（
e j e d
2）
12
☆、设 { X i , i 1,2, } 是一独立随机变量序列，且 有相同的两点分布
Xi
-1
1
pi
1/2
1/2
n
令Y (0) 0,Y (n) X i ，试求：随机过程 i 1
{Y (n),n 0,1,2, } 的均值函数和相关函数。
☆、设到达某商店的顾客数组成强度为 的 Poisson
随机过程复习题
1、填空题
☆设 X ~ N (, 2 ) ，则 X ~
2
☆随机变量 X 的特征函数 g(t) 的定义是
；
；
☆ 设 随 机 变 量 X ~ N ( 0 , 的1 ) 特 征 函 数 为
gX
(t)
t2
e2
，则
Y
~
N
(
,
2
)的特征函数
gY
(t)
为
。
☆设 X,Y 是两个具有二阶矩的随机变量，则 E( X 2 )
(1) 求 Z 的数学期望和方差. (2) 求 X 与 Z 的相关系数. (3) 问 X 与 Z 是否相互独立?为什么?
☆、设随机变量 X 的概率密度函数为
P(
x)
x
2
4 3
x,
0 x1
0
其它
试求 X 特征函数。
☆、试证函数
f
(t)
1 1 t2
为一特征函数，并求它
所对应的随机变量的分布函数。
0
0.2
0
0
0.8
（1）画出其状态转移概率图；
（2）试对 s 进行分类，并说明各状态的类型。
18、已知平稳随机过程 X(t) 的相关函数为： RX ( ) 2e (1 ) ，
求其谱密度函数 SX ( ) 。
19、设{Xn , n 1,2, } ，是独立同分布的随机变量序列，
均值为
，方差为
过 n 次交换过程的状态记为 X n 。试问过程是否是马
氏链？若是，试计算其一步转移概率矩阵。
17、设马氏链的状态空间为 S {a, b, c, d, e} ，其转移 概率矩阵为：
0.6 0 0 0.4 0 0 0.6 0 0 0.4
P
0
0.2 0.6
0
0.2
0.4 0 0 0.6 0
, E(Y 2 ) 的乘积与 (E( XY ))2 的关系为
；
☆设随机变量 X 服从正态分布 N(0,4)，则其特征
函数 f X (t ) 为
；
☆若随机变量 X 的 n 阶矩 E( X n ) 存在，则 X 的
特征函数 g(t)可微分 n 次，且当 k n 时， g(k ) (0)
与 E( X k ) 的关系为
二阶矩的随机变量序列， E( Xn ) , n 1,2, ，则
1 n
= l .i .m n
n
k 1
X
k
；
（22）二阶矩过程 {X (t),t T} 在 t0 T 处均方可微的充
要条件是它的相关函数 R(s, t) 在 (t0 , t0 ) 处
；
（23）设实平稳过程{X (t),t T}的相关函数为 RX ( ) ，则
则它的相关函数 RX
。
2、解答题
☆ 、 已 知 随 机 变 量 X ~ N(2,1) ， Y ~ N(10, 4) ，
XY
1 2
，令 Z1
X
2Y
和 Z2
X
Y
，试求 D(Z1)
和
C ov(Z1, Z2 ) ．
☆ 、已知随机变量X ,Y分别服从N (1,32 ), N (0,42 ), ρXY 1 2,设 Z X 3 Y 2.
