2019年天津市北辰区中考数学三模试卷含答案一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列等式成立的是（）A．|a+b|=a+b B．|a+b|=a﹣b C．|a+1|=a+1 D．|b+1|=b+12．下列各式中，当m为有理数时总有意义的是（）A．（﹣2）m B．（）m C．m﹣2 D．m3．如果a＜b，那么下列不等式中一定成立的是（）A．a2＜ab B．ab＜b2C．a2＜b2D．a﹣2b＜﹣b4．将某班女生的身高分成三组，情况如表所示，则表中a的值是（）A．2 B．4 C．6 D．85．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．正六边形 B．正五边形 C．平行四边形D．正三角形6．在△ABC中，=，=，那么等于（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．用代数式表示“a的相反数与b的倒数的和的平方”：．8．化简：=．9．如果关于x二次三项式x2﹣6x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是．10．方程5x4=80的解是．11．小李家离某书店6千米，他从家中出发步行到该书店，返回时由于步行速度比去时每小时慢了1千米，结果返回时多用了半小时．如果设小李去书店时的速度为每小时x千米，那么列出的方程是．12．若一次函数y=（1﹣2k）x+k的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是．13．从一副扑克牌中取出的两组牌，一组为黑桃1、2、3，另一组为方块1、2、3，分别随机地从这两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的概率是．14．某区从近期卖出的不同面积的商品房中随机抽取1000套进行统计，并根据结果绘出如图所示的统计图．从中可知卖出的110m2～130 m2的商品房套．15．若圆的半径是10cm，则圆心角为40°的扇形的面积是cm2．16．在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，点F在边BC上，AF 与DE相交于点G，如果∠AFB=110°，那么∠CGF的度数是．17．如图，将梯形ABCD沿直线AC翻折，点B落在点E处，联结ED，如果∠B=60°，∠ACB=40°，ED∥AB，那么∠AED的度数为．18．如果正方形ABCD的边长为1，圆A与以CD为半径的圆C相交，那么圆A的半径R 的取值范围是．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：，其中x=6tan30°﹣2．20．解方程组：．21．已知抛物线y=ax2﹣2x+c的对称轴为直线x=﹣1，顶点为A，与y轴正半轴交点为B，且△ABO的面积为1．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上，且PA=PB，求点P的坐标．22．如图，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速行驶向港口P，乙船从港口P出发，沿南偏东45°方向匀速行驶驶离岗口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向，求乙船的航行速度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）23．已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB•BM．24．已知：在平面直角坐标系中，直线y=﹣x与双曲线y=（k≠0）的一个交点为P（，m）．（1）求k的值；（2）将直线y=﹣x向上平移c（c＞0）个单位后，与x轴、y轴分别交于点A，点B，与双曲线y=（k≠0）在x轴上方的一支交于点Q，且BQ=2AB，求c的值；（3）在（2）的条件下，将线段QO绕着点Q逆时针旋转90°，设点O落在点C处，且直线QC与y轴交于点D，求BD：AC的值．25．已知：线段AB⊥BM，垂足为B，点O和点A在直线BM的同侧，且tan∠OBM=2，AB=5，设以O为圆心，BO为半径的圆O与直线BM的另一个交点为C，直线AO与直线BM的交点为D，圆O为直线AD的交点为E．（1）如图1，当点D在BC的延长线上时，设BC=x，CD=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．