G FR = 0
G F2
G R
G F3
G F2
G F3
G F4 4
G R′
o o
G F4
G F1
R′ R
平面汇交力系的平衡方程 物体在平面汇交力系作用下平衡的必要和充分条件 G 是合力等于零。
FR = 0
FR = (∑ Fxi ) 2 + (∑ Fyi ) 2 = 0
解析条件是各力在x轴和y轴上投影的代数和分别为零。 平面汇交力系的平衡方程：
FA + FB − P 1−P 2 −P 3 =0
例： 长度为l的均质细长杆，其重量W集中在中点 处，现在被水平力FP限制在如图所示位置。忽略 A、B二处的摩擦力。求平衡时 θ 与W、l、β、 FP 之间的关系式。
B
W FP A
θ
C
β
解： 1.受力分析 以AB杆为研究对象，其受 力图如图 2. 根据平衡条件确定θ角与W、l、 β、 FP之间的定量关系 注意：本题仅需确定θ角，无需求 解约束力，所以可以利用力矩 平衡方程求解θ角。但力矩中 心需选在FA和FB定量作用线的 交点D。
M O = ∑ M O ( Fi )
因为
FR′ = ( ∑ Fx ) 2 + (∑ Fy ) 2
M O = ∑ M O ( Fi )
⎧∑ Fx = 0 ⎪ ⎪ ⎨∑ Fy = 0 ⎪ ⎪ ⎩∑ M o = 0
平面任意力系的平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件： （1）各力在两个任选坐标轴上投影的代数和 分别等于零。 （2）各力对于任意一点的矩的代数和也等于零。
解得：
FBA = −7.32kN
∑F
y
=0
FBC − F1 cos 30D − F2 cos 60D = 0
解得：
FBC = 27.3kN
二、平面力偶系的平衡条件
平面力偶系总可以简化为图示情形。 若F=0，则力偶系平衡，而力偶矩等于 零。 反之，若已知合力偶矩等于零，则 或是F=0或是d=0，无论哪种情况，该 力偶系均平衡。因此可得结论： 平面力偶系平衡的必要与充分条件是：力偶系中各力 偶矩的代数和等于零。即：
y
XA YA
A
α x B G P G Q
例
悬臂吊车如图示，横梁AB长l＝2.5m；重量P＝1.2kN； 拉杆CB倾斜角α＝450，质量不计。载荷Q＝7.5kN； 求图示位置a＝2m时，拉杆的拉力和铰链A的约束反力。
其他形式方程的求解
C
∑X =0 G ∑m (F ) = 0
X A − T cos α = 0 l T sin α ⋅ l − P ⋅ − Qa = 0 A 2 G l m F = 0 Q ( l − a ) + P ⋅ − YA ⋅ l = 0 ∑ B 2 求解结果相同：
由几何关系可得
sin α = 0.6
解得：
FAx = −58N
FAy = −56N
FC = 70N
FAx = −58N
FAy = −56N
FC = 70N
以杆 DE 为研究对象，受力图和坐标系如图所示。建立 平衡方程 ∑ M E ( F ) = 0 : FDx × 0.2 + FC′ sin α × 0.08 = 0
不是两个独立的方程
∑ Fx = 0
∑ Fy = 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式
⎧∑ Fy = 0 ⎨ ⎩∑ M A = 0
⎧∑ M A = 0 ⎨ ⎩∑ M B = 0
各力不得与投影轴垂直
A, B 两点连线不得与各力平行
例 求：
尺寸如图； 已知： P 1 = 200kN, P 2 = 700kN, （1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
∑F
y
= 0:
′ cos α = 0 FDy − FC FDx = −16.8N
解得： FDy = 56N
例
G 已知： OA=R，AB= l, F , 不计物体自重与摩擦,
系统在图示位置平衡; 求： 力偶矩M 的大小，轴承O处的约束力， 连杆AB受力，冲头给导轨的侧压力。 解: 1）取冲头B,画受力图。
第三章
力系的平衡
第三章
力系的平衡
§3-1 平面力系的平衡条件与平衡方程 §3-2 简单的刚体系统平衡问题 §3-3 考虑摩擦时的平衡问题
§3-1 平面力系的平衡条件与平衡方程
一、平面汇交力系的平衡条件 多个汇交力的合成:
n K K FR = F1 + F2 + " + Fn = ∑ Fi i =1 K FR－ 该平面汇交力系的合力
