B
A
B
B A
A
C
O
圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相 交的角。
圆心角: 顶点在圆心的角.
画图:同一条弧所对的圆周角和圆心角 之间可能出现哪几种不同的位置关系?
C
C
C
O
O
A
B
A
O A
B
B
回顾：圆心角等于它所对的弧的度数的一半。
猜想：圆周角和圆心角都是与圆有关的角， 它们之间有什么关系？
一条弧所对的圆周角等于它所对 的圆心角的一半
A 弦心距：从圆心到弦的距离。
（如：OC）
O
C
B
如图，∠AOB＝∠A`OB`，OC⊥AB， OC`⊥A`B`。
猜想：弧AB与弧A`B`，AB与A`B`， OC与OC`之间的关系，并证明你的猜想。
A
定理 在同圆或等圆中， 相等的圆心角所对的弧相等， 所对的弦相等，所对的弦的 弦心距相等。
C O
B A' C'
C E
D O
A
B
E
A O
B C
F 如等图弧，如所果对弧的A圆B＝周弧角C相D，等那；么 ∠E在和同∠F圆是中什，么关相系等？的反圆过周来角呢？
D
所对的弧也相等
E
如 如图 果，弧⊙ABO等＝1和圆弧⊙C也DO成，2是立那等么圆，
O1
A O2
F
∠E和∠F是什么关系？反过
D
来呢？
C
B
推论1 同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。
经过两个点，如何作圆，能作多少个？ 经过三个点，如何作圆，能作多少个？
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，
外接圆的圆心叫做三角形的外心，
C CC
三角形叫做圆的内接三角形。
A AA
B
O OO C
B B
问题1：如何作三角形的外接圆？
如何找三角形的外心？
问在题三角2：形三内角吗形？的外心一定▲▲AABAB∠CCC是是＝钝锐9角0角°三三O角角形形
n°弧
C
一般地，n°的圆心角
对着n°的弧。
D
n°圆心角
圆心角的度数
O
A
1°圆心角 B
1°弧 和它所对的弧 的度数相等。
圆周角
角的顶点 在圆心
F
D C
O
圆心角：如∠BOA 圆内角：如∠BCA
圆外角：如∠BFA
圆周角：如∠BDA
•角的顶点在圆周上 •是否顶点在圆周上 的角就是圆周角呢?
B
A
C
C
O
O
＝PC·PD
经验： •证明等积式，通常利
A C
B
O
用相似；
D
•找角相等，要有找同
弧或等弧所对的圆周角
的意识；
推论2 半圆（或直径）所对的圆周角是90°； 90°的圆周角所对的弦是直径。
推论3 如果三角形一边上的中线等于这条边 的一半，那么这个三角形是直角三角形。
C
E • 什么时候圆周角是直角？
D
反过来呢？
• 已知： OA＝OB＝5厘米，
O
AB＝8厘米，⊙O的直径6厘
米。求证：AB与⊙O相切。
A
C
B
以上两题辅助线的作法是否相
同？你分析出了什么结论？
• 证明一条直线是圆的切线，常常需要作辅助线。
– 若直线过圆上某一点，则连结圆心和公共点，再证明 直线与半径垂直
– 若直线与圆的公共点没有确定，则过圆心向直线作垂 线，再证明圆心到直线的距离等于半径。
O
• 直角三角形斜边中线有什
A
B 么性质？反过来呢？
已知：点O是ΔABC的外心， ∠BOC＝130°，求∠A的度数。
C
C
A
O
A
B
B O
直线和圆的位置关系
重点内容
直线和圆的位置关系 有且仅有
位置关系 相交
相切
公共点个数 2个
1个
d与r的关系 公共点名称
d＜r 交点
d＝r 切点
直线名称 割线
切线
注意：“”， 即“等价于”
– 过半径外端且和半径垂直的直线是圆的切线 表达不同
• 切线的主要性质：
B
垂直于弦的直径
及其推 论
A
AO=BO=CO=DO，
侧想半一弧＝圆想弧A会D：B有＝D将。什弧一么B个C关，圆系弧沿？A着C任一C 条直径O 对折D ，两
性A质O：=B圆O是=C轴O对=D称O图，形，任何B 一条直A 径所在
的直弧线A都D＝是弧它B的C=对弧称A轴C 。
＝弧BD。
C
D
O
观察右图，有什么等量关系？
初三数学圆的复习课件_人教版
圆的有关性质
圆的定义（运动观点）
在一个平面内，线段OA绕它固 定的一个端点O旋转一周，另一 个端点A随之旋转所形成的图形 叫做圆。
固定的端点O叫做圆心，线段 OA叫做半径，以点O为圆心的圆， 记作☉O，读作“圆O”
圆的定义辨析
• 篮球是圆吗？
– 圆必须在一个平面内