（2）在（1）的条件下，当BC=CE时，求BC的长；（3）当△ABO是以AO为腰的等腰三角形时，求∠ADB的正切值．参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分）【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】1．已知实数a、b在数轴上的位置如图所示，则下列等式成立的是（）A．|a+b|=a+b B．|a+b|=a﹣b C．|a+1|=a+1 D．|b+1|=b+1【考点】29：实数与数轴．【分析】根据绝对值的性质，可得答案．【解答】解：A、|a+b|=|b|﹣|a|，故A不符合题意；B、|a+b|=|b|﹣|a|，故B不符合题意；C、|a+1|=a+1，故C符合题意；D、|b+1|=|b|﹣1，故D不符合题意；故选：C．2．下列各式中，当m为有理数时总有意义的是（）A．（﹣2）m B．（）m C．m﹣2 D．m【考点】2F：分数指数幂；1E：有理数的乘方；6F：负整数指数幂．【分析】根据分数指数幂、有理数乘方，负整数指数幂即可求出答案．【解答】解：（A）当m=时，此时=，此时无意义，故A不选；（C）当m=0时，此时0﹣2无意义，故C不选；（D）当m为负数时，此时=无意义，故D不选；3．如果a＜b，那么下列不等式中一定成立的是（）A．a2＜ab B．ab＜b2C．a2＜b2D．a﹣2b＜﹣b【考点】C2：不等式的性质．【分析】根据不等式的性质进行选择即可．【解答】解：∵a＜b，∴a﹣2b＜b﹣2b，即a﹣2b＜﹣b，故选D．4．将某班女生的身高分成三组，情况如表所示，则表中a的值是（）A．2 B．4 C．6 D．8【考点】V6：频数与频率．【分析】首先根据各小组的频率之和等于1得出第一组与第二组的频率和，然后求出数据总数，从而求出a的值．【解答】解：∵1﹣20%=80%，∴（6+10）÷80%=20，∴20×20%=4．故选B．5．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（）A．正六边形 B．正五边形 C．平行四边形D．正三角形【考点】R5：中心对称图形；P3：轴对称图形．【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．【解答】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确；B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误；C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项错误；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误．故选：A．6．在△ABC中，=，=，那么等于（）A．+B．﹣C．﹣+D．﹣﹣【考点】LM：*平面向量．【分析】由三角形法则与相反向量的知识，可得=﹣=﹣（+），又由在△ABC中，=，=，即可求得答案．【解答】解：∵在△ABC中，=，=，∴=﹣=﹣（+）=﹣（+）=﹣﹣，故选：D．二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】7．用代数式表示“a的相反数与b的倒数的和的平方”：．【考点】32：列代数式．【分析】先表示出a的相反数与b的倒数的和，再平方即可．【解答】解：∵a的相反数与b的倒数的和为﹣a+，∴a的相反数与b的倒数的和的平方为（﹣a+）2．故答案为：（﹣a+）2．8．化简：=x．【考点】73：二次根式的性质与化简．【分析】根据二次根式的性质（当x≥0时，=x）求出即可．【解答】解：=x，故答案为：x．9．如果关于x二次三项式x2﹣6x+m在实数范围内不能分解因式，那么m的取值范围是m＞9．【考点】58：实数范围内分解因式．【分析】由题意知，二次三项式在实数范围内不能分解因式，所以方程x2﹣6x+m=0无解，即△＜0，代入解答出即可．【解答】解：根据题意得，二次三项式在实数范围内不能分解因式，∴方程x2﹣6x+m=0无解，即△＜0．∴△=b2﹣4ac=（﹣6）2﹣4m=36﹣4m＜0，解得，m＞9．故答案为m＞9．10．方程5x4=80的解是±2．【考点】AF：高次方程．【分析】先方程两边都除以5，再开方即可．【解答】解：5x4=80，x4=16，x==±2，故答案为：x=±211．小李家离某书店6千米，他从家中出发步行到该书店，返回时由于步行速度比去时每小时慢了1千米，结果返回时多用了半小时．