W FP A D
B
θ
C
β
β
B W θ
E FP FA A
FB
θ
C
β
解：
l cosθ cosθ + l sin θ = l ( + sin θ ) tan β tan β
W FP A D
B
θ
C
β
DA = DE + EA =
l M F DA W = × − × cosθ ∑ D P 2 l cosθ = FP × l ( + sin θ ) − W × cosθ tan β 2 W = [ FP (cot β + tan θ ) − ] l cosθ = 0 2
G 解： 空载时， FB = 0,
为不安全状况
∑M
A
=0
4P3max－2P2=0 F3max=350kN
解得
75kN ≤ P3 ≤ 350kN
（2）P3=180kN时：
2m 2m
A
y
∑M
∑F
=0
4 P3 − 2 P2 − 14 P1 + 4 FB = 0
解得 解得
FB=870kN FA=210kN
=0
C
2. 写平衡方程
∑X =0 ∑Y = 0
X A − T cos α = 0 YA − P − Q + T sin α = 0
A
l 2
G l T sin α ⋅ l − P ⋅ − Qa = 0 ∑ mA F = 0 2 3. 解平衡方程
( )
a
l
α G P
T
B
G Q
⎛ l ⎞ T = ⎜ P ⋅ + Qa ⎟ l ⋅ sin α = 13.2kN ⎝ 2 ⎠ YA = 2.1kN X A = T cos α = 11.43kN
A A
A
C
A
A
A
l 2
B
A
G ∑ mA F = 0 G ∑ mB F = 0 G ∑ mC F = 0
a
l
α G P
T
B
( ) ( ) ( )
l T sin α ⋅ l − P ⋅ − Qa = 0 2 l Q ( l − a ) + P ⋅ − YA ⋅ l = 0 X A 2 l X A tan α ⋅ l − P ⋅ − Q ⋅ a = 0 2
静定问题
静不定问题
静定问题
静不定问题 静定问题 ：当系统中的未知量数目等于独立平衡方程的 数目时，则所有未知数都能由平衡方程求出。 静不定问题 ：结构的未知量的数目多于平衡方程的数目， 未知量就不能全部由平衡方程求出。
刚体系的平衡
刚体系平衡
刚体系中每一个刚体或部分处于平衡
选择每个刚体为研究对象列出平衡方程或选择刚 体系或某部分为研究对象，列出平衡方程
l T sin α ⋅ l − P ⋅ − Qa = 0 2
XA
A
l 2( )a源自lα G PT
B
G Q
3. 解平衡方程
y
YA
A
⎛ l ⎞ T = ⎜ P ⋅ + Qa ⎟ l ⋅ sin α = 13.2kN ⎝ 2 ⎠
α x B G P G Q
例
悬臂吊车如图示，横梁AB长l＝2.5m；重量P＝1.2kN； 拉杆CB倾斜角α＝450，质量不计。载荷Q＝7.5kN； 求图示位置a＝2m时，拉杆的拉力和铰链A的约束反力。
结论： 平面汇交力系合成的结果是一个合力，其大小和方 向由力多边形的封闭边来表示，其作用线通过各力的 汇交点。即合力等于各分力的矢量和(或几何和)。
平面汇交力系平衡的必要和充分条件是： 物体在平面汇交力系作用下，合力等于零。 即力多边形封闭（各力首尾连接）。 用矢量表示为： 物体上受有4个力 G F1
三矩式
⎧∑ M A = 0 ⎪ ⎨∑ M B = 0 ⎪∑ M = 0 ⎩ C
A, B, C 三个取矩点，不得共线
五、平面平行力系的平衡方程 各力的作用线都在同一平面内且互相平行的力系
∑F
x
≡0
0 + 0 + 0 +" = 0
F1 cos θ − F2 cos θ + F3 cos θ + " = 0 F1 sin θ − F2 sin θ + F3 sin θ + " = 0
解： 取起重机，画受力图。 G FA = 0, （1） 满载时， 为不安全状况
∑M
B
=0
P3 min ⋅ 8 + 2 P2 − 10 P1 = 0
解得
P3min=75kN
2m 2m 2m 2m
例3-5
尺寸如图； 已知： P 1 = 200kN, P 2 = 700kN,
求： （1）起重机满载和空载时不翻倒，平衡载重P3； （2）P3=180kN，轨道AB给起重机轮子的约束力。
解：以三角形平板 ABC 为研究对象，受力图和坐 标系如图所示。建立平衡方程