RX ( ) 与 RX ( ) 的关系为
；
（24）对一齐次马氏链，其任意
n
步转移概率
p(n) ij
与首
达概率
f
( ij
l
)
之间的关系为
。
（25）二阶矩随机序列Xn收敛于二阶矩随机变量 X
的一个充要条件为
；
（26）设 {X (t), t } 是均方连续的平稳过程，则
它的均值具有各态历经性的充要条件为
明 {Y (t),t 0} 也是平稳过程。
23、证明齐次马氏链不可约的充要条件是它的任意两个 状态均互通。
☆、设马尔可夫链的转移概率矩阵为
0.7 0.1 0.2
P
0.1
0.8 0.1
0.05 0.05 0.9
求马尔可夫链的平稳分布几各状态的平均返回时间。
☆、设马尔可夫链的转移概率矩阵为
0.7 0.1 0.2
则 P{X (t h) X (t) 0}
；
☆ 设 {X (t),t 0} 是 具 有 参 数 的 泊 松 分 布 ，
Tn (n 1) 是 对 应 的 时 间 间 隔 序 列 ， 则 随 机 变 量
Tn (n 1,2, ) 的概率密度函数为
；
☆设{Wn , n 1} 是与泊松过程{X (t),t 0} 对应的一个
E[( X (7) X (6))( X (4) X (3))] =
；
☆设随机过程 X (t) Xh(t) a ( t ) ，X
是服从正态分布的随机变量，E(X)=0,D(X)=1。则
X(t)的一维分布密度函数 f (x) 为
；
☆ 设 W (t), t 是参数为 2 的维纳过程随
机过程，则增量W (t) W (s) ~
RX ( ) 2e (1 ) ，求其谱密度函数 S X ( ) 。
☆、已知平稳随机过程 X(t) 的谱密度函数为
1， 4 SX ( ) 0， 其它
求其相关函数 RX ( ) 。
14、已知平稳随机过程 X(t) 的谱密度函数为
0,
SX ( ) c2 ,
0,
0 a a 2a
☆、设 X (t ) At 2 B ，其中 A,B 是相互独立的二
阶矩随机变量，均值为
a,b，方差为
2 1
,
2 2
。
（1）值函数和相关函数； （2）讨论上随机过程的均方连续性、均方可 导性。
☆、设 X (t) At 2B ，其中 A, B 是相互独立的二
阶矩随机变量，均值都为 a，方差都为 2 。
（1）值函数和相关函数； （2）讨论上随机过程的均方连续性、均方可 导性。
☆、设有随机过程 X (t) f (t ) ，其中 f (t) 是周
期为 T 的实值连续函数， 是在 (0, a] 上服从均匀
分布的随机变量。
（1）试证 X (t) 是平稳过程；
（2）试证 X (t) 是各态历经的。
☆ 、 已 知 平 稳 随 机 过 程 X(t) 的 相 关 函 数 为 ：
n 1，绝对概率 p j (n) 用初始概率和 n 步转移概率
表达为
；
（17）首达概率可以用一步转移概率来表示：
f (n) ij
；
（18）设 pij (t ) 是齐次马尔可夫过程的转移概率， qij 为
齐次马尔可夫过程从状态 i 到状态 j 的转移速率，则柯
尔莫哥洛夫向后方程为
；
（19）设随机序列{Xn , n 1} 均方收敛于随机变量 X，则
等待时间序列，则Wn 服从参数为
的 分布。
☆设{X (t), t 0} 为具有跳跃强度函数 (t ) 的非齐次
泊松过程，则此非齐次泊松过程的均值函数
为
；
☆设 {Xn,nT} 为马尔可夫链，则对任意整数
n
0,0
l
n
和
i,
j
I
，n
步转移概率
p(n) ij
用一
步转移概率表达为
；
☆设 {Xn,nT} 为马尔可夫链，则对任意 j I 和
；
E W(t) W(s)
；
☆设随机过程 X (t) Y Zt, t 0 ，其中，Y , Z 是
相互独立的 N(0,1)随机变量，则此随机过程的一维
概率密度族为
；
☆对于一个强度为 的 Poisson 过程，在 t 时间内
来 k 个顾客的概率为
；
☆设 { X (t ),t 0}为具有参数 ＞0 的泊松过程，
；
☆设随机变量 X 的特征函数为 gX (t) (1 ait)1 ，则随
机变量 X 的数学期望 E(X ) 为
；
☆设随机变量 X 与 Y 相互独立，且 X 特征函数为
gX (t ) eit3t2 ，Y 特征函数为 gY (t ) e2itt2 ，
则 Z=X+Y 的特征函数 gZ (t ) 为
P=
0.1
0.8
0.1
0.05 0.05 0.9
求马尔可夫链的平稳分布几各状态的平均返回时间。
和相关函数 R(s,t) ．
☆、设某电报局接受的电报数 N (t) 组成 Poisson 流， 平均每小时接到 3 次电报，试求：
（1）一上午（8 点到 12 点）没有接到电报的 概率；
（2）下午第一个电报的到达时间的分布。
☆、设 X (t ),Y (t ) 是两个相互独立的实平稳过程， 试证明 Z(t ) X (t ) Y (t ) 也是平稳过程。
；
☆设随机变量 X ,Y 的数学期望都存在，则 E(X ) 与
E(X Y) 的关系为
；
☆ 复 随 机 过 程 {Xt,t T} 的 协 方 差 函 数
B(s, t) 具有的非负定性为：对任意 t T 及复数
ai ， i 1,2, , n, n 1, 有
；
☆设 { X (t ),t ( , )}是一实正交增量过程，则
流，每个顾客购买商品的概率为 p，且与其它顾客