如果设小李去书店时的速度为每小时x千米，那么列出的方程是﹣=．【考点】B6：由实际问题抽象出分式方程．【分析】根据小李家离某书店6千米，他从家中出发步行到该书店，由于返回时步行速度比去时步行速度每小时慢了1千米，结果返回时多用了半小时，可列方程．【解答】解：设小李去书店时的速度为每小时x千米，根据题意得：﹣=，故答案为：﹣=．12．若一次函数y=（1﹣2k）x+k的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是0＜k＜．【考点】F7：一次函数图象与系数的关系；F1：一次函数的定义．【分析】由于函数图象经过一、二、三象限，所以可知，解即可．【解答】解：∵一次函数y=（1﹣2k）x+k的图象经过第一、二、三象限，∴，∴0＜k＜．13．从一副扑克牌中取出的两组牌，一组为黑桃1、2、3，另一组为方块1、2、3，分别随机地从这两组牌中各摸出一张，那么摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的概率是．【考点】X6：列表法与树状图法．【分析】此题可以采用列表法求解．一共有9种情况，摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的有4种：4、4、4、6；所以摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的概率是．【解答】解：列表得：∴一共有9种情况，摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的有4种情况；∴摸出的两张牌的牌面数字之和是合数的概率是．14．某区从近期卖出的不同面积的商品房中随机抽取1000套进行统计，并根据结果绘出如图所示的统计图．从中可知卖出的110m2～130 m2的商品房150套．【考点】V8：频数（率）分布直方图．【分析】根据频数直方图的意义，其他组的商品房的频数之和，又有总数为1000，计算可得110m2到130 m2的商品房的频数．【解答】解：由频数直方图可以看出：110m2到130 m2的商品房的频数为1000﹣50﹣300﹣450﹣50=150套．15．若圆的半径是10cm，则圆心角为40°的扇形的面积是cm2．【考点】MO：扇形面积的计算．【分析】本题已知了扇形圆心角的度数和半径的长，可根据扇形的面积公式直接求出其面积．【解答】解：S==（cm2）．16．在Rt△ABC中，∠C=90°，点D、E分别是边AC、AB的中点，点F在边BC上，AF 与DE相交于点G，如果∠AFB=110°，那么∠CGF的度数是40°．【考点】KX：三角形中位线定理；KP：直角三角形斜边上的中线．【分析】作出图形，根据邻补角的定义求出∠AFC，再判断出点G是AF的中点，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得CG=GF，然后根据等腰三角形两底角相等列式计算即可得解．【解答】解：∵∠AFB=110°，∴∠AFC=180°﹣∠AFB=180°﹣110°=70°，∵点D、E分别是边AC、AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴点G是AF的中点，∴CG=GF，∴∠CGF=180°﹣2∠AFC=180°﹣2×70°=40°．故答案为：40°．17．如图，将梯形ABCD沿直线AC翻折，点B落在点E处，联结ED，如果∠B=60°，∠ACB=40°，ED∥AB，那么∠AED的度数为30°．【考点】PB：翻折变换（折叠问题）；LH：梯形．【分析】根据平行线的性质得到∠BAD=180°﹣∠B=120°，∠ADE=∠BAD=120°，根据等腰三角形的性质得到∠AED=∠DAE=30°【解答】解：∵AD∥BC，∴∠BAD=180°﹣∠B=120°，∵ED∥AB，∴∠ADE=∠BAD=120°，由折叠的性质得，AD=DE，∴∠AED=∠DAE=30°，故答案为：30°．18．如果正方形ABCD的边长为1，圆A与以CD为半径的圆C相交，那么圆A的半径R的取值范围是﹣1＜R＜+1．【考点】MJ：圆与圆的位置关系；LE：正方形的性质．【分析】根据题意画出图形，利用当圆A与以CD为半径的圆C相外切以及当圆A与以CD 为半径的圆C相内切，分别求出半径，即可确定半径R的取值范围．【解答】解：∵正方形ABCD的边长为1，∴如图1，当圆A与以CD为半径的圆C相外切，∵AC==，BC=CD=FC=1，AF+FC=AC，∴AF=AC﹣FC=﹣1，如图2，当圆A与以CD为半径的圆C相内切，∵AC═=，BC=CD=EC=1，AC+EC=AE，∴AE=AC+EC=+1，综上所述：圆A的半径R的取值范围为：﹣1＜R＜+1，故答案为：﹣1＜R＜+1．