2．函数的有关概念 (1)函数定义中，集合A、B分别是定义域、值域吗？ 提示：由定义可知,集合A是定义域，而值域是集合B的子集 (2)函数三要素是什么？ 提示：定义域、值域、对应关系 (3)函数的三种常用表示法是什么？ 提示：解析法、图象法、列表法
3．分段函数 若函数在其定义域的不同子集上，因__对__应__关__系____不同而分 别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数． 分段函数的定义域等于各段函数的定义域的__并__集__，其 值 域 等于各段函数的值域的____并__集______，分段函数虽由几 个 部 分组成，但它表示的是一个函数．
A．(－∞，－2]∪－1，23 B．(－∞，－2]∪－1，－34 C.－1，41∪41，＋∞
D.－1，－34∪41，＋∞
【解析】 当(x2－2)－(x－x2)≤1，
即－1≤x≤32时，f(x)＝x2－2；
当(x2－2)－(x－x2)>1，即 x<－1 或 x>32时，f(x)＝x－x2，
∴f(x)＝
均相同，所以 f(x)与 g(t)表示同一函数；对于(4)，由于 f12＝ 12－1－12＝0，∴ff12＝f(0)＝1.综上可知，正确的判
断是(2)，(3)．
分段函数
(1)(2014·湖北武汉模拟)设函数 f(x)＝
21x－1（x≥0）
1x（x＜0）
，若 f(a)＝a，则实数 a 的值为( B )
合B中都有唯一确定的元
定的数f(x)和它对应 素y与之对应
名称
函数
映射
称__f：__A__→__B_为从集 称对应f：A→B为从
合A到集合B的一个 集合A到集合B的一
函数
个映射
记法 y＝f(x)(x∈A)
对应f：A→B是一个 映射
温馨提醒：(1)函数是特殊的映射，其特殊性在于集合A与 集合B只能是非空数集，即函数是非空数集A到非空数集B 的映射． (2)映射不一定是函数，从A到B的一个映射，A、B若 不 是 数集，则这个映射便不是函数．
(2)一些分段函数求值及含有参数的函数表达式，因参数取不 同值时，而导致表达式不同，因而需进行分类讨论．
对实数 a 和 b，定义运算“⊗”：a⊗b＝ab， ，aa－ －bb≤>11，. 设函数 f(x) ＝(x2－2)⊗(x－x2)，x∈R.若函数 y＝f(x)－c 的图象与 x 轴恰 有两个公共点，则实数 c 的取值范围是( B )
【解】(1)法一：设 t＝ x＋1，则 x＝(t－1)2(t≥1)； 代入原式有 f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1. 故 f(x)＝x2－1(x≥1)． 法二：∵x＋2 x＝( x)2＋2 x＋1－1＝( x＋1)2－1， ∴f( x＋1)＝( x＋1)2－1( x＋1≥1)，即 f(x)＝x2－1(x≥1)．
2．(2014·浙江温州市适应性测试)设函数 f(x)＝
x3，0≤x＜5
，那么
f（x－5），x≥5
f(2
014)＝(
A
)
A．64
B．9
C．3
D．1
【解析】 根据题意，当 x≥5 时，f(x)＝f(x－5)，∴f(2 014)
＝f(4)，而当 0≤x＜5 时，f(x)＝x3,∴f(4)＝43＝64,故选 A.
，
因
此
应
有
a＝2， 5a＋b＝17，
解
得
a＝2， b＝7.
故 f(x)的解析式是 f(x)＝2x＋7.
(3)(消元法)当 x∈(－1，1)时， 有 2f(x)－f(－x)＝lg(x＋1)．① 以－x 代替 x 得， 2f(－x)－f(x)＝lg(－x＋1)．②
由①②消去 f(－x)得，f(x)＝23lg(x＋1)＋13lg(1－x)， x∈(－1，1)．
A．±1
B．－1
C．－2 或－1
D．±1 或－2
2x3，x<0， (2)(2013·高考福建卷)已知函数 f(x)＝－tan x，0≤x<π2，则 ffπ4＝___－__2___．
[课堂笔记]
【解析】(1)当 a≥0 时，f(a)＝12×a－1＝a，a＝－2，不合题 意，舍去；当 a＜0 时，f(a)＝1a＝a，a＝－1(a＝1 舍去)，故 选 B.
(4)消去法：已知关于 f(x)与 f1x或 f(－x)的表达式，可根据
已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组
求出 f(x)．
3．(1)已知 f( x＋1)＝x＋2 x，求 f(x)的解析式；
(2)设 y＝f(x)是二次函数，方程 f(x)＝0 有两个相等实根，且
f′(x)＝2x＋2，求 f(x)的解析式．
x2－2－1≤x≤32， x－x2x<－1或x>23，
f(x)的图象如图所示，
由图象可知 c≤－2 或－1<c<－34.
(2)设 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)， 则 f′(x)＝2ax＋b＝2x＋2，∴a＝1，b＝2，f(x)＝x2＋2x＋c. 又∵方程 f(x)＝0 有两个相等实根，
∴Δ＝4－4c＝0，c＝1，故 f(x)＝x2＋2x＋1.
