华南农业大学期末考试试卷（A卷）2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 分方程'ln xy y y =的通解 。
1．微2. 设有向量(4,3,0)a =，(1,2,2)b =-，则数量积a b ⨯= 。
3．过点(-1,1,0)且与平面3+2-130x y z -=垂直的直线方程是 。
4．设2sin()z xy =，则zy∂=∂ 。
5．交换积分次序2220(,)y ydy f x y dx ⎰⎰ 。
二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）L 为直线0,0,1x y x ===及1y =所围成的正方形边界，取1．设正向，则322()()Lx xy dx x y dy +++⎰等于 （ ）A ．1-B ．1C ．12 D ．142．已知a i j k =++，则垂直于a 且垂直于x 轴的单位向量是 （ ）A ．()i k ±-B ．)2j k ±- C．()2j k ±+ D ．)i j k ±-+ 3．设ln z xy =（），则11x y dz=== （ ）A ．dy dx -B ．dx dy +C ．dx dy -D ．04．对于级数1(1)np n n∞=-∑，有 （ ）A ．当1p >时条件收敛B ．当1p >时绝对收敛C ．当01p <≤时绝对收敛D ．当01p <≤时发散 5．设10(1,2,)n u n n≤<=，则下列级数中必定收敛的是 （ ） A ．1n n u ∞=∑ B ．1(1)nn n u ∞=-∑ C．n ∞=．21(1)n n n u ∞=-∑三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1.计算二重积分arctanDyd xσ⎰⎰，其中D 是22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。
2.设,f g 均为连续可微函数，(,)()u f x xy g x xy =+，求,u ux y∂∂∂∂。
3．设由方程z xyz e =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
4.判定级数12!nn n n n ∞=∑的敛散性。
5.使用间接法将函数24()4f x x =-展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。
6．求微分方程'cos yy x x x-=满足初始条件22x y ππ==-的特解。
7．计算二重积分Dσ⎰⎰，其中D是由曲线y =2y x =所围成的闭区域。
四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分） 1．L 是连接以(1,0)-为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a 为何值时，曲线积分2322(6)(2)Lxy y dx a xy x y dy -+-⎰与积分路径无关，并计算此时的积分值。
2．要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，才能使它的表面积最小。
3．设()f x 在||1x <上有定义，在0x =某邻域有一阶连续的导数且0()lim0x f x a x →=>，求证：（1）11()n f n ∞=∑发散；（2）-111()n n f n ∞=∑（-1）收敛。
华南农业大学期末考试试卷（A 卷）2013~2014学年第2 学期 考试科目：高等数学A Ⅱ参考答案一、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 1．Cx y e = 2．(6,-8,-11) 3．11321x y z+-==- 4．22cos()xy xy 5．12(,)x dx f x y dy ⎰⎰二、单项选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．C 2．B 3．B 4．B 5．D三、计算题（本大题共7小题，每小题7分，共49分） 1．计算二重积分arctanDyd xσ⎰⎰，其中D 是22{(,)10}x y x y y x +≤≤≤，。
解：在极坐标中D 为{(,)001}4r r πθθ≤≤≤≤，………………3分arctanDDyd rd dr x σθθ=⎰⎰⎰⎰………………5分 140d rdr πθθ=⎰⎰………………6分264π=………………7分2.设,f g 均为连续可微函数，(,)()u f x xy g x xy =+，求,u u x y∂∂∂∂。
解：'''12((,)(,))()(1)(,)()zf x xy yf x xyg x xy y f x xy g x xy x∂=+++++∂…4分 ''2(,)()(,)()uxf x xy g x xy xf x xy g x xy y∂=+++∂………………7分 3.设由方程z xyz e =确定隐函数(,)z z x y =，求全微分dz 。