三、解答题（本大题共7题，满分78分）19．先化简，再求值：，其中x=6tan30°﹣2．【考点】6D：分式的化简求值；T5：特殊角的三角函数值．【分析】原式第二项利用除法法则变形，约分后两项通分并利用同分母分式的减法法则计算得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出x的值，代入计算即可求出值．【解答】解：原式=﹣•=﹣=，当x=6tan30°﹣2=2﹣2时，原式=．20．解方程组：．【考点】AF：高次方程．【分析】把②通过因式分解化为两个二元一次方程，把这两个二元一次方程分别与①组成方程组，求解即可．【解答】解：由②得，x+y=0，x=0，把这两个方程与①组成方程组得，解得：所以方程组的解为：21．已知抛物线y=ax2﹣2x+c的对称轴为直线x=﹣1，顶点为A，与y轴正半轴交点为B，且△ABO的面积为1．（1）求抛物线的表达式；（2）若点P在x轴上，且PA=PB，求点P的坐标．【考点】H8：待定系数法求二次函数解析式；F8：一次函数图象上点的坐标特征．【分析】（1）根据对称轴求得a，然后根据三角形面积求得c，即可求得解析式；（2）设P点的坐标为（x，0），根据PA=PB得出关于x的方程，解方程求得x的值，进而求得点P的坐标．【解答】解：（1）∵对称轴为直线x=﹣1，∴﹣=﹣1，∴a=﹣1，∵△ABO的面积为1，∴c×1=1，∴c=2，∴抛物线的表达式为y=﹣x2﹣2x+2；（2）∵y=﹣x2﹣2x+2=﹣（x+1）2+3，∴A（﹣1，3），设P点的坐标为（x，0）．∵PA=PB，B（0，2），∴（x+1）2+32=x2+22，解得x=﹣3．故P点的坐标为（﹣3，0）．22．如图，甲船在港口P的南偏西60°方向，距港口86海里的A处，沿AP方向以每小时15海里的速度匀速行驶向港口P，乙船从港口P出发，沿南偏东45°方向匀速行驶驶离岗口P，现两船同时出发，2小时后乙船在甲船的正东方向，求乙船的航行速度（结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236）【考点】TB：解直角三角形的应用﹣方向角问题．【分析】设乙船的航行速度为每小时x海里，2小时后甲船在点B处，乙船在点C处，则PC=2x海里，过P作PD⊥BC于D，求出BP，在Rt△BPD中求出PD，然后在Rt△PDC中表示出PD，继而建立方程可解出x的值．【解答】解：设乙船的航行速度为每小时x海里，2小时后甲船在点B处，乙船在点C处，则PC=2x海里，过P作PD⊥BC于D，则BP=86﹣2×15=56（海里），在Rt△PDB中，∠PDB=90°，∠BPD=60°，∴PD=PB•cos60°=28（海里），在Rt△PDC中，∠PDC=90°，∠DPC=45°，∴PD=PC•cos45°=2x•=x，∴x=28，即x=14≈20，答：乙船的航行速度约为每小时20海里．23．已知：在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、CD延长线上的点，且BE=DF，联结AE、AF、DE、DE交AB于点M．（1）如图1，当E、A、F在一直线上时，求证：点M为ED中点；（2）如图2，当AF∥ED，求证：AM2=AB•BM．【考点】S9：相似三角形的判定与性质；LE：正方形的性质．【分析】（1）连接AC，根据正方形的性质得到∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°，根据全等三角形的判定和性质即可得到结论；（2）根据正方形的性质得到∠DAM=∠EBM=90°，AD=AB，根据相似三角形的性质得到=，根据已知条件得到四边形AMDF是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AM=DF，等量代换得到AM=BE，于是得到结论．【解答】（1）连接AC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAM=∠BEM=∠BCD=90°，∠BCA=∠DCA=45°，AB=BC=CD=DA，∵BE=DF，∴CE=CF，∴∠AEB=∠F=45°，∴BE=BA=AD，在△ADM和△BEM中，，∴△ADM和△BEM，∴DM=EM，即点M为ED中点；（2）解：∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAM=∠EBM=90°，AD=AB，∴△ADM∽△BEM，∴=，∵AM∥DF，AF∥DE，∴四边形AMDF是平行四边形，∴AM=DF，∵BE=DF，∴AM=BE，∴，∴AM2=AB•BM．