 Pl 3 () 3 EI
二、几种常见图形的面积和形心位置的确定方法
二次抛物线
hl n 1
C
h
l n2
( n 1)l n2
1 1 对称弯矩图 1 1
l
Mi
1
Mi
l
l
1
作变形草图
绘制变形图时，应根据弯矩图判断杆件的凹凸方向，注意 反弯点的利用。如：
Pl
P
P
1
1
1 1
练习
求B点水平位移。
4 EI
Pl
l
l
EI A
MP
EI
B P
Mi
1
l 解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图
yc
注意:各杆刚度 可能不同
1 1 2 1 B Pl l l 2 Pl l l EI EI 2 3 4 EI 5 Pl 3 () 8 EI
yc
三、应用举例
例 4. 图示梁EI 为常数，求C点竖向位移。
ql 2 / 2
MP
q ql 2 / 8
A
c
y c
l/2 C l/2
1
C
B
1 1 ql 2 1 l l EI EI 3 2 2 2
l/2
Mi
1 ql 3 () 24 EI
1 1 3ql 2 l 3 l l ql 2 l C ( ) EI EI 3 8 2 4 2 2 8 4 5ql 3 ( ) 128 EI
20kN m 10 m40kN m
A
40 B 40kN m
1
Mi
1/ 3
2/3
1 1 2 B ( 10 40 EI 2 3 1 1 500 10 20 ) ( ) 2 3 3EI
三、图形分解
求 B
MP
20 A
40 B
EI
20kN m 10 m40kN m
EI 1 1 l ql 2 3 l 1 l ql 2 2 l ( EI 3 2 8 4 2 2 2 4 3 2 l ql 2 1 l ) 2 8 2 2 17 ql 4 () 384 EI