数学建模第三次作业-写作训练要求：（1）在下一次上课之前将结果发到我的邮箱视为有效； （2）我的邮箱的地址为：xcg743@ （3）文件名称(word 文件）格式为： 张三(信号20081234).doc （4）写作格式要求按照正式数学建模论文格式要求进行写作，可参考我们制作的写作模板。
（5）本次作业应该重视，占期末总成绩的20分。
题目：螺旋线与平面交点的实时计算已知空间螺旋线的方程为：cos sin x t y t z t =⎧⎪=⎨⎪=⎩，现要求讨论任意平面0Ax By Cz D +++=与该螺旋线的交点情况，要求完成下面几个问题：（1）先建立一般的数学模型，然后就下面三个特殊的平面给出你的计算结果：①230x y ++=；②3450x y z ++=；③ 661x y z ++=。
（2）就某一种较特殊的情况进行讨论（此时A ，B ，C 大致满足某种关系），给出此时交点个数的结论并证明之。
空间平面与空间螺旋曲线交点探究 摘要本文以空间中的平面与曲线的交点个数为研究对象，详细分析了具体平面与螺旋曲线的交点和一些较为特殊的平面系列与螺旋曲线的交点，建立了简单明了的数学模型，运用数学软件mathematic 进行了详细求解。
对问题（1）由于三个平面均为具体的平面，因此求结果过程类似，具体采用的是图解分析的方法，利用图形分析简单易懂，求解迅速，而且求解的结果准确详细（详见附录1、2、3）。
对于问题（2）的求解，考虑到此题是一个较为开放的题目，因此在求解之时先假设了一些特殊关系，例如在本文中假设的关系如下：0=D ，a C a B a A 3,2,===。
利用这一特殊关系进行适当的化简就可以解出本题所探究的答案。
本文最大的特点是采用图解分析的方法，图解法直观、明了，求解快，不必采用较为繁杂的计算过程。
关键词：空间平面、空间螺旋线、交点一、问题提出螺旋线与平面交点的实时计算已知空间螺旋线的方程为：cossinx ty tz t=⎧⎪=⎨⎪=⎩，现要求讨论任意平面0Ax By Cz D+++=与该螺旋线的交点情况，要求完成下面几个问题：（1）先建立一般的数学模型，然后就下面三个特殊的平面给出你的计算结果：①230x y++=；②3450x y z++=；③661x y z++=。
（2）就某一种较特殊的情况进行讨论（此时A，B，C大致满足某种关系），给出此时交点个数的结论并证明之。
二、基本假设假设空间螺旋线与所给的平面存在交点，则交点应同时满足两个方程。
三、符号说明A,B,C,D为确定平面的参数。
给定平面时的情况下A,B,C,D均为常数。
四、问题分析对于问题（1），由于是实际给出的平面，可以将所给平面的方程与螺旋线方程组合联立求解。
运用数学软件（如mathematic）求出方程组的解，若方程组有解则有所给的平面与螺旋线存在交点，若无解则证明所给的平面与螺旋线不存在交点。
因此，总的来说问题一采用方程组求解的方法得出交点是否存在。
对于问题（2），这个问题是一个思维发散型的题目，解决的方式比较开放，前提是在自定义平面的几个量之间的关系，在给定关系的前提下，找出此种情况下所给平面与螺旋线之间的交点情况，然后得出响应的结论，并对此结论给出合理的推导过程。
五、5.1问题（1）的模型建立与求解5.1.1模型Ⅰ的建立与求解对给定的平面230x y++=，要求出该平面与螺旋线的交点建立如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++===032y x t z sint y cost x可以将方程组转化为关于参数t 的方程如下；03sin 2cos =++t t由mathematic 可以画出3sin 2cos ++=t t f 的函数图形如下:很显然函数f与x 轴不存在交点，即是上述方程组不存在解，故而平面032=++y x 与螺旋线不存在交点。
5.1.2模型Ⅱ的建立与求解 对给定的平面3450x y z ++=，要求出该平面与螺旋线的交点建立如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++===054y 3x t z sint y cost x z将方程组转化成关于参数t 的方程如下:05sin 4cos 3=++t t t由mathematic 可以画出t t t f 5sin 4cos 3++=的函数图形如下:由图形可以知道函数f 与x 轴在原点附近存在着交点，用mathematic 找到这一交点为: t=-0.318916,将t 值分别代入x,y,z 可以求解出交点为： {0.949576,-0.313537,-0.318916}5.1.3模型Ⅲ的建立与求解 对给定的平面661x y z ++=，要求出该平面与螺旋线的交点建立如下的数学模型：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=++===16y 6x t z sint y cost x z将方程组转化成关于参数t 的方程如下:01sin 6cos 6=-++t t t由mathematic 可以画出1sin 6cos 6-++=t t t f 的函数图形如下:由图形可以知道函数f 与x 轴存在着5个交点，用mathematic 找到这5个交点为: -6.08129，-4.65669，-0.596161，2.53852，5.00609 将这5个t 值分别代入x,y,z 得到5个交点坐标如下：{0.979688,0.200527,-6.08129}，{-0.0556672,0.998449,-4.65669} {0.827497,-0.56147,-0.596161}，{-0.823596,0.567176,2.53852} {0.289497,-0.957179, 5.00609}5.2问题（2）的模型建立与求解未给定的平面0Ax By Cz D +++=，现不妨假设A,B,C,D 存在某一关系，在此，我们设0=D ，a C a B a A 3,2,===。
