D
B
O
A E B O
C F D
切线性质定理的推广
• 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 • 推1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 • 推2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
你能用一个定理把圆的切 线的性质及它的两个推论 概括出来吗？
如果一条直线具备下列三个条件中 的任意两个，就可以推出第三个： （1）垂直于切线；（2）过切点； （3）过圆心。
A C
O
B C' A'
B'
题设
在 同 圆 前 或 提 等 圆 中 （ 条 件 ） 圆 心 角 相 等
结论
圆心角所对的弧相等， 圆心角所对的弦相等， 圆心角所对弦的弦心距相等。
( )
推论 在同圆或等圆中， 如果两个圆心角、两条弧、 两条弦或两条弦的弦心距中有 一组量相等，那么它们所对应 的其余各组量都分别相等。
A

A
B
观察右图，有什么等量关系？ AO=BO=CO=DO，弧 AD＝弧BD，弧AC＝ 弧BC, AE＝BE 。
垂直于B 弦的直A 径
C O E D
B
垂直于弦的直径平分这 条弦，并且平分弦所对的两条弧。
垂径定理
A
C
O
E
D
B
判断下列图形，能否使用垂径定理？
B O C A D C
A O D C B
关于三角形内心的辅助线： 连结内心和三角形的顶点， 该线平分三角形的这一内角。
垂心
三条高线 交点 的交点
重心
三条中线 的交点 把中线分 成了2:1 两部分 在形内
外心
内心
三边垂直 三条角平 平分线的 分线的交 交点 点 到三角形 到三角形 各顶点距 三边距离 离相等 相等 在形内、 在形内 形外或斜 边中点
切线与切线长的区别： • 切线是直线，不能度量。 • 切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别 是圆外的一点和切点，可以度量。
• 如图，PA、PB是⊙O的两条切线，A、B是切点， 直线OP交⊙O于点D，交AB于点C。 A – 写出图中所有的垂直关系 – 写出图中所有的全等三角形 O C D P – 写出图中所有的相似三角形 B – 写出图中所有的等腰三角形 – 若PA＝4cm，PD＝2cm，求半径OA的长 – 若⊙O的半径为3cm，点P和圆心O的距离为 6cm，求切线长及这两条切线的夹角度数
问题2：三角形的外心一定 ∠C＝90°O ▲ABC是锐角三角形 ▲ABC是钝角三角形 A 在三角形内吗？
B
垂直于弦的直径
及其推 论
AO=BO=CO=DO， D 弧AD＝弧BC，弧AC 想一想：将一个圆沿着任一条直径对折，两 O C ＝弧BD。 侧半圆会有什么关系？ AO=BO=CO=DO， 性质：圆是轴对称图形，任何一条直径所在 弧AD＝弧BC=弧AC 的直线都是它的对称轴。 D C ＝弧BD。 O
对角
E
∠EAB＝∠BCD
∠FCB＝∠BAD
内对角
外角
又一种重要的辅助线
如图，⊙O1和⊙O2都经过A、B两点，经过A点的 直线CD与⊙O1交于点C，与⊙O2交于点D，经过B 点的直线EF与⊙O1交于点E，与⊙O2交于点F。求 证：CE∥DF •有两个圆的题目常用 A E 的一种辅助线：作公 共弦。 O O2 1 C •此图形是一个考试热 门图形。 B
• 弦和直径
– 什么是弦？什么是直径？ – 直径是弦吗？弦是直径吗？
与圆有关的概念
• 弧与半圆
– 什么是圆弧（弧）？怎样表示？ – 弧分成哪几类？ – 半圆是弧吗？弧是半圆吗？
• 弓形是什么？ • 同心圆、同圆、等圆和等弧
– 怎样的两个圆叫同心圆？ – 怎样的两个圆叫等圆？ – 同圆和等圆有什么性质？ – 什么叫等弧？
– 圆上各点到定点（圆心）的距离都等于定长（半径）；
点与圆的位置关系
• 圆是到定点（圆心）的距离等于定长（半径）的 点的集合。 • 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 • 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。 • 由此，你发现点与圆的位置关系是由什么来决定 的呢？ 如果圆的半径为r， 点到圆心的距离为d，则： 点在圆上 d=r 点在圆内 d<r 点在圆外 d>r
r = ————
2
a
等边三角形外接圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ 内切圆半径的求法
A
I A b C
基本思路：
R B O r
构造三角形BOD，BO为外接 圆半径，DO为内切圆半径。
C
D
圆的内接四边形
定理：圆的内接四边形的对角互补，并且 任何一个外角都等于它的内对角。
∠D＋∠B＝180°
∠A＋∠C＝180°
A O B C F D
F D
A D 思考：若此题条件和 C结论不变，只是不给 O 出图形，此题还能这 O 2 1 样证明吗？ F E B
切线长定理
切 线 长 A 的 切线长定理： 定 O P • 题设：从圆外一点引圆 义 的两条切线 B 以 • 结论：①切线长相等， ②圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角 及 • 几何表述： 定 PA = PB PA、PB分别切⊙O于A、B ∠OPA=∠OPB 理