• 以3cm为半径画圆，能画多少个？ • 以点O为圆心画圆，能画多少个？ • 由此，你发现半径和圆心分别有什么作用？
• 弦和直径
与圆有关的概念
– 什么是弦？什么是直径？
– 直径是弦吗？弦是直径吗？
• 弧与半圆
– 什么是圆弧（弧）？怎样表示？
– 弧分成哪几类？
– 半圆是弧吗？弧是半圆吗？
• 弓形是什么？
• 同心圆、同圆、等圆和等弧
– 怎样的两个圆叫同心圆？
– 怎样的两个圆叫等圆？
– 同圆和等圆有什么性质？
– 什么叫等弧？
相离
无 d＞r
直线和圆的位置关系
d与r的关系 位置关系 交点个数
d＞r
相离
无
d＝r
相切
1个
d＜r
相交
2个
图形
O l
O l
O
l
切线的判定
重点内容
• 判断一条直线是不是圆的切线
– 使用定义：直线和圆有唯一的公共点 – 圆心到直线的距离d等于半径r时，直线和圆相切
• 操作：画⊙O，在⊙O上 任取一点A，连结OA， 过A点作直线l⊥OA
你能用一个定理把圆的切 线的性质及它的两个推论 概括出来吗？
如果一条直线具备下列三个条件中 的任意两个，就可以推出第三个： （1）垂直于切线；（2）过切点； （3）过圆心。
切线的判定和性质
• 判定切线的三种方法：
– 和圆只有一个公共点的直线是圆的切线 定义
– 和圆心的距离等于半径的直线是圆的切线
本质一样
①
C
③
⑤
A
E
O
D
B
（1）平分弦（不是直径）的直径垂直 于弦，并且平分弦所对的两条弧；
（2）弦的垂直平分线经过圆心，并 且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径， 垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
A
E
C
O
D
B
圆的两条平行弦所夹的弧相等。
如图，CD为⊙O的直径，AB⊥CD，EF⊥CD，
说说看：以上两 种判断办法是否 方便应用呢？
• 直线l是否与⊙O相切呢？ • 从作图过程看，这条切线l满足哪些条件？
l 经过半径外端 l垂直于这条半径
切线的判定定理： 经过半径的外端并且垂直于 这条半径的直线是圆的切线。
• 已知：直线AB经过⊙O上的点C，并且OA＝ OB，CA＝CB。求证：直线AB是⊙O的切线。
• 也可以理解为：一条弧所对的圆心角是 它所对的圆周角的二倍；圆周角的度数 等于它所对的弧的度数的一半。
推论
• 弧相等，圆周角是否相等？反过来呢？ • 什么时候圆周角是直角？反过来呢？ • 直角三角形斜边中线有什么性质？反过
来呢？
如图，比较同∠A弧C所B、对∠的AD圆B、 ∠AEB的大小 周角相等
如图⊙， O的半径 8厘 为米，圆A内 B＝8弦3厘米， 以O为圆心 4厘， 米为半径作小 证圆 ：， 小求 圆 直线 AB相切。
O
A
B
切线判定的方法
• 利用切线定义 • 利用圆心到直线的距离等于半径 • 利用切线判断定理
• 辅助线技巧： – 若直线过圆上某一点，则连结圆心和公 共点，再证明直线与半径垂直 – 若直线与圆的公共点没有确定，则过圆 心向直线作垂线，再证明圆心到直线的 距离等于半径。
思考： 1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个 圆心角、两条弧、两条弦、两条弦心距、两个 圆周角中有一组量相等，那么它们所对应的 其余各组量也相等。
B
C
E
A
O
D
O
A
B
F
C
D
关于等积式的证明
• 如图，已知AB是⊙O的弦，半径 OP⊥AB，弦PD交AB于C，求证：PAP 2
D
BC是⊙O的切线，切点为B，
OC平行于弦AD。
A
求证：DC是⊙O的切线。
O

• 如图，在以O为圆心的两个同 心圆中，大圆的弦AB和CD相
A C
等，且AB与小圆相切于点E， E
求证：CD与小圆相切。
B
OF
D
切线性质定理的推广
• 性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径 • 推1：经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点 • 推2：经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
画图叙述垂径定理，并说出
定理的题设和结论。
题设
结论
①直线CD经过圆心O ②直线CD垂直弦AB
③直线CD平分弦AB ④直线CD平分弧ACB ⑤直线CD平分弧AB