现探索这系列的平面与螺旋线的交点。
同样地，我们先找出方程组如下：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+++===0C By Ax t z sint y cost x D z代入所列出的A,B,C,D 的关系，将上述方程组化为一个关于t 的参数方程为：0sin cos =+++D Ct t B t A 。
化简方程可以得到：0)sin(22=++++D Ct t B A β，其中B Aarctan=β又因为0=D ，a C a B a A 3,2,===，故而有：03)sin(52=++at t a β，其中21arctanarctan ==B A β即是03)21arctansin(5=++t t令tt g 3)21arctan sin(5++=，出函数g 的图像如下：由图像可知函数与x轴的交点有且只有一个。
找到该交点为t -0.196651，进而可以求出交点为{0.980726,-0.195386,-0.196651}六、模型的评价与推广本问题中所建立的两个数学模型都比较明了简单，适用于较特殊的空间平面与空间曲线的交点。
在求解时只需变动空间曲线与平面的方程即可。
七、参考文献[1] 姜启源等, 数学模型（第三版），北京：高等教育出版社，2003年8月[2] 田俐萍，曹思越主编，高等数学（第二版），成都：西南交通大学出版社，2008年6月八、附录8.1 附录清单附录1：求解问题（1）Ⅰ的Mathematica程序附录2：求解问题（1）Ⅱ的Mathematica程序及完整数据结果附录3：求解问题（1）Ⅲ的Mathematica程序及完整数据结果附录4：求解问题（2）的Mathematica程序8.2 附录正文附录1：求解问题（1）Ⅰ的Mathematica程序Plot[Cos[t]+2*Sin[t]+3,{t,-20,20}]附录2：求解问题（1）Ⅱ的Mathematica程序及完整数据结果程序：Plot[3*Cos[t]+4*Sin[t]+5*t,{t,-20,20}]FindRoot[3*Cos[t]+4*Sin[t]+5*t,{t,0}]数据结果：{t -0.318916}{t -0.3189157876728618`}{Cos[t],Sin[t],t}/.%{t -0.318916}{0.949576,-0.313537,-0.318916}{0.9495759170375146`,-0.3135372031870588`,-0.3189157876728618`}附录3：求解问题（1）Ⅲ的Mathematica程序及完整数据结果程序：Plot[6*Cos[t]+6*Sin[t]+t-1,{t,-20,20}]FindRoot[6*Cos[t]+6*Sin[t]+t-1,{t,-6}]数据结果：FindRoot[6*Cos[t]+6*Sin[t]+t-1,{t,-6}]{t -6.08129}{t -6.0812897657518254`} {Cos[t],Sin[t],t}/.% {t -6.08129}{0.979688,0.200527,-6.08129}FindRoot[6*Cos[t]+6*Sin[t]+t-1,{t,-5}] {t -4.65669}{t -4.6566929735375435`} {Cos[t],Sin[t],t}/.% {t -4.65669}{-0.0556672,0.998449,-4.65669}FindRoot[6*Cos[t]+6*Sin[t]+t-1,{t,0}] {t -0.596161}{t -0.5961613213609774`} {Cos[t],Sin[t],t}/.% {t -0.596161}{0.827497,-0.56147,-0.596161}FindRoot[6*Cos[t]+6*Sin[t]+t-1,{t,2}] {t 2.53852}{t 2.538519185981246`} {Cos[t],Sin[t],t}/.% {t 2.53852}{-0.823596,0.567176,2.53852}FindRoot[6*Cos[t]+6*Sin[t]+t-1,{t,4}] {t 5.00609}{t 5.00609042149173`} {Cos[t],Sin[t],t}/.% {t 5.00609}{0.289497,-0.957179,5.00609}附录4：求解问题（2）的Mathematica 程序g Plot5Sin t ArcTan 1 23t,t ,FindRoot5Sin t ArcTan 1 2 3t,注：上课时间周六上午第一讲1、 一垂钓俱乐部鼓励垂钓者将钓上的鱼放生，打算按照放生的鱼的重量给予奖励，俱乐部只准备了一把软尺用于测量，请你设计按照测量的长度估计鱼的重量的方法，假定鱼池中只有一种鲈鱼，并且得到8条鱼的如下数据（胸围指鱼身的最大周长）：解：我们假定池中只有一种鱼。