讨论：经过一个点，能作出多少个圆？
经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆， 外接圆的圆心叫做三角形的外心，
C C C
三角形叫做圆的内接三角形。
A A A O O C O
B B
B
问题1：如何作三角形的外接圆？ 如何找三角形的外心？
三角形的内心是三角形内角平分线的交点。
三角形的内心是 否也有在三角形 内、三角形外或 三角形上三种不 同情况。
B A
O C
• 在△ABC中，∠ABC＝50°， ∠ACB＝75°，求∠BOC的度数。 （1）点O是三角形的内心 （2）点O是三角形的外心
A
B
A
O C
E B D
C
• △ABC中，E是内心，∠A的 平分线和△ABC的外接圆相 交于点D。求证：DE＝DB。
圆的有关性质
圆的定义（运动观点）
在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。 固定的端点O叫做圆心，线段 OA叫做半径，以点O为圆心的圆， 记作☉O，读作“圆O”
圆的定义辨析
• 篮球是圆吗？
– 圆必须在一个平面内
• 以3cm为半径画圆，能画多少个？ • 以点O为圆心画圆，能画多少个？ • 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？
圆心角：顶点在圆心的角。
（如：∠AOB）
A
弦心距：从圆心到弦的距离。
（如：OC）
B
O
C
如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB， OC`⊥A`B`。
猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`， OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。 在同圆或等圆中， 定理 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的 弦心距相等。
关于弦的问题，常常需 要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅 助线。 圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形， 便将问题转化为直角三 角形的问题。

画图叙述垂径定理，并说出 定理的题设和结论。
题设
①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB 想一想：如果将题设和 ② ① ② ① ③ ③ 结论中的5个条件适当互 ④ ② ③ ③ ④ 换，情况会怎样？ ⑤ ⑤ ⑤ ① ④ ④ ⑤ ② ① ② ③ ② ④ ⑤ ③
①过圆心②过切点③ 垂直于切线，随便知 两个就可推出第三个
• 主要辅助线：
– 利用切线性质时，常作过切点的半径 – 证明直线是圆的切线时，分清什么时候“连结”，什 么时候“作垂线”
三角形的内切圆
重点内容
O
如何在一个三角形中剪下一个圆，使得该 圆的面积尽可能的大？
A
B
C
和三角形各边都相切的圆叫做三角形的内 切圆；内切圆的圆心叫做三角形的内心； 这个三角形叫做圆的外切三角形。
切线的判定和性质
• 判定切线的三种方法： 定义 – 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 – 和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线 本质一样 – 过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线 表达不同 • 切线的主要性质：
– – – – – 切线和圆只有一个公共点 切线和圆心的距离等于半径 切线垂直于过切点的半径 定理 经过圆心垂直于切线的直线必过切点 经过切点垂直于切线的直线必过圆心
C E O B
A
D
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD， 你能得到什么结论？ E
A
弧AE＝弧BF
C
O
D
B F
圆心角、弧、弦、 弦心距之间的关系
圆的性质
• 圆是轴对称图形，每一条直径所在的直线 都是对称轴。 • 圆是以圆心为对称中心的中心对称图形。 • 圆还具有旋转不变性，即圆绕圆心旋转任 意一个角度α，都能与原来的图形重合。
性质
在形内、 位置 形外或直 角顶点
已知△ABC的内切圆半径
为r，求证： △ABC的面 积S△ABC＝sr。（s为 △ABC的半周长）
三角形的外接圆：
A
三角形的内切圆：
A
O B C B
I
C
特殊三角形外接圆、内切圆半径的求法： B 直角三角形外接圆、 内切圆半径的求法 c O a+b-c c
R= — 2
把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的 圆心角是1°的角。1°的圆心角所对的弧叫做 1°的弧。
n°弧
C D
一般地，n°的圆心角 对着n°的弧。