解：设(,,)z F x y z xyz e =-………………1分,,z x y z F yz F xz F xy e ===-………………4分,y x z zz z F F z yz z xzx F e xy y F e xy∂∂=-==-=∂-∂-………………6分 ()zzdz ydx xdy e xy=+-………………7分4.判定级数12!nn n n n ∞=∑的敛散性。
解：11112!lim lim 2(1)!n n n n n n n nu n n u n n ρ+++→∞→∞+==+()………………4分 11lim (1)122n n en →∞=+=<………………………………6分 所以级数14!nn n n n ∞=∑发散………………………………7分5.使用间接法将函数24()4f x x =-展开成x 的幂级数，并确定展开式成立的区间。
解:211(11)1x x x x =+++-<<- 211(11)1x x x x=-++-<<+………………1分24111()()421122f x x xx ==+--+………………3分242214162n n x x x =+++++………………5分展开式成立的区间为(2,2)-………………7分 6.求微分方程'cos yy x x x-=满足初始条件22x y ππ==-的特解。
解：原方程化为'cos yy x x x-= 11()()(())(cos )dx dx p x dxp x dxx x y e Q x e dx C e x x e C --⎰⎰⎰⎰=+=⋅+⎰⎰………………2分(sin )x x C =+………………5分 由22x yππ==-，得2C =-，特解为(sin 2)y x x =-………………7分7.计算二重积分Dσ⎰⎰，其中D是由曲线y =2y x =所围成的闭区域。
解：2{(,)|01,D xy x x y=≤≤≤≤………………2分210xDdx σ=⎰⎰⎰………………4分714402()3x x dx =-⎰………………5分655=………………7分 四、解答题（本大题共 3 小题，每小题 7 分，共 21 分）4．1.L 是连接以(1,0)-为起点和(1,2)为终点的一条曲线，问当a 为何值时，曲线积分2322(6)(2)Lxy y dx a xy x y dy -+-⎰与积分路径无关，并计算此时的积分值。
解：令23226,(2)P xy y Q a xy x y =-=-，则22(4),123Q Pa y xy xy y x y∂∂=-=-∂∂………………2分 令Q Px y∂∂=∂∂，得3a =-，曲线积分与路径无关………………3分 选择路径1212:0(11),:1(02)L L L L y x L x y =+=-≤≤=≤≤，，………………5分 2232220(6)(2)3(2)4Lxy y dx a xy x y dy y y dy -+-=--=⎰⎰………………7分2.要造一个容积等于定数k 的长方体无盖水池，应如何选择水池的尺寸，才能使它的表面积最小。
解：设水池的长、宽、高分别为,,x y z ，水池的表面积为A ，则22,A xy xz yz xyz k =++=………………2分令22()F xy xz yz xyz k λ=+++-………………4分2020220x yz F y z yz F x z xz F x y xy xyz k λλλ=++=⎧⎪=++=⎪⎨=++=⎪⎪=⎩………………5分解得x y z ===………………7分 3.设()f x 在||1x <上有定义，在0x =某领域有一阶连续的导数且0()lim 0x f x a x→=>，求证：（1）11()n f n ∞=∑发散；（2）-111()n n f n ∞=∑（-1）收敛。
解：因为0()lim0x f x a x →=>，所以当n 充分大后1()0f n>………………1分 又因为改变级数前面有限项不影响级数敛散性，所以可认为11()n f n ∞=∑是正项级数………………2分（1）因为01()()lim lim 01x n f f x n a xn→→+∞==>………………3分 11n n ∞=∑发散，所以11()n f n ∞=∑发散………………4分 （2）因为0()lim0x f x a x→=>，所以0lim ()0x f x →=又0lim ()(0)x f x f →=（连续），所以(0)0f =………………5分所以00()(0)()'(0)limlim 0x x f x f f x f a x x→→-===> 又'()f x 在0x =连续，得0lim ()(0)0x f x f a →''==>由极限性质得，当n 充分大时，1()f n 单调递减………………5分又由0lim ()(0)x f x f →=得1lim ()0n f n →+∞=由莱布尼兹判别法得-111()n n f n ∞=∑（-1）收敛。
………………7分。