分类讨论思想在分段函数中的应用
已知实数 a≠0，函数 f(x)＝2－x＋x－a，2ax，<x1， ≥1.若 f(1 －a)＝f(1＋a)，则 a 的值为__－__34____． [解析] 首先讨论 1－a，1＋a 与 1 的关系，当 a<0 时，1－ a>1，1＋a<1，所以 f(1－a)＝－(1－a)－2a＝－1－a；f(1＋ a)＝2(1＋a)＋a＝3a＋2.
函数解析式的四种求法： (1)配凑法：由已知条件 f(g(x))＝F(x)，可将 F(x)改写成关于 g(x)的表达式，然后以 x 替代 g(x)，便得 f(x)的解析式； (2)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)， 可用待定系数法； (3)换元法：已知复合函数 f(g(x))的解析式，可用换元法，此 时要注意新元的取值范围；
因为 f(1－a)＝f(1＋a)， 所以－1－a＝3a＋2，所以 a＝－34. 当 a>0 时，1－a<1，1＋a>1， 所以 f(1－a)＝2(1－a)＋a＝2－a；f(1＋a)＝－(1＋a)－2a＝ －3a－1. 因为 f(1－a)＝f(1＋a)， 所以 2－a＝－3a－1，所以 a＝－32(舍去)．
(B) A．－1
B．1
C．0
D．±1
x，x≥0，
3．设函数 f(x)＝
若 f(a)＋f(－1)＝2，则 a＝
－x，x＜0，
( D) A．－3
B．±3
C．－1
D．±1
4．(2014·安徽省“江南十校”联考)函数y＝(x＋1)0＋ln(－x)的
定义域为__(_－__∞_，__－__1_)_∪__(－__1_，__0_)_．
5．已知函数
f(x)＝xx－＋62，则
1 f(f(4))＝___9_____；若
f(a)＝2，
则 a＝___1_4____．
函数的基本概念
以下给出的同组函数中，是否表示同一函数？ 为什么？
(1)f1：y＝xx；f2：y＝1；
1，x≤1， (2)f1：y＝2，1＜x＜2，
3，x≥2；
f2：
x
x≤1
综上，满足条件的 a＝－34.
(1)解答本题利用了分类讨论思想，分类讨论思想是将一个较 复杂的数学问题分解(或分割)成若干个基础性问题，通过对 基础性问题的解答来实现解决原问题的思想策略．因 f(x)为 分段函数，要表示 f(1－a)和 f(1＋a)时，要对自变量 1－a 和 1＋a 的范围进行分类讨论，才能选取不同的关系式．另外， 本例中求出 a 的值后，要注意检验．
1＜x＜2
x≥2
y
1
2
3
(3)f1：y＝2x；f2：如图所示．
[课堂笔记]
【解】(1)不同函数．f1(x)的定义域为{x∈R|x≠0}，f2(x)的定 义域为 R. (2)同一函数．x 与 y 的对应关系完全相同且定义域相同，它 们是同一函数的不同表示方式．
(3)同一函数．理由同(2)．
两个函数是否是同一个函数，取决于它们的定义域和对应关 系是否相同，只有当两个函数的定义域和对应关系完全相同 时，才表示同一函数．另外，函数的自变量习惯上用 x 表示， 但也可用其他字母表示，如：f(x)＝2x－1，g(t)＝2t－1，h(m) ＝2m－1 均表示同一函数．
【解】(1)(换元法)令 t＝2x＋1，2 1(x＞1)．
(2)(待定系数法)∵f(x)是一次函数，可设 f(x)＝ax＋b(a≠0)，
∴3[a(x＋1)＋b]－2[a(x－1)＋b]＝2x＋17.
即
ax
＋
(5a
＋
b)
＝
2x
＋
17
函数及其表示
1．函数与映射的概念
函数
映射
两集合 设A，B是两个非空 A、B __数__集__
设A，B是两个非空__集__合__
如果按照某种确定的对 如果按某一个确定的对应
对应关系 f：A→B
应关系f，使对于集合A 中的__任__意__一个数x， 在集合B中都有唯一确
关系f，使对于集合A中的 _任___意__一个元素x，在集
其中正确判断的序号是__(_2_)_(3_)__．
【解析】对于(1)，由于函数 f(x)＝|xx|的定义域为{x|x∈R 且 x≠0}，而函数 g(x)＝1－，1，（（x≥x0＜）0）的定义域是 R，所以二 者不是同一函数；对于(2)，若 x＝1 不是 y＝f(x)定义域内的 值，则直线 x＝1 与 y＝f(x)的图象没有交点，若 x＝1 是 y＝ f(x)定义域内的值，由函数的定义可知，直线 x＝1 与 y＝f(x) 的图象只有一个交点，即 y＝f(x)的图象与直线 x＝1 最多有 一个交点；对于(3)，f(x)与 g(t)的定义域、值域和对应关系