24．已知：在平面直角坐标系中，直线y=﹣x与双曲线y=（k≠0）的一个交点为P（，m）．（1）求k的值；（2）将直线y=﹣x向上平移c（c＞0）个单位后，与x轴、y轴分别交于点A，点B，与双曲线y=（k≠0）在x轴上方的一支交于点Q，且BQ=2AB，求c的值；（3）在（2）的条件下，将线段QO绕着点Q逆时针旋转90°，设点O落在点C处，且直线QC与y轴交于点D，求BD：AC的值．【考点】GB：反比例函数综合题．【分析】（1）用待定系数法即可得出结论；（2）先由QB=2AB，得出AQ=3AB，进而判断出△AOB∽△AEQ，即可得出点Q（﹣2c，3c），再用待定系数法求出c即可；（3）先确定出直线OQ的解析式，进而得出CQ的解析式，用OQ=CQ建立方程即可确定出点C的坐标，即可得出结论．【解答】解：（1）∵P（，m）在直线y=﹣x上，∴m=﹣，∴P（，﹣），∵P在双曲线y=上，∴k=×（﹣）=﹣6，（2）如图1，设直线AB的解析式为y=﹣x+c，∴A（c，0），B（0，c），∴OA=OB=c，过点Q作QE⊥x轴，∴OB∥QE，∴△AOB∽△AEQ，∴=，∵BQ=2AB，∴AQ=3A B，∴，∴AE=3OA=3c，QE=3OB=3c，∴OE=AE﹣OA=2c，∵点Q在第二象限，∴Q（﹣2c，3c），∵点Q在双曲线y=﹣上，∴﹣2c×3c=﹣6，∴c=﹣1（舍）或c=1；（3）如图2，由（2）知，c=1，∴A（1，0），B（0，1），Q（﹣2，3），∴直线OQ的解析式为y=﹣x，由旋转知，CQ=OQ，OQ⊥CQ，∴直线CQ的解析式为y=x+，∴D（0，），设C（n，n+），∵Q（﹣2，3），∴OQ2=13，CQ2=（n+2）2+（n+﹣3）2=（n+2）2，∴13=（n+2）2，∴n=﹣5（舍）或n=1，∴C（1，5），∵A（1，0），∴AC=5，∵B（0，1），D（0，），∴BD=﹣1=，∴BD：AC=：5=2：3．25．已知：线段AB⊥BM，垂足为B，点O和点A在直线BM的同侧，且tan∠OBM=2，AB=5，设以O为圆心，BO为半径的圆O与直线BM的另一个交点为C，直线AO与直线BM的交点为D，圆O为直线AD的交点为E．（1）如图1，当点D在BC的延长线上时，设BC=x，CD=y，求y关于x的函数解析式，并写出定义域．（2）在（1）的条件下，当BC=CE时，求BC的长；（3）当△ABO是以AO为腰的等腰三角形时，求∠ADB的正切值．【考点】MR：圆的综合题．【分析】（1）过O作OF⊥BD于F，如图1，利用垂径定理得到BF=CF==，再利用正切的定义得到OF=x，然后证明△OFD∽△ABD，于是利用相似比可得到y与x的关系式；（2）先利用勾股定理计算出OB=x，再证明△DEC∽△DCO，利用相似比可得到OD=y，则根据勾股定理得到x2+（y+x）2=（y）2，所以y=5x或y=﹣x（舍去），则=5x，然后解方程求出x即可；（3）讨论：当OA=OB时，点A在⊙O上，如图2，根据圆周角定理得到AC为直径，即点D与点C重合，易得x=，于是得到此时tan∠ADB=2；当AO=AB=5，如图3，作OH⊥AB于H，易得四边形OFBH为矩形，则OH=BF=x，BH=OF=x，利用勾股定理得到（x﹣5）2+（x）2=52，然后解方程求出x，则可得到tan∠AOH=，再证明∠ADB=∠AOH，从而得到tan∠ADB的值．【解答】解：（1）过O作OF⊥BD于F，如图1，则BF=CF==，∴DF=y+，在Rt△BFO中，∵tan∠OBM==2，∴OF=x，∵AB⊥BM，∴OF∥AB，∴△OFD∽△ABD，∴=，即=，∴y=（＜x＜5）；（2）在Rt△OBF中，OB==x，∵BC=CE，而OB=OC=OE，∴△OBC和△OCD为全等的等腰三角形，∴∠OCB=∠OEC，∴∠OCD=∠CED，而∠CDE=∠ODC，∴△DEC∽△DCO，∴=，即=，∴OD=y，在Rt△OFD中，∵OF2+FD2=OD2，∴x2+（y+x）2=（y）2，整理得y2﹣4xy﹣5x2=0，∴y=5x或y=﹣x（舍去），∴=5x，解得x1=0（舍去），x2=，即BC的长为；（3）当OA=OB时，点A在⊙O上，如图2，则AC为直径，点D与点C重合，OF=AB，即x=，∴tan∠ADB==2；当AO=AB=5，如图3，作OH⊥AB于H，易得四边形OFBH为矩形，∴OH=BF=x，BH=OF=x，在Rt△OHA中，∵AH2+OH2=OA2，∴（x﹣5）2+（x）2=52，解得x1=0（舍去），x2=8，∴tan∠AOH===，∵OH∥BD，∴∠ADB=∠AOH，∴tan∠ADB=．。